V型電熱驅(qū)動(dòng)器理論模型及動(dòng)態(tài)特性

陳 浩, 王新杰, 王 炅, 席占穩(wěn), 聶偉榮

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

與靜電、壓電和電磁等驅(qū)動(dòng)器相比，電熱驅(qū)動(dòng)器由于具有輸出位移、力大、工藝兼容性好等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，一直是微驅(qū)動(dòng)研究的熱點(diǎn)之一.電熱驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)原理為驅(qū)動(dòng)器通電，由焦耳熱效應(yīng)產(chǎn)生熱，然后由熱膨脹變形最終產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)位移.目前，電熱驅(qū)動(dòng)器主要分為U型和V型驅(qū)動(dòng)器.相較于U型驅(qū)動(dòng)器，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的輸出力更穩(wěn)定.因此，構(gòu)建V型電熱驅(qū)動(dòng)器多物理場(chǎng)耦合模型有助于優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)而提高其使用性能.

目前，關(guān)于V型電熱驅(qū)動(dòng)器的諸多理論研究均采用以下方法，即只考慮單向耦合作用，依次分別建立電-熱和熱-力耦合子模型，并根據(jù)電-熱模型得到的溫度結(jié)果計(jì)算驅(qū)動(dòng)器的膨脹變形，將其代入熱-力模型最終得到驅(qū)動(dòng)器位移.針對(duì)電-熱耦合子模型，文獻(xiàn)[4]基于能量守恒原理，構(gòu)建V型電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)電熱偏微分方程，并借助有限差分法進(jìn)行求解.文獻(xiàn)[5]分別考慮真空和空氣情況下的熱損失效應(yīng)，建立了V型電熱驅(qū)動(dòng)器一維和瞬態(tài)模型.采用分離變量法分離出模型中的時(shí)間項(xiàng)，獲得穩(wěn)態(tài)模型.通過(guò)Fourier級(jí)數(shù)結(jié)合加權(quán)余量法對(duì)穩(wěn)態(tài)模型求解，最終得到含時(shí)間指數(shù)項(xiàng)和含空間三角函數(shù)項(xiàng)的瞬態(tài)溫度解.文獻(xiàn)[6]將V型電熱驅(qū)動(dòng)器簡(jiǎn)化成3個(gè)集成單元，根據(jù)等效電流法建立驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)電-熱模型，最終獲得各個(gè)單元的平均溫度.在熱-力耦合子模型方面，文獻(xiàn)[7]根據(jù)V型電熱驅(qū)動(dòng)器的對(duì)稱(chēng)性和Castigliano定理建立熱力耦合模型.文獻(xiàn)[8]基于虛功原理將V型電熱驅(qū)動(dòng)器一側(cè)的約束用力和力矩代替，建立了驅(qū)動(dòng)器熱-力模型，并用有限元(FEM)仿真進(jìn)行驗(yàn)證.文獻(xiàn)[7]認(rèn)為V型電熱驅(qū)動(dòng)器的應(yīng)變是由于受熱和力作用導(dǎo)致的，然后基于Euler-Bernoulli梁理論得到V型電熱驅(qū)動(dòng)器熱-力耦合方程.通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行單元離散，并假設(shè)每個(gè)單元解的形式為Hermitian形函數(shù)，使用Galerkin法求得驅(qū)動(dòng)器位移.文獻(xiàn)[9]假設(shè)V型電熱驅(qū)動(dòng)器中存在自由熱膨脹變形，即不考慮熱變形伸長(zhǎng)而產(chǎn)生的反力作用，根據(jù)超靜定原理和Pythagoras定理獲得驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)態(tài)位移.而在V型電熱驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性方面，目前主要研究其在恒定加載電壓下，位移隨時(shí)間的變化關(guān)系.這遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法滿(mǎn)足電熱驅(qū)動(dòng)器在精密快速定位[10-11]、微夾鉗[12-13]等一系列應(yīng)用中的需求.

本文首先提出一種正弦變換結(jié)合隱式差分的方法，用于求解V型電熱驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)電-熱模型中的偏微分方程.同時(shí)，基于受迫振動(dòng)理論建立V型電熱驅(qū)動(dòng)器熱-力模型，計(jì)算獲得V型電熱驅(qū)動(dòng)器的位移.然后，對(duì)驅(qū)動(dòng)器理論模型的計(jì)算進(jìn)行收斂性分析，獲得最大計(jì)算收斂步長(zhǎng).接著，使用有限元仿真對(duì)V型電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)溫度和位移進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證V型電熱驅(qū)動(dòng)器理論模型下的位移.最后，研究V型電熱驅(qū)動(dòng)器在變電壓下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性.本文研究可為V型電熱驅(qū)動(dòng)器的優(yōu)化設(shè)計(jì)及控制研究提供理論依據(jù).

1 電熱耦合模型

1.1 能量守恒方程

V型電熱驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其寬度和厚度，V型電熱驅(qū)動(dòng)器可以被簡(jiǎn)化成一維模型，如圖1所示.其中：L為驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度；b為驅(qū)動(dòng)器寬度；d為驅(qū)動(dòng)器厚度；θ0為驅(qū)動(dòng)器彎曲角度；g為驅(qū)動(dòng)器與基底間的距離；x為微元的位置；dx為微元的長(zhǎng)度；T(x,t)為驅(qū)動(dòng)器上關(guān)于位置x和時(shí)間t的溫度函數(shù).

圖1 V型電熱驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of V-shaped electrothermal actuator

取驅(qū)動(dòng)器上一微元dx進(jìn)行傳熱分析，以熱傳導(dǎo)的方式流入微元熱量Qin、流出微元熱量Qout，可以表示為

(1)

(2)

式中：κ為硅的熱傳導(dǎo)率；T為溫度函數(shù)T(x,t)的簡(jiǎn)寫(xiě)形式.

微元熱對(duì)流Qco以及與基地間的熱損失Qlo分別為

Qco=kv(T-T0)(b+2d)Δx

(3)

Qlo=ks(T-T0)bΔx

(4)

式中：T0為室溫；kv為驅(qū)動(dòng)器表面與空氣的熱對(duì)流系數(shù)；ks為驅(qū)動(dòng)器表面和基底之間的形狀熱損失系數(shù)，由文獻(xiàn)[14], 這里ks取為 6 000 W/(m2·K).微元焦耳熱可以表示為

Qg=J2ρbdΔx

(5)

式中：J為電流密度；ρ為摻雜硅的電阻率.綜合式(1)～(4)并根據(jù)能量守恒原理可以得到,電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)偏微分方程如下所示:

(6)

式中：c為硅的比熱容；ρd為硅密度.由于驅(qū)動(dòng)器兩側(cè)與錨點(diǎn)連接，所以其邊界條件和初始條件分別為

(7)

T(x,0)=T0

(8)

1.2 穩(wěn)態(tài)分析

通過(guò)整理式(6)并簡(jiǎn)化得到驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)態(tài)傳熱微分方程如下所示：

(9)

式中：Ta為絕對(duì)溫度.正弦變換可用于求解滿(mǎn)足邊界條件為0的微分方程[15-16]，離散型正弦變換的正、反變換公式分別表示為[15]

(10)

n=1,2,…,N

(11)

i=1,2,…,I

首先，對(duì)式(9)進(jìn)行差分離散，可以得到：

(12)

式中：Δh為空間步長(zhǎng).這里令正弦變換中I=N，根據(jù)式(11)，Ta,i可表示為

(13)

進(jìn)一步，Ta,i+1+Ta,i-1可變換為

Ta,i+1+Ta,i-1=

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)，整理得到：

(15)

kv(b+2d)/(bd)+ks/d}

(16)

1.3 瞬態(tài)分析

根據(jù)式(6)，簡(jiǎn)化得到驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)方程為

(17)

對(duì)該方程進(jìn)行差分離散，其中，時(shí)域采用隱式差分形式，可以得到：

(18)

式中：Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；s為時(shí)間步序號(hào).類(lèi)似地，式(18)可以變換為

(19)

kv(b+2d)/(bd)+ks/d

(20)

1.4 收斂性分析

根據(jù)前文所述方法，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度分布可看作是一系列正弦波疊加的結(jié)果.V型電熱驅(qū)動(dòng)器上離散點(diǎn)越多，所疊加的正弦波個(gè)數(shù)也就越多，得到的結(jié)果也就越接近于真實(shí)解，但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致求解時(shí)間的急劇增加.因此，合理的步長(zhǎng)既能保證求解精度，也能提高計(jì)算效率.所用V型電熱驅(qū)動(dòng)器的材料為硅，其尺寸和材料參數(shù)分別如表1和2所示.其中：α為熱膨脹系數(shù)；E為彈性模量；μ為泊松比.為進(jìn)行收斂性分析，首先選取通過(guò)251個(gè)離散點(diǎn)計(jì)算得到的V型電熱驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)溫度作為參考溫度，分別通過(guò)11、21、31、51個(gè)離散點(diǎn)計(jì)算得到的驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)溫度與參考溫度的差值如圖2所示，其中：e為溫度誤差.從圖2中可以看出， 隨著離散點(diǎn)數(shù)的減小，溫度誤差越來(lái)越大，最大的溫度誤差約為8 K.在驅(qū)動(dòng)器上，溫度誤差總體呈現(xiàn)由中心往兩側(cè)遞減的趨勢(shì).51個(gè)離散點(diǎn)的溫度誤差十分微小，可忽略不計(jì).因此，當(dāng)離散點(diǎn)數(shù)不少于51個(gè)時(shí)，驅(qū)動(dòng)器溫度計(jì)算結(jié)果即可認(rèn)為收斂.綜合考慮計(jì)算精度和時(shí)間成本，選擇251個(gè)離散點(diǎn)用于V型電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度分布計(jì)算.

表1 V型電熱驅(qū)動(dòng)器尺寸參數(shù)

表2 硅的材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of silicon

圖2 不同離散點(diǎn)數(shù)的V型電熱驅(qū)動(dòng)器溫度計(jì)算誤差Fig.2 Temperature calculation errors of V-shaped electrothermal actuator at different discrete points

2 熱力耦合模型

由于V型電熱驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其寬度和厚度，所以可將驅(qū)動(dòng)器視為簡(jiǎn)支梁.將其中心處的位置變化作為其位移，即驅(qū)動(dòng)器上的最大位移.由于該位移相對(duì)較小，可將其等效成離散振動(dòng)系統(tǒng).在此基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型，忽略振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼集中參數(shù)元件.該模型的詳細(xì)推導(dǎo)可以參考文獻(xiàn)[17],此處不再贅述.V型電熱驅(qū)動(dòng)器的受迫振動(dòng)方程[18]如下所示：

(21)

(22)

式中：Δlt為當(dāng)前時(shí)刻熱膨脹變形，可根據(jù)文獻(xiàn)[17]計(jì)算得到；A為驅(qū)動(dòng)器的橫截面積；θ(t)為當(dāng)前時(shí)刻t的V型電熱驅(qū)動(dòng)器彎曲角度.

3 模型驗(yàn)證

由正弦變換計(jì)算得到的16 V電壓下，驅(qū)動(dòng)器在0～200 ms內(nèi)的瞬態(tài)溫度云圖如圖3所示.在驅(qū)動(dòng)器上共選取251個(gè)離散點(diǎn)用于溫度分布計(jì)算.從圖3中可以看出，初始時(shí)刻V型電熱驅(qū)動(dòng)器上的溫度變化較快.V型電熱驅(qū)動(dòng)器中間位置溫升較快，兩端溫度變化緩慢，這是由于中心處的熱損失較于兩側(cè)邊界相對(duì)較小.

不同時(shí)刻驅(qū)動(dòng)器上的溫度分布曲線如圖4所示.從圖4中可以明顯看出，隨著時(shí)間的增加，驅(qū)動(dòng)器上不同點(diǎn)處的溫度差異有所增大；V型電熱驅(qū)動(dòng)器在t=50 ms時(shí)的溫度分布即趨近于穩(wěn)態(tài)下的溫度分布，這與瞬時(shí)溫度云圖中驅(qū)動(dòng)器溫度分布(見(jiàn)圖3)在t=50 ms之后幾乎沒(méi)有變化的現(xiàn)象一致.

圖3 16 V電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)溫度分布Fig.3 Transient temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at 16 V

圖4 16 V電壓下不同時(shí)刻的V型電熱驅(qū)動(dòng)器的溫度分布Fig.4 Temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at different times and 16 V

3.1 仿真驗(yàn)證

在有限元軟件中，建立V型電熱驅(qū)動(dòng)器的三維模型，如圖5所示.首先，選擇Solid226電-熱-力耦合單元對(duì)驅(qū)動(dòng)器的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分.其次，在錨點(diǎn)處分別加載恒溫和電壓條件.接著，對(duì)驅(qū)動(dòng)器各個(gè)面分別施加熱對(duì)流條件，底面的對(duì)流系數(shù)為ks，其他面的對(duì)流系數(shù)為kv.最后，設(shè)置熱、力及變形收斂容差，并進(jìn)行求解和后處理.

圖5 V型電熱驅(qū)動(dòng)器有限元模型Fig.5 FEM model of V-shaped electrothermal actuator

16 V電壓下，理論、仿真模型獲得的不同時(shí)刻驅(qū)動(dòng)器的溫度分布如圖6所示.由圖6可知，總體上，理論模型的溫度計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果幾乎一致.但在初始時(shí)刻，理論模型的計(jì)算溫度稍大于仿真溫度；隨著時(shí)間的增加，兩者的溫度差異越來(lái)越小.這主要是由于理論模型中對(duì)時(shí)域的離散采用隱式差分法，該方法的精度只有1階；而在有限元軟件中一般使用Runge-Kutta法處理時(shí)域，該方法精度很高.同時(shí)，理論計(jì)算采用的是一維簡(jiǎn)化模型，而仿真中建立的V型驅(qū)動(dòng)器模型更為完整.16 V電壓下，理論與仿真模型的瞬態(tài)溫度差值云圖如圖7所示.由圖7可知，最大溫度差發(fā)生在初始時(shí)刻，約為35 K，且初始時(shí)刻溫差較大， 這進(jìn)一步驗(yàn)證了圖6中溫差隨著時(shí)間的增加而減小的結(jié)論.V型電熱驅(qū)動(dòng)器兩端的溫差較大，這是由于驅(qū)動(dòng)器兩端的溫度梯度大于中間的溫度梯度，而理論模型中的離散點(diǎn)數(shù)小于有限元模型造成的，理論計(jì)算的溫度結(jié)果誤差較大.

圖6 16 V電壓下不同時(shí)刻的V型電熱驅(qū)動(dòng)器理論和仿真溫度分布對(duì)比Fig.6 Theory and simulation temperature distribution differences of V-shaped electrothermal actuator at different times and 16 V

圖7 16 V電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的理論和仿真瞬態(tài)溫度差值分布Fig.7 Theory and simulation transient temperature distribution differences of V-shaped electrothermal actuator at 16 V

不同加載電壓下，通過(guò)理論和仿真模型計(jì)算得到的V型電熱驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)態(tài)溫度分布如圖8所示，其中：U為電壓.由圖8可知，驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)下的溫度計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致；隨著電壓的升高，驅(qū)動(dòng)器的最高溫度急劇增加.V型電熱驅(qū)動(dòng)器在14 V和16 V電壓下的瞬態(tài)理論和仿真位移如圖9所示.其中：y為瞬態(tài)位移.從圖9中可以看出，理論和仿真位移較為接近.由于在初始時(shí)刻的理論溫度大于仿真溫度，導(dǎo)致理論計(jì)算位移在初始時(shí)刻也同樣大于仿真位移.

圖8 不同電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的理論和仿真穩(wěn)態(tài)溫度分布Fig.8 Theory and simulation static temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at different voltages

圖9 14 V和16 V電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)位移Fig.9 Transient displacements of V-shaped electrothermal actuator at 14 V and 16 V

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

V型電熱驅(qū)動(dòng)器的加工采用反應(yīng)離子干法深刻蝕工藝[19-20]，主要包含刻蝕、鍵合、濺射等步驟.經(jīng)劃片、封裝和引線后，最終如圖10所示.

圖10 封裝芯片結(jié)構(gòu)Fig.10 Structure of packaged chip

驅(qū)動(dòng)器位移測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置如圖11所示.通過(guò)實(shí)驗(yàn)裝置，獲取不同加載電壓下的驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)時(shí)的圖像.首先，對(duì)圖像進(jìn)行灰度化處理，接著對(duì)圖像中驅(qū)動(dòng)器的中心區(qū)域使用邊緣檢測(cè)算法[21]，獲得驅(qū)動(dòng)器中心區(qū)域的輪廓特征,如圖12所示.從圖12中可以明顯看出，0 V電壓下驅(qū)動(dòng)器中心到邊框左側(cè)框線的距離g0遠(yuǎn)大于16 V電壓的距離g1.根據(jù)驅(qū)動(dòng)器中心與邊框左側(cè)框線的相對(duì)位置變化，可得到不同電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的位移，如圖13所示.其中.經(jīng)過(guò)對(duì)標(biāo)尺(邊框)的計(jì)算，圖像中一個(gè)像素代表3.9 μm, 因此實(shí)驗(yàn)測(cè)量位移存在上下3.9 μm 的偏差.從圖13中可以看出，不同電壓下，驅(qū)動(dòng)器理論、仿真和實(shí)驗(yàn)的穩(wěn)態(tài)位移總體保持一致，理論和仿真位移結(jié)果在合理的實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差范圍之內(nèi).

圖11 V型電熱驅(qū)動(dòng)器位移測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置Fig.11 Experimental setup for measuring displacement of V-shaped electrothermal actuator

圖12 0和16 V電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器圖像的中心區(qū)域輪廓特征Fig.12 Contour feature pictures in the middle of V-shaped electrothermal actuator at 0 V and 16 V

圖13 不同電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器的理論、仿真和實(shí)驗(yàn)穩(wěn)態(tài)位移Fig.13 Theory, simulation, and experiment steady state displacements of V-shaped electrothermal actuator at different voltages

4 動(dòng)態(tài)特性分析

由圖13可知，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的加載電壓直接決定了其位移的大小.通過(guò)不斷改變電壓值即能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)的有效控制.因此，基于上述方法所建立的多物理場(chǎng)耦合模型，分析驅(qū)動(dòng)器在變電壓下的動(dòng)態(tài)特性可為驅(qū)動(dòng)器制定合理的位移控制策略提供理論支撐.這里選取兩種典型電壓信號(hào)(階躍和正弦偏置電壓)，分別研究V型電熱驅(qū)動(dòng)器在其作用下的溫度和位移響應(yīng)特性.

在階躍電壓下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器的中心溫度和位移隨時(shí)間的變化曲線如圖14所示.從圖14中可以看出，驅(qū)動(dòng)器的溫度和位移均在50 ms時(shí)達(dá)到最大值;當(dāng)結(jié)束電壓加載后，驅(qū)動(dòng)器中心處的瞬態(tài)溫度和位移急劇下降，隨著時(shí)間的不斷增加，溫度和位移的變化逐漸平緩.

圖14 階躍電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器中心溫度的瞬態(tài)溫度和位移Fig.14 Transient temperature and displacement in the middle of V-shaped electrothermal actuator at step voltage

不同正弦偏置電壓下，電熱驅(qū)動(dòng)器的瞬態(tài)溫度和位移如圖15所示.由圖15可知，當(dāng)正弦電壓作用時(shí)間大于5個(gè)周期，即50 ms后，驅(qū)動(dòng)器中心處的溫度與位移也呈現(xiàn)正弦波形變化.此時(shí)，驅(qū)動(dòng)器中心處的溫度與位移的平均值均等于驅(qū)動(dòng)器在等效直流電壓作用下的穩(wěn)態(tài)溫度和位移.正弦電壓幅值越大，驅(qū)動(dòng)器中心處的溫度與位移的變化幅度也就越大.因此，在周期性加載電壓作用下，電熱驅(qū)動(dòng)器中心處的溫度呈現(xiàn)周期性變化，電熱驅(qū)動(dòng)器的位移變化最終也近似周期運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)變化周期與電壓變化周期相同.

圖15 不同正弦偏置電壓下V型電熱驅(qū)動(dòng)器中心處的瞬態(tài)溫度與位移Fig.15 Transient temperature and displacement in the middle of V-shaped electrothermal actuator at different sine bias voltages

5 結(jié)論

(1) 本文建立了V型電熱驅(qū)動(dòng)器多物理場(chǎng)耦合模型，使用正弦型變換結(jié)合隱式差分法求解驅(qū)動(dòng)器電-熱耦合偏微分方程；經(jīng)過(guò)穩(wěn)定性測(cè)試發(fā)現(xiàn), 該方法在求解時(shí)具有良好的收斂性；基于振動(dòng)理論建立熱-力耦合模型.

(2) 基于電-熱模型得到的不同電壓下的驅(qū)動(dòng)器瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)溫度分布與有限元仿真結(jié)果幾乎一致；而基于熱-力模型得到的不同電壓下的驅(qū)動(dòng)器穩(wěn)態(tài)位移與實(shí)驗(yàn)、仿真結(jié)果也幾乎一致.

(3) 在周期性電壓下，V型電熱驅(qū)動(dòng)器最終也呈現(xiàn)周期性運(yùn)動(dòng)，且兩者周期相等.