一類函數(shù)最值的范圍探究

戈晨曦

[摘? 要] 一個不含參數(shù)的解析式和定義域都確定的函數(shù)，它的值域應(yīng)該是確定的. 如果它有最值，那么它的最值也應(yīng)該是確定的. 但是有些函數(shù)不借助科學(xué)技術(shù)很難得到精確的最值，我們只有通過分析極值點(diǎn)的范圍，從而估計出函數(shù)的最值范圍. 這個估計往往伴隨著一個可以接受的誤差值.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)最值;范圍;解題探究

一個不含參數(shù)的，并且解析式和定義域都確定的函數(shù)，它的值域應(yīng)該也是確定的. 如果它有最值，那么它的最值也應(yīng)該是確定的. 但是有些函數(shù)的最值，特別是一些超越函數(shù)，是很難算出具體數(shù)值的，但有時我們需要知道最值的范圍. 這時就需要我們對最值進(jìn)行必要的估算. 對于這種能力的考查，符合《2019年全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）說明》中對于運(yùn)算求解能力的考查要求：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理;能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運(yùn)算途徑;能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算.

問題：已知關(guān)于x的不等式（x-3）lnx≤λ有解，求整數(shù)λ的最小值.

分析：令h（x）=（x-3）lnx（x>0），這個結(jié)構(gòu)的函數(shù)屬于超越函數(shù)的范疇，我們用導(dǎo)數(shù)工具去研究它的變化趨勢和極值. 導(dǎo)函數(shù)h′（x）=

lnx+1-

（x>0）又是一個超越函數(shù)，它的根是確定的，但是不知道具體的數(shù)值. 所以我們看到編題者巧妙地設(shè)置了一個求整數(shù)λ的最小值問題. 這里因為只要求λ是整數(shù)，所以對最小值的要求也由原來的需要精確的最小值轉(zhuǎn)為只需要知道最小值的范圍即可. 這里的最小值范圍應(yīng)該限制在（k，k+1）（k∈Z）即可. 于是我們可以根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的一個估值，這個估值可以精確到一個合適的范圍.

h′（1）=

ln1+1-

<0，h′（2）=

ln2+1-

>0，所以存在唯一x∈（1，2），使得h′（x）=0，即lnx+1-=0，當(dāng)x∈（0，x）時，h′（x）<0;當(dāng)x∈（x，+∞）時，h′（x）>0，所以h（x）=h（x）=（x-3）lnx. 又因為lnx+1-=0，所以lnx=-1代入h（x）=（x-3）lnx=（x-3）

-1

=3-

x+

. 又因為x∈（1，2），所以3-

x+

∈

-2，-

，這個范圍跨了兩個連續(xù)整數(shù)區(qū)間，不符合題意. 我們有沒有辦法能夠進(jìn)一步縮小最小值的范圍呢？

我們可以通過進(jìn)一步縮小導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x的范圍，從而來縮小最小值的范圍. h′

=

ln+1-2

<0，所以x∈

，2

，所以3-

x+

∈

-，-

，所以λ≥0. 所以整數(shù)λ的最小值0.

解題感受：我們高中階段學(xué)習(xí)的絕大多數(shù)函數(shù)都是沒有辦法寫出值域的. 但是不是這類函數(shù)我們就不值得去研究了呢？其實(shí)這一類函數(shù)也有相當(dāng)大的研究價值. 在這里我們可以研究其最值的范圍問題，而且這個范圍還是有條件的，必須控制在一個整數(shù)區(qū)間內(nèi)，于是我們使用了隱零點(diǎn)和估算. 由上面的解題分析，我們發(fā)現(xiàn)，本題的最小值就是函數(shù)的極值，由于函數(shù)極值點(diǎn)x的不明確，導(dǎo)致了函數(shù)最小值的不明確. 但是最小值可以寫成關(guān)于x的函數(shù)，我們可以調(diào)整定義域x的范圍，從而來實(shí)現(xiàn)調(diào)整最小值范圍的目的. 此題的本質(zhì)是求定義域和值域的問題.

本題的思維導(dǎo)圖如下：

解題反思：1.如果x∈

，2

仍然不能使h（x）限定在一個連續(xù)整數(shù)區(qū)間內(nèi)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理和二分法的思想，我們可以進(jìn)一步縮小，我們可以繼續(xù)去尋找

，2

的中間值，比如取，然而h′

=

ln+1-

的正負(fù)不是那么容易確定的，于是區(qū)間進(jìn)一步縮小僅僅停留在了理論的層面. 實(shí)際問題中，往往很難實(shí)施. 如果我們把題目略做修整，（x-3）lnx≤λ有解，如果按照上面的方法處理，那么左邊的函數(shù)的最小值的范圍

-，-

. 此時不符合（k，k+1）（k∈Z）的特點(diǎn)，需要進(jìn)一步縮小x. 我們發(fā)現(xiàn)不論在

，2

上取哪一個值，都不是特別好確定它的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù). 所以編題者這里巧妙地設(shè)置了系數(shù)，把最小值限制在了（k，k+1）（k∈Z）內(nèi). （x-3）lnx≤λ有解，是不是真的就沒有辦法求解了？其實(shí)，如果我們能夠證明（x-3）lnx>-1對于x>0恒成立，那么最小值就只能落在

-1，-

內(nèi)了，問題便迎刃而解. 通過證明我們得到結(jié)論lnx≤x-1（x>0）當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號. 所以當(dāng)x∈（1，3），（x-3）lnx>（x-3）（x-1）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，當(dāng)x∈（0，1]∪[3，+∞）， （x-3）lnx≥0，所以（x-3）lnx>-1對于x>0恒成立. 再結(jié)合最小值的范圍在

-，-

，所以我們可以確定最小值的范圍在

-1，-

.

我們再來看一例：ex+≥a對x>0恒成立，求整數(shù)a的最大值.

分析：與上例類似處理，h（x）=ex+（x>0），h′（x）=ex-（x>0），易得h′（x）在（0，+∞）上遞增. 又因為h′

=e-4<0，h′

=e->0. 所以必存在x∈

，

，使得h′（x）=e-=0，所以e=. 由分析可知h（x）=h（x）=e+=+，x∈

，

，易得h（x）∈

，6

.

問題來了，區(qū)間的跨度比較大，跨越了3個整數(shù)區(qū)間. 而且x∈

，

已經(jīng)縮放得比較完美了，再去進(jìn)行放縮，難度非常大. 這時候，如果我們發(fā)現(xiàn)h（1）=e+1∈（3，4），那么最小值的范圍就只能在區(qū)間（3，4）. 從上面的2個例子我們發(fā)現(xiàn)，有時我們在解題中善于發(fā)現(xiàn)特殊區(qū)間或者特殊點(diǎn)處函數(shù)值的范圍，將大大簡化我們的解題過程.

最值關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式的建構(gòu)不是唯一的. 因為lnx+1-=0，所以x=，h（x）=（x-3）lnx=·

-3

lnx=-，x∈

，2

. 如果化到這個式子，則處理起來相當(dāng)麻煩. 因為不同的代入方式，會得到不同的解析式. 所以我們要求構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該簡單、明了，能夠容易求得函數(shù)的值域. 下面舉一例說明：

已知f（x）=ex-lnx（x>0），若正整數(shù)k≤f（x）恒成立，求k的值.

分析：f′（x）=ex-（x>0），f″（x）=ex+（x>0），所以y=f′（x）單調(diào)遞增. 又因為f′（1）=e-1>0，f′

=-2<0，所以必存在x∈

，1

，使f′（x）=e-=0. 所以f（x）=f（x）=e-lnx. 因為e=，所以f（x）=f（x）=-lnx，如果能夠進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)e=?x=-lnx，則f（x）=f（x）=+x. 又因為x∈

，1

，f（x）=f（x）=+x∈

2，

，所以k的值為0或1.

數(shù)學(xué)的思想方法存在于問題解決的過程中，一個有意義且高效的解題過程的每個步驟無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)作用[1]. 本題在解決過程中很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)，比如：最值到極值體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，極值的函數(shù)構(gòu)建體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想，縮小x的范圍體現(xiàn)了逼近思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 蔣海燕. 中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[M]. 濟(jì)南：山東人民出版社，2017.