小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式探究

姚偉泳

【摘要】“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）十大核心素養(yǎng)之一，也是數(shù)學(xué)基本思想之一。然而在小學(xué)，實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)還處于起步、探索階段。本文以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中建立數(shù)學(xué)模型、滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生初步形成模型思想。

【關(guān)鍵詞】平行四邊形的面積;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)模型;模型思想

“模型思想”是《課標(biāo)》新增加的一個(gè)核心詞匯。在《課標(biāo)》給出的十大核心素養(yǎng)中，只有“模型”以“思想”指稱。由此可見(jiàn)，模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)必須滲透的思想方法之一。在新課改的要求下，數(shù)學(xué)建模必須要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程需要學(xué)生自主理解、積極參與教學(xué)活動(dòng)，而不是生搬硬套公式、法則等。在小學(xué)階段讓學(xué)生積累一定的數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗(yàn)，并逐步感受數(shù)學(xué)建模過(guò)程和模型思想是教學(xué)的核心目標(biāo)之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。那么，學(xué)生如何在教學(xué)中經(jīng)歷建模的過(guò)程呢？下面以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透模型思想、建立數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式。

一、內(nèi)涵解讀

（一）數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)模型”目前尚無(wú)公認(rèn)的定義。曹培英教師的《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究》一書，關(guān)于“數(shù)學(xué)模型”的廣義解釋是：一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系，各種數(shù)學(xué)公式、各種方程及由公式系列構(gòu)成的算法等，都可稱之為數(shù)學(xué)模型。王永春教師的《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書，關(guān)于“數(shù)學(xué)模型”的廣義解釋是：數(shù)學(xué)的概念、定理、法規(guī)、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。按照廣義的數(shù)學(xué)模型解釋，小學(xué)數(shù)學(xué)中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都和建模有聯(lián)系，都可納入模型思想的教學(xué)。

（二）數(shù)學(xué)建模

建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程稱之為數(shù)學(xué)建模。《課標(biāo)》在“教材編寫建議”中提出：“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)。這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)‘問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證’的過(guò)程”?！皢?wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過(guò)程，就是創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)踐、探索、思考、交流等活動(dòng)逐步建立這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用這一模型去解釋一些現(xiàn)象或解決一些問(wèn)題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本模式

以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧趯?shí)際的教學(xué)中，經(jīng)歷建模的基本模式：“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”。

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

《課標(biāo)》明確指出：“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。”因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)表象，為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

人教版的教材圖文并茂，可讀性強(qiáng)，情境圖常常蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)信息，因此充當(dāng)著生活情境與數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁作用。情境圖基本是學(xué)生熟悉的生活情境，既能引起學(xué)生的生活共鳴，又能引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型。因此，教師要合理運(yùn)用情境圖，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察情境圖，從中獲取數(shù)學(xué)信息。

片段1：

課件呈現(xiàn)校園門口街景平面圖（圖1）。

師：我們一起來(lái)看看大屏幕，你發(fā)現(xiàn)了什么圖形？

生：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形……

師根據(jù)生說(shuō)出的發(fā)現(xiàn)：有長(zhǎng)方形和平行四邊形的花壇，出示圖2。

師：這兩個(gè)花壇哪一個(gè)大？

生：要知道它們的面積才能比較。

師：你會(huì)計(jì)算它們的面積嗎？

這個(gè)環(huán)節(jié)是從情境圖中兩個(gè)形狀不一的花壇（一個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)平行四邊形）引入一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：兩個(gè)花壇哪一個(gè)大？這個(gè)問(wèn)題情境就抽象成了比較長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積誰(shuí)大的數(shù)學(xué)問(wèn)題？由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了計(jì)算長(zhǎng)方形面積，那么，如何計(jì)算平行四邊形的面積呢？

片段2：

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形面積的時(shí)候，使用了數(shù)格子的方法學(xué)習(xí)求面積，如何數(shù)平行四邊形的面積呢？請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀書上的提示（不滿一格的都按半格計(jì)算），數(shù)完后填寫好表格（如圖3）。

師：同學(xué)們對(duì)它們的底（長(zhǎng)）、高（寬）和面積進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的底和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，平行四邊形的高和長(zhǎng)方形的寬相等，平行四邊形的面積和長(zhǎng)方形的面積相等（如圖4）。

師：這是我們數(shù)格子得出的平行四邊形的面積，不數(shù)方格，能不能計(jì)算出平行四邊形的面積呢？

這個(gè)環(huán)節(jié)，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題：平行四邊形的面積如何計(jì)算？從實(shí)物（平行四邊形的花壇）自然過(guò)渡到抽象圖形（平行四邊形），學(xué)生感知起來(lái)簡(jiǎn)易許多。再通過(guò)填表格的方法，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)中感受平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積來(lái)計(jì)算，為學(xué)生構(gòu)建平行四邊形的面積模型做準(zhǔn)備。

（二）建立平行四邊形的面積模型

《課標(biāo)》明確指出：“學(xué)生在獲得知識(shí)技能的過(guò)程中，只有親身參與教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。”（下轉(zhuǎn)第13版）? （上接第12版）可見(jiàn)，學(xué)生的課堂參與顯得尤為重要，由此才能體現(xiàn)出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，才能擺脫“填鴨式”“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué)模式。因此，教師在組織課堂教學(xué)時(shí)，要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、操作、驗(yàn)證等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題的共性，建立起數(shù)學(xué)模型。

片段3：

師：我們可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形來(lái)計(jì)算面積呢？

生：長(zhǎng)方形。

師：為什么呢？

生：因?yàn)槲覀儗W(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方形的面積。而且剛剛通過(guò)填寫表格，我發(fā)現(xiàn)了平行四邊形和長(zhǎng)方形之間有聯(lián)系。

屏幕呈現(xiàn)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的方法（圖5）。

師：同學(xué)們請(qǐng)看，這是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的過(guò)程，我們沿著平行四邊形的什么剪呢？

生：平行四邊形的高。

師：你知道為什么嗎？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，所以要沿著高剪。

師：那現(xiàn)在大家動(dòng)手實(shí)驗(yàn)一下吧。觀察原來(lái)的平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形，把你的發(fā)現(xiàn)填在實(shí)驗(yàn)報(bào)告單（圖6）上。

這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)思考、動(dòng)手操作，把平行四邊形沿著高剪開(kāi)，利用割補(bǔ)法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，再通過(guò)觀察對(duì)比，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關(guān)系，以此溝通長(zhǎng)方形和平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系。這些等量關(guān)系為推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式提供了清晰的思路。最后，用字母表示出公式S=ah，建立起平行四邊形的面積模型。

而這個(gè)建立起平行四邊形的模型教學(xué)過(guò)程，筆者也充分運(yùn)用到多媒體技術(shù)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的過(guò)程以微課的形式呈現(xiàn)出來(lái)。適當(dāng)運(yùn)用多媒體技術(shù)，不僅能吸引學(xué)生的課堂注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生將自己動(dòng)手操作的結(jié)果和課件演示結(jié)合起來(lái)，從而更形象生動(dòng)、更直觀地理解轉(zhuǎn)化過(guò)程及公式推導(dǎo)過(guò)程，更好地建立起平行四邊形的面積模型。

（三）求解驗(yàn)證

第三步就是運(yùn)用平行四邊形的面積模型去解釋一些現(xiàn)象或解決一些問(wèn)題。

1.應(yīng)用基礎(chǔ)模型：S=ah

片段4：

師：平行四邊形花壇的底是6m，高是4m，你能運(yùn)用公式求出它的面積嗎？

生根據(jù)平行四邊形的面積公式S=ah，計(jì)算出花壇的面積，并體會(huì)字母表示數(shù)的代數(shù)思想。

2.構(gòu)建變化模型：a=S÷h

（1）出示問(wèn)題：平行四邊形花壇的面積是24平方米，高是4米，它的底是多少？

（2）學(xué)生嘗試解答。

（3）辨析概念，明確：a=S÷h。

3.構(gòu)建變化模型：h=S÷a

（1）出示問(wèn)題：平行四邊形花壇的面積是24平方米，底是6米，它的高是多少？

（2）學(xué)生嘗試解答。

（3）辨析概念，明確：h=S÷a。

第2題和第3題的練習(xí)構(gòu)建出了變化模型：已知平行四邊形的面積和高，求底;已知平行四邊形的面積和底，求高。通過(guò)基礎(chǔ)模型構(gòu)建出變化模型，能讓學(xué)生更好地掌握平行四邊形的面積、底和高三者之間的關(guān)系，對(duì)平行四邊形的面積模型有更深刻的理解。

總之，數(shù)學(xué)模型是溝通問(wèn)題情境與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之間的橋梁，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活情境的過(guò)程。在學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥的，但是教師可以通過(guò)原型（創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境）抽象出數(shù)學(xué)模型（建立數(shù)學(xué)模型），數(shù)學(xué)的抽象就看得見(jiàn)、摸得著了。再把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際生活中去（解釋與應(yīng)用），學(xué)生能更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與大自然和社會(huì)的密切聯(lián)系，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯? 羅良英