基于EGO加點策略的動力電池包多目標優(yōu)化*

王普毅，白影春，林程，武振江，王保華

（1.北京理工大學，電動車輛國家工程實驗室，北京100081；2.湖南大學，汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙410082；3.西北機電工程研究所，咸陽712099；4.中汽研（天津）汽車工程研究院有限公司，天津300300）

前言

動力電池包是電動汽車動力系統(tǒng)的重要組成部分，在確保結(jié)構(gòu)承載能力和機械防護能力的前提下，開展針對電池箱的輕量化設(shè)計可提升動力電池能量密度進而延長電動汽車續(xù)駛里程。

國內(nèi)外研究人員圍繞電池箱結(jié)構(gòu)輕量化和結(jié)構(gòu)安全做了大量的研究工作。趙紅偉等［1］采用拓撲優(yōu)化方法實現(xiàn)了電池箱的輕量化設(shè)計。陳靜等［2］和Chen等［3］采用輕質(zhì)材料實現(xiàn)了電池箱的輕量化和強度設(shè)計。孫小卯［4］根據(jù)靜力學、模態(tài)和疲勞分析結(jié)果，對電池箱進行改進設(shè)計，提高了其動、靜態(tài)性能和疲勞壽命。Choi等［5］采用熱塑性纖維復(fù)合材料研制了一種輕量化電池組殼體，并完成了沖擊振動和耐久性分析；朱新春［6］完成了極限工況下電池箱的輕量化和形貌優(yōu)化。蘭鳳崇等［7］采用拓撲優(yōu)化、綜合多項性能和質(zhì)量的多目標優(yōu)化，提升了電池箱動、靜態(tài)特性和輕量化水平。李志杰等［8］運用復(fù)雜系統(tǒng)安全理論結(jié)合電動汽車實際工況，提出機械外力下基于整體精細化模型可量化、層次化的動力電池包系統(tǒng)安全性評價方法。黃培鑫等［9］建立了動力電池包結(jié)構(gòu)及其內(nèi)部精細化模型和分析方法，蘭鳳崇等［10］在此基礎(chǔ)上分析了電連接結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)隨機振動和瞬態(tài)沖擊下的損傷和接觸可靠性。盡管以上研究工作為電池箱輕量化和安全性設(shè)計提出了方法和思路，但針對基于代理模型的動力電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化和通過動態(tài)更新代理模型以實現(xiàn)高效全局優(yōu)化方面的研究仍較少。

在實現(xiàn)高效全局優(yōu)化方面，Jones等［11］提出了單目標優(yōu)化問題的高效全局優(yōu)化（efficient global optimization，EGO）策略，優(yōu)化算法通過求解期望改進（expected improvement，EI）函數(shù)的最大值來確定EI點，進而用于模型更新。Koji等［12］通過超體積指標來尋求Pareto前沿（Pareto front，PF）EI點，但超體積指標求解復(fù)雜、耗時，且存在較大計算誤差。Yang等［13］在粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法中增加輔助代理模型，采用EGO策略尋找優(yōu)勢粒子和更新非劣解，在高效求解單目標全局優(yōu)化方面取得了較好效果。Lin等［14］提出了一種基于代理模型的多目標優(yōu)化智能抽樣方法，該方法在當前優(yōu)化解最大化最小距離點、極端采樣點、最近邊界點之間進行權(quán)衡，進而獲得新的采樣點并用于代理模型的更新，但確定加權(quán)系數(shù)過于依賴經(jīng)驗。以上研究在高效全局尋優(yōu)方面為動力電池包結(jié)構(gòu)的多目標優(yōu)化提供了思路，然而針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的高維多目標優(yōu)化設(shè)計問題，有必要在優(yōu)化過程中降低計算復(fù)雜度和難度，實現(xiàn)快速求解。

本文中針對動力電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化問題，在分析初始設(shè)計的基礎(chǔ)上，提出多目標優(yōu)化模型和優(yōu)化流程。根據(jù)優(yōu)化流程，基于試驗設(shè)計和Pareto法則開展變量影響分析以縮減優(yōu)化參數(shù)；基于樣本點構(gòu)建的優(yōu)化目標KRG模型，采用多目標粒子群優(yōu)化（multi?objective particle swarm optimization，MO?PSO）算法求解多目標優(yōu)化問題；以過程優(yōu)化解為插值點構(gòu)造EI采樣函數(shù)，采用EGO加點策略求解新增樣本點，進而更新代理模型。最后，使用測試函數(shù)對優(yōu)化方法進行驗證，并將其用于隨機振動下的電池包結(jié)構(gòu)的多目標優(yōu)化。

1 動力電池包初始設(shè)計

1.1 某型電池包初始設(shè)計參數(shù)

某型動力電池包主要由電池箱（即電池包的殼體）、電池模組和電池管理系統(tǒng)組成，初始總質(zhì)量為549.5 kg。電池箱作為電池結(jié)構(gòu)的主要組成部分，初始設(shè)計質(zhì)量為90.55 kg，其組成零件材料采用高強鋼，初始設(shè)計參數(shù)和材料性能如表1所示。表1中，支板包含前、后支板；橫梁包含前、后、左、右和中橫梁；縱梁包含前、后、第一、第二、第三和第四縱梁；托架包含左、右托架；壓板包含上、下壓板。

表1 電池箱主要零件初始幾何參數(shù)與材料特性

1.2 電池包初始設(shè)計模態(tài)分析

電池包結(jié)構(gòu)阻尼小，通常被當做線性結(jié)構(gòu)來分析［9，15］，其簡化自由振動動力學方程為

式中：M和K分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；x?(t)、x(t)分別為加速度和位移向量。

考慮約束模態(tài)引入的附加剛度K'，由式（1）可得約束模態(tài)頻率ω的方程為

如圖1所示，約束電池包托架6個自由度，利用Lanczos法獲取前6階模態(tài)。分析結(jié)果顯示，電池包初始1階模態(tài)頻率值達到了31.52 Hz，高于常見車輛激振頻率范圍（17-25 Hz）。

圖1 電池包有限元模型及約束位置

2 優(yōu)化模型和優(yōu)化流程

2.1 優(yōu)化模型的建立

提高電池包1階模態(tài)頻率可使其遠離低頻共振區(qū)，降低結(jié)構(gòu)部分質(zhì)量可提升電池能量密度。因此，電池包多目標優(yōu)化模型可表示為

式中：f1（x）和f2（x）分別為電池包質(zhì)量和1階模態(tài)頻率；x=［x1，…，xk，…，xm］表示電池箱零件厚度；xl和xu分別為設(shè)計變量上、下邊界。

2.2 優(yōu)化流程

為解決上述優(yōu)化問題，本文中提出了基于EGO加點策略的多目標粒子群優(yōu)化（EGO-MOPSO）流程，如圖2所示。首先根據(jù)分析要求定義初始條件。其次，通過多變量試驗設(shè)計樣本和多變量影響分析，選出對目標貢獻較大的變量作為優(yōu)化對象。然后，以上述條件為基礎(chǔ)生成新試驗樣本，構(gòu)建優(yōu)化目標的KRG模型。使用MOPSO算法求解優(yōu)化問題，并采用過程優(yōu)化解構(gòu)建EI采樣函數(shù)，利用EGO加點策略求解EI采樣點，進而獲取真實填充樣本，用于更新代理模型。最后，若滿足條件則輸出結(jié)果。為防止樣本重合而導(dǎo)致KRG模型構(gòu)建失敗，采用過濾策略刪除重疊樣本。

圖2 電池包結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程

3 基于EGO加點策略的多目標優(yōu)化

3.1 試驗設(shè)計和優(yōu)化設(shè)計變量的選取

以電池箱19個零件厚度作為設(shè)計變量（x1~x19），以電池包的總質(zhì)量和1階模態(tài)頻率作為響應(yīng)，通過拉丁超立方抽樣完成試驗設(shè)計，并利用多變量線性影響分析和Pareto法則分析變量對響應(yīng)的影響，結(jié)果如圖3和圖4所示。圖中分別列出了對電池包的總質(zhì)量和1階模態(tài)頻率影響較大的7個設(shè)計變量。為充分縮減優(yōu)化規(guī)模，并優(yōu)先考慮變量對電池包模態(tài)性能的影響，最終選擇電池箱的上箱蓋、下箱體、后支板、前支板、第二縱梁、左橫梁和右橫梁等7個零件（圖5）的厚度值作為設(shè)計變量，優(yōu)化設(shè)計的取值范圍如表2所示。最后，以此為基礎(chǔ)再次開展試驗設(shè)計，獲得用于后續(xù)優(yōu)化所需的試驗樣本。

表2 設(shè)計變量取值范圍及初始值 mm

圖3 設(shè)計變量對電池包質(zhì)量的影響

圖4 設(shè)計變量對電池包1階固有頻率的影響

圖5 電池箱的優(yōu)化零件

3.2 構(gòu)建優(yōu)化目標的代理模型

KRG模型因具有無偏估計特性、可選相關(guān)函數(shù)范圍廣且靈活，而得到廣泛應(yīng)用［16-17］。本文構(gòu)建優(yōu)化目標所用的KRG代理模型可表示為

式中：G（x）為全局近似模型；z（x）為局部偏差，其均值為零、方差為σ2、協(xié)方差非零。

3.3 多目標粒子群優(yōu)化

采用MOPSO算法，可調(diào)參數(shù)少，無需梯度信息，僅通過粒子速度和位置的不斷進化而得到最優(yōu)解，算法易實現(xiàn)且效率高［18］。

由式（3）多目標參數(shù)優(yōu)化問題可描述為

式中：Ff（x）為粒子適應(yīng)度函數(shù)，即目標函數(shù)值；Rm為設(shè)計變量域，m=7；x=［x1，…，x7］。

另外，在粒子群優(yōu)化算法中，第i個粒子的速度更新策略為

式中：vi(t-1)和vi(t)分別為更新前后粒子的速度；w為慣性權(quán)重系數(shù)；wd為慣性權(quán)重阻尼率；xi為粒子當前位置為當前粒子局部最優(yōu)位置為當前粒子全局最優(yōu)位置；C1為局部學習因子；C2為全局學習因子。

相應(yīng)地，第i個粒子的位置更新策略為

為避免算法過早收斂，算法中采用變異策略來更新粒子速度和位置，以盡量避免局部最優(yōu)。變異函數(shù)系數(shù)為

式中：pm為變異系數(shù)；t為當前迭代數(shù)；N為最大迭代數(shù)；mu為變異率。

MOPSO算法設(shè)置如下：種群規(guī)模取100，最大迭代數(shù)取80，權(quán)重系數(shù)取0.5，個體學習因子取1，全局學習因子取2，慣性權(quán)重阻尼率取0.99，外部存檔網(wǎng)格數(shù)取10，變異率取0.1。

3.4 基于EGO加點策略的代理模型更新方法

一次性的代理模型對于近似復(fù)雜結(jié)構(gòu)高維優(yōu)化問題往往精度不理想。為此，基于EGO加點策略，通過有針對性地增加樣本點來快速開發(fā)設(shè)計域和提高模型精度［11，13］。

EGO以KRG為代理模型，點x處的預(yù)測值f?(x)~N(μ，s2)，其均值μ和方差s2由當前模型確定，以EI函數(shù)作為填充采樣準則［11］，即

式中：fmin為當前最優(yōu)響應(yīng)；f?(x)和s（x）分別為當前模型預(yù)測響應(yīng)和標準差；Φ（·）和φ（·）分別為標準正態(tài)概率分布和概率密度函數(shù)。EI（x）值越大，表明在x處的近似精度就越差，設(shè)計空間應(yīng)在此處增加樣本點。代理模型更新流程如下。

輸出：第k次更新后的樣本Sk。

步驟1：開始。

步驟2：若k>n且σδ≤3%，轉(zhuǎn)步驟9。

步驟3：更新代理模型，獲得mass_new_KRG和freq._new_KRG。

步驟4：利用MOPSO獲得Pareto解和目標函數(shù)值，即（xk，f1，k）和（xk，f2，k）。

步驟5：以（xk，f1，k）和（xk，f2，k）為插值點集，構(gòu)建mass_Pareto_KRG和freq._Pareto_KRG代理 模型、mass_EI和freq._EI函數(shù)。

步驟6：求解EI點mass_xnew和freq._xnew、EI點響應(yīng)mass_xnew_f1，2和freq._xnew_f1，2。產(chǎn)生新樣本點。

步驟7：新樣本點過濾。若全部為重疊點，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟8：樣本更新為Sk+1，k=k+1。轉(zhuǎn)步驟2。

步驟9：輸出優(yōu)化解。

步驟10：結(jié)束。

該流程始于第一次獲得更新樣本之后。

步驟2是對填充采樣和樣本更新是否結(jié)束的判斷。若滿足要求，轉(zhuǎn)步驟9，輸出優(yōu)化解。否則，在步驟3構(gòu)建新質(zhì)量模型mass_new_KRG和1階模態(tài)頻率模型freq._new_KRG。

步驟4采用MOPSO算法求解優(yōu)化問題，獲得Pareto解和目標值，組成插值點集（xk，f1，k）和（xk，f2，k）。

步驟5和步驟6構(gòu)建基于電池包質(zhì)量和1階模態(tài)頻率KRG模型，即mass_Pareto_KRG和freq._Pareto_KRG。由式（9）構(gòu)造質(zhì)量和1階模態(tài)頻率的EI采樣函數(shù)，即mass_EI和freq._EI，期望函數(shù)最大的點即為兩個優(yōu)化目標的EI采樣點，即mass_xnew和freq._xnew。進而獲得新樣本點（mass_xnew，mass_xnew_f1，2）和（freq._xnew，freq._xnew_f1，2）。

步驟7對新樣本點進行過濾。新試驗點若滿足式（10），則判定該點為重疊試驗點。

max{|xi，j-xnew|，|f1，j-f1，new|，|f2，j-f2，new|}≤ε（10）式中：xi，j、f1，i和f2，i分別表示已有樣本中第i個試驗點的第j個變量、質(zhì)量和1階模態(tài)頻率，i=1，…，N，j=1，…，7；xnew，j、f1，new和f2，new分別表示新試驗點的第j個變量、質(zhì)量和1階模態(tài)頻率響應(yīng)；ε為給定閾值，文中取為10-3。若填充采樣點均為重疊試驗點，則轉(zhuǎn)入步驟4。

在步驟8中，將獲取新試驗點填充到原樣本Sk中，得到新樣本Sk+1。由算法流程可知，只需至少存在一個不重疊的填充采樣點，便可實施樣本更新。回到步驟2中，若不滿足條件，則對代理模型進行更新。

3.5 優(yōu)化終止條件

將同時滿足不少于試驗樣本更新次數(shù)n和不大于新增試驗點預(yù)測值相對誤差的標準差σδ作為收斂條件，其中n=10，σδ=3%。

4 優(yōu)化結(jié)果分析與討論

使用測試函數(shù)ZDT1和ZDT3對EGO?MOPSO進行驗證［19-20］，并與MOPSO對比。隨后用于電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化。優(yōu)化計算均在同一條件下運行。其中，硬件：CPU?Intel Core i5?7360U，2.3 GHz，內(nèi)存8 GB；軟件：Win10（64位）操作系統(tǒng)；MATLAB（R2020a）。

4.1 優(yōu)化算法數(shù)值測試與驗證對比

4.1.1 測試1

ZDT1函數(shù)為

式中nx為變量個數(shù)，本例中取2。

初始樣本數(shù)取100，MOPSO種群規(guī)模取100，最大迭代數(shù)取20，非劣解存儲容量取30。經(jīng)過3次加點，結(jié)果如圖6所示。

圖6 使用ZDT1函數(shù)驗證時的PF對比

4.1.2 測試2

ZDT3函數(shù)為

式中nx為變量個數(shù)，本例中取2。

初始樣本數(shù)取180，MOPSO種群規(guī)模取100，最大迭代數(shù)取40，非劣解存儲容量取50。經(jīng)過4次加點，結(jié)果如圖7所示。

圖7 使用ZDT3函數(shù)驗證時的PF對比

從圖6和圖7看出：對于以ZDT1函數(shù)為代表、PF呈連續(xù)分布的優(yōu)化問題，通過加點3次便能使優(yōu)化結(jié)果快速收斂至真實PF附近；對于以ZDT3函數(shù)為代表、PF呈斷續(xù)分布的優(yōu)化問題，在較少的初始樣本和迭代次數(shù)條件下，也能通過加點4次較快地靠近真實PF。

4.1.3 收斂性能和PF分布均勻性評價

多目標優(yōu)化算法收斂性能、PF分布均勻性的常用評價指標［19］為反向世代距離（inverted generational distance，IGD）。IGD值越小，表明算法越好。沿用測試函數(shù)優(yōu)化求解設(shè)置，隨機生成3組不同的初始樣本，每組樣本分別使用MOPSO和EGO?MOPSO進行優(yōu)化求解10次。計算平均IGD和平均耗時；ZDT1和ZDT3函數(shù)分別按3次和4次加點驗證設(shè)計。

兩種算法的平均IGD和平均耗時如表3和表4所示。結(jié)果顯示，EGO?MOPSO的IGD值明顯占優(yōu)，但求解耗時稍長。經(jīng)分析，多消耗的求解時間主要花在EI點計算模塊，但這部分時間占比較小。在工程應(yīng)用中，為尋求更高質(zhì)量的IGD，特別是在提高計算機硬件性能的情況下，多消耗的這點求解時間是可接受的。

表3 兩種算法求解ZDT1的平均IGD和平均耗時

表4 兩種算法求解ZDT3的平均IGD和平均耗時

4.2 電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化結(jié)果分析

經(jīng)數(shù)值驗證有效后，將所提出的優(yōu)化方法應(yīng)用于某電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化。

4.2.1 計算資源消耗

選取256個初始試驗點，樣本最大更新次數(shù)設(shè)置為10。優(yōu)化過程一共產(chǎn)生12個EI采樣點，包括兩個質(zhì)量采樣點和10個1階模態(tài)頻率采樣點，計算總耗時約230 min。其中，EI采樣點的物理響應(yīng)須調(diào)用有限元分析，耗時較長。

4.2.2 EGO加點策略效果與收斂性分析討論

表5 為優(yōu)化前后的代理模型精度對比。由表可見，使用該方法后，目標響應(yīng)代理模型預(yù)測精度有較明顯的提高。決定系數(shù)分別增加到0.979 9和0.913 1，增加了2.4%和2.8%；均方根誤差分別減小到0.98 kg和0.14 Hz，減小了29.5%和6.7%，說明所用方法可有效提高代理模型精度。

表5 優(yōu)化前后的代理模型精度

如圖8所示，使質(zhì)量最小的EI點處，質(zhì)量和1階模態(tài)頻率值僅在第5個試驗樣本循環(huán)中出現(xiàn)小幅波動，其余均相同。在EI點處的響應(yīng)預(yù)測值也達到較高精度，相對誤差小且穩(wěn)定；質(zhì)量和1階模態(tài)頻率預(yù)測相對誤差標準差分別為0.001 3%和0.124%。

圖8 質(zhì)量最優(yōu)時EI點的預(yù)測相對誤差

如圖9所示，使1階模態(tài)頻率最大的EI點處的質(zhì)量和頻率預(yù)測值在小幅波動后迅速收窄。在EI點處的響應(yīng)預(yù)測值也達到較高精度，相對誤差較小且迅速趨于穩(wěn)定；質(zhì)量和1階模態(tài)頻率預(yù)測相對誤差的標準差分別為0.393%和1.05%。

圖9 1階模態(tài)頻率最優(yōu)時EI點的預(yù)測相對誤差

圖10 給出了試驗樣本更新過程中第2、4、6、8、10次多目標優(yōu)化的PF。圖中顯示，質(zhì)量小于545 kg時，幾次迭代后的PF幾乎重合，這主要是由于使質(zhì)量最小的期望改進很快趨于一致的緣故。在質(zhì)量大于545 kg、1階模態(tài)頻率大于32 Hz后，PF出現(xiàn)了小幅震蕩，這主要是由于不斷新增了使1階頻率最大的期望改進樣本點的緣故。但隨著更新次數(shù)的增加，1階頻率最大的期望改進也很快接近一致，因此PF點也趨于平穩(wěn)、均勻，并向第10次試驗樣本更新后的PF靠攏收斂。

圖10 多目標優(yōu)化迭代過程中的PF

以上分析結(jié)果表明，本文所提出的優(yōu)化方法能夠高效完成質(zhì)量和1階模態(tài)頻率的設(shè)計域全局尋優(yōu)和填充采樣。利用新試驗點更新代理模型，提高了模型精度。同時，隨著MOPSO的循環(huán)尋優(yōu)，多目標優(yōu)化解也逐漸趨向穩(wěn)定。

4.2.3 多目標優(yōu)化結(jié)果的分析與討論

如圖11所示，“MOPSO”代表加點之前的PF；“EGO?MOPSO”表示滿足收斂條件的PF；矩形框內(nèi)的點是優(yōu)于初始設(shè)計的優(yōu)化值。結(jié)合驗證結(jié)果可以看出，使用EGO加點策略后，在不斷改善代理模型精度的同時，PF點逐漸趨于均勻和穩(wěn)定。

以優(yōu)于初始設(shè)計值為標準，選擇圖11中矩形框內(nèi)“EGO?MOPSO”PF上的13個點作為初選目標值和優(yōu)化解進行數(shù)據(jù)圓整，得到表6中的5組候選設(shè)計變量組合。

圖11 多目標優(yōu)化PF及初始設(shè)計對比

表6 圓整后的優(yōu)化設(shè)計變量值 mm

4.3 隨機振動工況下的優(yōu)化解

根據(jù)“電動汽車用動力蓄電池安全要求”中規(guī)定的電池包隨機振動測試要求，選取表6中的5組優(yōu)化解，按表7中載荷要求進行電池包結(jié)構(gòu)強度分析。為高效完成分析，選擇工況最惡劣的Z向進行載荷加載，計算結(jié)果如表8所示。

表7 隨機振動載荷加載要求

表8 中第4組和第5組解在結(jié)構(gòu)應(yīng)力方面表現(xiàn)較好，且具有相同的最大結(jié)構(gòu)應(yīng)力。選擇質(zhì)量較小的第4組解進行結(jié)構(gòu)強度分析，電池包結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖如圖12所示。

表8 隨機振動工況下（Z軸）的優(yōu)化解

圖12 第4組優(yōu)化解對應(yīng)的電池包結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖

圖12 中電池包結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力水平較低，最大應(yīng)力位于上箱蓋中后部。根據(jù)Steinberg應(yīng)力三區(qū)間法理 論［21］，第4組 解 對 應(yīng) 的 結(jié) 構(gòu) 最 大3σ應(yīng) 力 為138.777 MPa，小于材料屈服強度（180 MPa），可滿足隨機振動下結(jié)構(gòu)強度的要求。

5 結(jié)論

（1）以電池包為研究對象，提出了基于EGO加點策略的多目標粒子群優(yōu)化方法。數(shù)值驗證和優(yōu)化分析結(jié)果表明，該方法實現(xiàn)了代理模型的高效更新，具有較好的收斂性和多目標優(yōu)化值分布均勻性。

（2）基于EGO?MOPSO方法開展了電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化和隨機振動分析。結(jié)果表明，隨機振動下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)最大3σ應(yīng)力為138.777 MPa，低于材料屈服強度，滿足強度安全要求；結(jié)構(gòu)最大可減質(zhì)量4.89 kg。

（3）通過測試函數(shù)和電池包結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化驗證，表明所提出的方法有效可行，可為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多目標優(yōu)化提供重要的參考。