基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型設(shè)計(jì)

種孝文

（白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 白城 137000）

0 引言

非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型的工作是在并行機(jī)上完成大規(guī)模的數(shù)據(jù)計(jì)算。非線(xiàn)性代數(shù)方程組可以解決計(jì)算機(jī)校驗(yàn)、圖像切割、數(shù)據(jù)分析、項(xiàng)目工程等相關(guān)領(lǐng)域的問(wèn)題[1-2]。為了提高非線(xiàn)性代數(shù)方程組的計(jì)算精度并簡(jiǎn)化方程組計(jì)算的復(fù)雜度，本文設(shè)計(jì)了基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型。由于并行計(jì)算機(jī)的處理對(duì)象具有規(guī)模大、復(fù)雜度高的特點(diǎn)，考慮到以上因素，本文通過(guò)降噪算法完成對(duì)傳統(tǒng)非線(xiàn)性代數(shù)方程組的優(yōu)化。另外，該方程組并行模型還融合了多分裂迭代算法和偏微分方程，有效降低了模型計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜度，達(dá)到了提高模型計(jì)算精度的目的。

1 非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型設(shè)計(jì)

1.1 并行算法思路設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)并行算法時(shí)，首先檢索待計(jì)算的數(shù)據(jù)庫(kù)，對(duì)內(nèi)部的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，轉(zhuǎn)變數(shù)據(jù)格式，處理公式如下：

式中：?表示預(yù)處理后的數(shù)據(jù)；D表示當(dāng)前時(shí)刻所屬數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)部數(shù)據(jù)的水平集合；φ表示檢索數(shù)據(jù)的梯度算子[3-4]。

數(shù)據(jù)并行運(yùn)算過(guò)程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)并行運(yùn)算過(guò)程

根據(jù)初始化操作完成對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)處理，然后根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)模和計(jì)算類(lèi)型選擇對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)。權(quán)函數(shù)的作用是平衡迭代計(jì)算過(guò)程中模型計(jì)算的誤差，并且確定數(shù)據(jù)計(jì)算任務(wù)的核心關(guān)聯(lián)量。在確定數(shù)據(jù)的核心關(guān)聯(lián)量后，隨之確定數(shù)據(jù)整體關(guān)聯(lián)量的迭代下降流，計(jì)算公式如下：

式中：δ表示數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)數(shù)據(jù)流的約束分子；r表示數(shù)據(jù)的字節(jié)數(shù)[5-6]。

然后對(duì)內(nèi)部有效數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)切割。非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行算法的切割原則是隨機(jī)組合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度最小的三個(gè)數(shù)據(jù)分子[7-9]。為了降低算法的誤差，本文通過(guò)數(shù)據(jù)能量函數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)。關(guān)聯(lián)切割過(guò)程如圖2所示。

圖2 關(guān)聯(lián)切割過(guò)程

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合波前控制算法，將切割處理好的數(shù)據(jù)塊重新構(gòu)成一個(gè)可調(diào)用分解的數(shù)據(jù)體系，該過(guò)程計(jì)算公式如下：

式中：y表示數(shù)據(jù)邊緣算子；φ表示拉普拉斯算子；k表示數(shù)據(jù)集成的高斯運(yùn)算積[10-12]。

并行數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 并行數(shù)據(jù)

相對(duì)于上述傳統(tǒng)的并行計(jì)算過(guò)程，非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行算法的優(yōu)點(diǎn)是：在處理相同規(guī)模的數(shù)據(jù)時(shí)，并行模型可以在一定程度上減少數(shù)據(jù)計(jì)算過(guò)程的負(fù)載和開(kāi)銷(xiāo)，保證模型的計(jì)算能力。將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)在非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型上模擬分布，一旦矩陣的絕對(duì)對(duì)角數(shù)值為0時(shí)，則并行模型的迭代分量無(wú)需另行計(jì)算，直接代入設(shè)定值1即可。這種做法可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間、提高計(jì)算效率。

1.2 并行數(shù)據(jù)去噪處理

對(duì)并行數(shù)據(jù)實(shí)施去噪處理的目的是：在提高數(shù)據(jù)精度的同時(shí)，保證數(shù)據(jù)處理的有效性。因?yàn)槿ピ脒^(guò)程具有數(shù)據(jù)還原性和數(shù)據(jù)銷(xiāo)毀性，因此這一運(yùn)算流程是不可逆的，但是在最初模型數(shù)據(jù)錄入時(shí)存在數(shù)據(jù)備份，因此不需要擔(dān)心流程誤操作造成的影響。

數(shù)據(jù)去噪處理過(guò)程如下：

式中：N表示去噪后的數(shù)據(jù)；F表示數(shù)據(jù)的權(quán)重系數(shù)；u表示非線(xiàn)性方程組并行模型的光滑數(shù)據(jù)項(xiàng)；A表示非負(fù)非減函數(shù)；l表示數(shù)據(jù)塊的序列號(hào)。

本文設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)去噪算法不僅有效地消除了冗余數(shù)據(jù)，同時(shí)也避免了模型在處理數(shù)據(jù)過(guò)程中因出現(xiàn)格式錯(cuò)誤而終止模型計(jì)算的情況。數(shù)據(jù)處理過(guò)程如圖4所示。

圖4 數(shù)據(jù)處理過(guò)程

1.3 四階偏微分方程分析

由于弧度數(shù)據(jù)降噪的總變數(shù)總是比直線(xiàn)無(wú)噪數(shù)據(jù)的總變數(shù)大。因此，基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型可表示為以下優(yōu)化問(wèn)題：

式中：n表示數(shù)據(jù)塊數(shù)量；u表示數(shù)據(jù)計(jì)算閾值。

基于此，隨著計(jì)算次數(shù)的增加，非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型能夠達(dá)到最大去噪標(biāo)準(zhǔn)[13]。在這一過(guò)程中，研究發(fā)現(xiàn)在數(shù)據(jù)波動(dòng)情況較為平坦的區(qū)域中，方程的擴(kuò)展性能會(huì)增強(qiáng)，其可將數(shù)據(jù)亂碼的區(qū)域擴(kuò)展成平滑區(qū)域，從而提高多個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)集成為一個(gè)整體的數(shù)據(jù)切割塊過(guò)程中的轉(zhuǎn)變效果。在越平坦的區(qū)域上，數(shù)據(jù)擴(kuò)展態(tài)勢(shì)也會(huì)越強(qiáng)烈，最終使所有數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化成片段式的常數(shù)區(qū)域，這時(shí)數(shù)據(jù)切割塊中的各個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)都具有獨(dú)立性，并且數(shù)據(jù)塊邊緣的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)也具有完整性[14-15]。

綜上所述，本文設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行算法可以成功地降低數(shù)據(jù)噪聲信息并實(shí)現(xiàn)減噪最大化。但其缺點(diǎn)在于數(shù)據(jù)降噪過(guò)程中可能出現(xiàn)過(guò)度擴(kuò)展情況，且數(shù)據(jù)被切分為非常小的結(jié)構(gòu)體，增加了數(shù)據(jù)融合計(jì)算的復(fù)雜度，從而產(chǎn)生“弧度效應(yīng)”，為此，本研究設(shè)計(jì)了一個(gè)四階偏微分方程來(lái)消除“弧度效應(yīng)”帶來(lái)的影響。

1.4 并行模型的實(shí)現(xiàn)

在上述研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)如下并行模型的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。為了將偏微分方程與非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行算法的集成契合度最大化，本研究規(guī)定基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型的并行差分格式如下：

式中：A1B1表示50×50階對(duì)角陣；C1表示50×50階三角對(duì)角陣；b49表示50×50矩陣庫(kù)。

因?yàn)榉蔷€(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型需要對(duì)數(shù)據(jù)塊進(jìn)行切割處理，切割過(guò)程中只是保證了單位數(shù)據(jù)的完整性，卻忽略了待計(jì)算數(shù)據(jù)的有效性。因此，上述規(guī)定的基于偏微分的非線(xiàn)性方程組并行差分格式重新制約了被切割數(shù)據(jù)的有效性，從而有效保證計(jì)算結(jié)果的精度。模型矩陣內(nèi)的所有數(shù)據(jù)序號(hào)按照切割順序排列即可。根據(jù)上文提到的相關(guān)算法，總結(jié)出基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組的并行模型計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 基于偏微分非線(xiàn)性代數(shù)方程組的并行模型計(jì)算流程

步驟1：對(duì)待計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化處理，輸出一系列有效的數(shù)據(jù)，然后利用非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行算法對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行切割分類(lèi)操作。

步驟2：對(duì)經(jīng)切割得到的小數(shù)據(jù)包進(jìn)行降噪分析，過(guò)程中會(huì)舍棄部分失效的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，處理完成后，再重建數(shù)據(jù)并補(bǔ)錄到非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型內(nèi)。

步驟3：調(diào)用偏微分方程，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?nèi)部的數(shù)據(jù)是否具有收斂特性。如果具有收斂特性，則停止處理，按照計(jì)算任務(wù)處理模型內(nèi)的數(shù)據(jù)，輸出結(jié)果即可；如果模型內(nèi)的數(shù)據(jù)不具備收斂特性，則重復(fù)步驟1，直至最終模型內(nèi)的數(shù)據(jù)全部具有收斂性特征，輸出計(jì)算結(jié)果，并行模型完成計(jì)算任務(wù)。

2 實(shí)驗(yàn)與研究

為了檢驗(yàn)上述設(shè)計(jì)的基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型的實(shí)際運(yùn)算能力，設(shè)計(jì)了如下對(duì)比實(shí)驗(yàn)。利用本文模型與傳統(tǒng)基于擬牛頓法的并行模型和基于粒子群算法的并行模型同時(shí)針對(duì)同一非線(xiàn)性代數(shù)方程組進(jìn)行分析計(jì)算，記錄三種模型在運(yùn)算過(guò)程中的搜索次數(shù)，并計(jì)算出各自的運(yùn)算成功率，進(jìn)而能夠更加科學(xué)地分析出三種模型的計(jì)算準(zhǔn)確度和運(yùn)算效率。

將同一組非線(xiàn)性代數(shù)方程組導(dǎo)入到運(yùn)算模型程序中，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)變換處理，得到對(duì)應(yīng)的負(fù)常曲率的曲面，根據(jù)得到的曲面進(jìn)行變換求解。導(dǎo)入的非線(xiàn)性方程組如下：

首先，將方程和存在未知函數(shù)的部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為含有未知函數(shù)的等價(jià)多項(xiàng)式非線(xiàn)性方程：

然后，根據(jù)平衡原則對(duì)其進(jìn)行展開(kāi)，得到含有未知函數(shù)的非線(xiàn)性方程解的表達(dá)式：

對(duì)上述表達(dá)式進(jìn)行求約化解，經(jīng)過(guò)多次搜索運(yùn)算得到多個(gè)方程組精確解的函數(shù)表達(dá)，然后借助波形函數(shù)模型構(gòu)建程序，通過(guò)求解運(yùn)算得到方程組精確解的最終結(jié)果。為了進(jìn)一步提高計(jì)算的精準(zhǔn)度，可以加深運(yùn)算的程度，增加求解的運(yùn)算搜索次數(shù)，使計(jì)算結(jié)果更加精確。三種模型的運(yùn)算成功率對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6 三種模型運(yùn)算成功率對(duì)比圖

如圖6所示，相比于傳統(tǒng)模型來(lái)說(shuō)，本文模型采用的偏微積分算法的成功率更高。在運(yùn)算搜索次數(shù)為50次時(shí)，本文模型的計(jì)算成功率已超過(guò)90%，而此時(shí)基于擬牛頓法的并行模型的計(jì)算成功率大約為76%，而基于粒子群算法的并行模型的計(jì)算成功率在64%左右，由此可見(jiàn)本文模型的運(yùn)算精準(zhǔn)度更高，運(yùn)算分析的穩(wěn)定性、安全性更強(qiáng)。三種模型的運(yùn)算搜索速度對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

圖7 三種模型運(yùn)算搜索速度對(duì)比圖

從圖7可以看出，本文模型比傳統(tǒng)模型的計(jì)算速度更快。根據(jù)圖7中顯示的數(shù)據(jù)可知，在相同的運(yùn)算時(shí)間內(nèi)，本文模型進(jìn)行了更多次數(shù)的搜索和運(yùn)算，在0.4 s時(shí)，本文模型已經(jīng)進(jìn)行了40次左右的運(yùn)算搜索，而此時(shí)基于擬牛頓法的并行模型的搜索次數(shù)大約是28次，粒子群算法的并行模型的搜索次數(shù)更少，只有19次左右。

由此可見(jiàn)，本文設(shè)計(jì)的基于偏微分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型具有更快的計(jì)算速度和更高的運(yùn)算精準(zhǔn)度，能夠提高非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行求解的運(yùn)算成功率，從而促進(jìn)整體運(yùn)算工作效率的提高。由此可以證明，本文模型在目前的非線(xiàn)性代數(shù)方程組求解運(yùn)算方面具有更強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，有利于促進(jìn)大數(shù)據(jù)運(yùn)算處理技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

3 結(jié)語(yǔ)

在對(duì)基于微偏分的非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型進(jìn)行降噪處理時(shí)，面臨的難點(diǎn)不僅僅是處理數(shù)據(jù)的邊緣性，還有數(shù)據(jù)錯(cuò)誤冗余的問(wèn)題。將不具備正常格式的數(shù)據(jù)直接銷(xiāo)毀，既可以減少模型的計(jì)算量，又提高了模型的計(jì)算精度。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，本文設(shè)計(jì)的基于偏微分非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型可以提高計(jì)算機(jī)的處理速率，相信以本文的論證作為研究基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)計(jì)算算法，能夠在一定程度上促進(jìn)非線(xiàn)性代數(shù)方程組并行模型的發(fā)展。