在數(shù)學實驗的過程中建立數(shù)學概念

李樹臣 王學文

摘 要：數(shù)學實驗是學生通過動手、動腦，利用觀察、操作、猜想、驗證等手段獲得經驗，主動構建并發(fā)展自己的數(shù)學認知結構和思維能力的一種學習活動。對數(shù)學概念的教學，教師應盡量從現(xiàn)實中尋找“模型”，引導學生在實驗（試驗）的過程中建立數(shù)學概念，從而激發(fā)學習興趣，理解概念本質，發(fā)展數(shù)學思維。圍繞“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”這三個領域，分別結合“無理數(shù)概念的建立”“平移概念的建立”“頻數(shù)與頻率概念的建立”這三個案例進行分析說明。

關鍵詞：數(shù)學概念教學;數(shù)學實驗;無理數(shù);平移;頻數(shù)與頻率

在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）倡導的“四基”中，數(shù)學概念處于“核心”地位，是重要的數(shù)學基礎知識，也是學生形成數(shù)學基本技能，進一步感悟數(shù)學基本思想、積累數(shù)學基本活動經驗的“載體”。因此，數(shù)學概念教學是影響數(shù)學教學質量的第一因素。數(shù)學概念教學是一個“古老”的問題，也是一個研究無止境的“長青”問題——據(jù)了解，正在修訂的義務教育數(shù)學課程標準進一步強調了數(shù)學概念學習的必要性、合理性、科學性。

《課標（2011年版）》共提及“實驗”12次。數(shù)學實驗是學生通過動手、動腦，利用觀察、操作、猜想、驗證等手段獲得經驗，主動構建并發(fā)展自己的數(shù)學認知結構和思維能力的一種學習活動。在數(shù)學教學中開展實驗活動符合學生認知建構和思維發(fā)展的規(guī)律，反映時代的要求，是落實課程基本理念、培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要舉措。

第三學段（初中）的數(shù)學課程內容中，約有400個數(shù)學概念，主要分布在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”這三個領域。學生對這些概念的理解程度、掌握情況直接影響著他們數(shù)學學習的效果。對這些概念的教學，教師應盡量從現(xiàn)實中尋找“模型”，引導學生在實驗（試驗）的過程中建立數(shù)學概念，從而激發(fā)學習興趣，理解概念本質，發(fā)展數(shù)學思維。下面圍繞上述三個領域，分別結合具體案例進行分析說明。

一、“數(shù)與代數(shù)”領域：抓住幾何意義設計數(shù)學實驗

《課標（2011年版）》將初中階段“數(shù)與代數(shù)”領域的內容分為“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個模塊，一共提出了52條學習要求（其中3條為選學要求）。這些內容中涉及的“核心”概念主要包括有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、整式、分式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等。教學中，可以選擇一些典型的概念，抓住其幾何意義（或現(xiàn)實意義），精心設計系列情境問題（或活動任務），引導學生在“做實驗”的同時，經歷概念的形成過程。

【案例1】??? 無理數(shù)概念的建立

學生對無理數(shù)概念的接受關鍵在于對 2 的理解和認識。我們首先應該讓學生意識到無理數(shù)是確實存在的“數(shù)”。為此，可以引導學生經歷下面的過程：

1.實驗操作。

（1）剪兩個邊長為1的小正方形硬紙片，并把兩個小正方形硬紙片沿對角線剪開;

（2）把得到的四個等腰直角三角形硬紙片拼成一個大的正方形，相互交流自己的拼接結果。

2.觀察思考。

（1）剪出的小正方形的對角線（如圖1所示）與拼成的大正方形的邊長（如圖2所示）有什么關系？相互交流。

（2）設拼成的大正方形的邊長為a，則a的值為多少？a2的值為多少？

（3）a是有理數(shù)嗎？相互交流。

3.探索發(fā)現(xiàn)。

（1）你認識 2 嗎？它是整數(shù)嗎？

（2）你認為 2 會在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間？

（3） 2 可能是1、2之間的某一個分數(shù)嗎？

（4） 2 可能是有限小數(shù)嗎？

（5） 2 可能是無限循環(huán)小數(shù)嗎？

（6）你認為 2 應該是怎樣的一個數(shù)呢？

無理數(shù)是初中生不容易接受的數(shù)學概念之一，導致其成為學習難點的原因很多，首先是“存在”問題。為了讓學生經歷無理數(shù)概念的產生過程，我們設計了上述導學方案。

在“實驗操作”和“觀察思考”兩個環(huán)節(jié)，學生在操作拼圖的過程中認識到正方形的邊長a（即 2 ），是一條確定線段的長度，是一個實際存在的數(shù)，但是對于a是否為有理數(shù)，不能給出明確的回答。

在“探索發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，學生通過對問題（1）（2）（3）的探索，認識到 2 既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，因而不是以前學過的有理數(shù);在對問題（4）（5）的探索中，意識到 2 既不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)，說明它是無限不循環(huán)小數(shù)。至此，學生已經感覺到 2 是一個與有理數(shù)不同類的新數(shù)，無理數(shù)的概念已經到了“呼之欲出”的地步。在對問題（6）的探索中，教師可以抓住時機給出無理數(shù)的概念。

這樣引入無理數(shù)的概念，學生經歷了“實驗操作→得到新數(shù)（擴充數(shù)系的必要性）→探索新數(shù)特點（擴充數(shù)系的合理性）→給出新數(shù)定義→擴大數(shù)學知識結構”的過程。在經歷這一系列活動的過程中，學生不僅能達到《課標（2011年版）》提出的“了解無理數(shù)的概念”的目的，

而且能培養(yǎng)實驗探究能力，計算、推理能力，以及提出問題和解決問題的能力等，還能積累探究數(shù)學問題的活動經驗。這些都是學生進一步學習和發(fā)展的基礎素養(yǎng)。

二、“圖形與幾何”領域：強化操作體驗設計數(shù)學實驗

《課標（2011年版）》將初中階段“圖形與幾何”領域的內容分為“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個模塊，一共提出了89條學習要求（其中4條為選學要求）。這些內容中涉及的“核心”概念主要包括三角形、四邊形、圓、軸對稱、旋轉、平移、全等、相似、投影等。這些概念本身具有很強的直觀性，教師可以強化包括作圖在內的操作體驗（兼顧現(xiàn)實意義），精心設計系列活動任務（或情境問題），引導學生通過數(shù)學實驗，經歷數(shù)學概念的形成過程。

【案例2】?? 平移概念的建立

平移往往與具體的圖形結合在一起，是圖形的一種變化。圖形的平移是一個動作、一個過程，平移概念是在“活動過程”中建立起來的。在教學中，可以引導學生經歷下面的過程，建立圖形平移的概念：

1.觀察思考。

觀察課件播放的“五星紅旗冉冉升起”“窗子左右拉動”和“電動扶梯緩緩移動”三個情境，思考其中的運動有什么特點？

2.實驗探索。

（1）如圖3所示，首先在硬紙片上任意畫一個△ABC和一條直線l，然后在硬紙片上蒙一張透明紙，并在透明紙上畫出與△ABC重合的△A′B′C′以及和直線l重合的直線l′。如圖4所示，將透明紙沿直線l的某個方向拖動5個單位長度（拖動過程中始終保持直線l與l′重合），則△A′B′C′的位置發(fā)生了怎樣的變化？相互交流。

（2）你能仿照上述操作畫出將透明紙沿直線l的另一個方向拖動4個單位長度后△A′B′C′的位置嗎？

（3）小明認為：將透明紙沿某個確定的方向拖動a個單位長度后得到的△A′B′C′可以看作是把△ABC沿這個確定的方向移動a個單位長度得到的。你贊同這個觀點嗎？

（4）你認為將△ABC移動到△A′B′C′的位置是由哪些因素確定的？

在小學時，學生已經感受過生活中的平移現(xiàn)象。到了初中，為了落實《課標（2011年版）》提出的“通過具體實例認識平移”的學習要求，我們設計了這個“觀察思考”環(huán)節(jié)，讓學生通過觀察物體平行移動的現(xiàn)象，認識平移在現(xiàn)實生活中的應用，進一步感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，從而在激發(fā)學生的學習興趣的基礎上，引出本課的學習內容。

然后，為了讓學生理解平移的本質和要素，我們設計了這個“實驗探索”環(huán)節(jié)，以學生最熟悉的三角形為背景，在動手操作的基礎上提出了4個具有層次性的由生活中的平移現(xiàn)象抽象而來的問題。學生通過對前3個問題的操作、觀察、思考和交流等，經歷了三角形在平面內沿某個確定的方向移動一定距離的過程，感受到三角形移動前后位置的變化，為建立圖形平移的概念奠定了基礎;通過對第4個問題的思考，能了解平移的兩個要素（方向與距離），從而認識到平移的數(shù)學本質。

這種設計立足于學生的現(xiàn)實，調動了學生的積極性，引發(fā)了學生的思考，突出了數(shù)學的本質。學生在一系列任務和問題的引導下，不僅經歷、體驗了平移概念的產生、建立過程，而且形成、強化了畫圖等技能，進一步提高了數(shù)學觀察能力、操作能力、交流能力等。這些能力也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分。

三、“統(tǒng)計與概率”領域：立足現(xiàn)實背景設計數(shù)學實驗

《課標（2011年版）》對初中階段“統(tǒng)計與概率”領域的內容分為“抽樣與數(shù)據(jù)分析”“事件的概率”兩個模塊，一共提出了11條具體要求。這些內容中涉及的“核心”概念基本上都具有現(xiàn)實背景（意義），教師需要認真研究概念產生的現(xiàn)實背景（意義），精心設計有關的活動任務（或情境問題），引導學生在數(shù)學實驗（試驗）的過程中建立有關概念。

【案例3】? 頻數(shù)與頻率概念的建立

為了讓學生在試驗、統(tǒng)計、探究等活動的過程中，了解頻數(shù)、頻率的意義，學會列頻數(shù)、頻率分布表，體驗統(tǒng)計結果的隨機性，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，我們設計了下面的活動：

1. 試驗探究。

（1）課前準備6個制作原料、大小都相同的乒乓球，在其中的兩個乒乓球上寫上數(shù)字1，兩個上寫上數(shù)字2，一個上寫上數(shù)字3，還有一個上寫上數(shù)字4。把這6個乒乓球放到一個不透明的袋子里并充分搖勻。小凱從袋子中隨機摸出一個球。你認為球上的數(shù)字有幾種可能的情況？如果把同一種可能的情況看作一個事件，那么你認為哪個事件發(fā)生的可能性大，哪個事件發(fā)生的可能性??？

（2） 小凱摸了一次乒乓球后，先記下乒乓球上的數(shù)字，再把這個球放回袋子里。如果連續(xù)50次重復這樣的摸球試驗，你能猜出將會有怎樣的結果嗎？

（3） 利用畫“正”字的方法統(tǒng)計摸球50次試驗中各個事件發(fā)生的頻數(shù)，計算出相應的頻率，填入表1。

2.觀察思考。

（1） 觀察上面的頻數(shù)、頻率 分布表，你能得到哪些信息？相互交流。

（2）分別計算上表中各個事件的頻數(shù)之和與頻率之和，你有什么發(fā)現(xiàn)？

我們從學生的生活現(xiàn)實中選取乒乓球作為背景，將6個球分成4組，讓學生進行摸球試驗并統(tǒng)計摸球結果，從而引導學生通過隨機試驗、記錄數(shù)據(jù)、分組整理、提取信息，建立頻數(shù)和頻率的概念;接著讓學生列出頻數(shù)、頻率分布表，計算試驗結果中各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和與頻率之和，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，確認頻數(shù)和頻率概念的一個性質，為后續(xù)相關內容的學習做好鋪墊。

學生在完成上述任務、回答上述問題的同時，將經歷統(tǒng)計數(shù)據(jù)產生和分析的全部過程，初步感受隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，通過足夠次數(shù)（本案例中是50次）的試驗可以粗略地用頻率來估計隨機事件發(fā)生的可能性的大小。由此可以進一步提升處理數(shù)據(jù)的能力，增強利用數(shù)據(jù)說理的意識以及以理服人的品質，逐漸形成數(shù)據(jù)分析觀念。

參考文獻：

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