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    一類函數(shù)最值的范圍探究

    2021-11-03 19:10:09戈晨曦

    戈晨曦

    [摘? 要] 一個不含參數(shù)的解析式和定義域都確定的函數(shù),它的值域應(yīng)該是確定的. 如果它有最值,那么它的最值也應(yīng)該是確定的. 但是有些函數(shù)不借助科學(xué)技術(shù)很難得到精確的最值,我們只有通過分析極值點(diǎn)的范圍,從而估計出函數(shù)的最值范圍. 這個估計往往伴隨著一個可以接受的誤差值.

    [關(guān)鍵詞] 函數(shù)最值;范圍;解題探究

    一個不含參數(shù)的,并且解析式和定義域都確定的函數(shù),它的值域應(yīng)該也是確定的. 如果它有最值,那么它的最值也應(yīng)該是確定的. 但是有些函數(shù)的最值,特別是一些超越函數(shù),是很難算出具體數(shù)值的,但有時我們需要知道最值的范圍. 這時就需要我們對最值進(jìn)行必要的估算. 對于這種能力的考查,符合《2019年全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)說明》中對于運(yùn)算求解能力的考查要求:能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理;能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運(yùn)算途徑;能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算.

    問題:已知關(guān)于x的不等式(x-3)lnx≤λ有解,求整數(shù)λ的最小值.

    分析:令h(x)=(x-3)lnx(x>0),這個結(jié)構(gòu)的函數(shù)屬于超越函數(shù)的范疇,我們用導(dǎo)數(shù)工具去研究它的變化趨勢和極值. 導(dǎo)函數(shù)h′(x)=

    lnx+1-

    (x>0)又是一個超越函數(shù),它的根是確定的,但是不知道具體的數(shù)值. 所以我們看到編題者巧妙地設(shè)置了一個求整數(shù)λ的最小值問題. 這里因為只要求λ是整數(shù),所以對最小值的要求也由原來的需要精確的最小值轉(zhuǎn)為只需要知道最小值的范圍即可. 這里的最小值范圍應(yīng)該限制在(k,k+1)(k∈Z)即可. 于是我們可以根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的一個估值,這個估值可以精確到一個合適的范圍.

    h′(1)=

    ln1+1-

    <0,h′(2)=

    ln2+1-

    >0,所以存在唯一x∈(1,2),使得h′(x)=0,即lnx+1-=0,當(dāng)x∈(0,x)時,h′(x)<0;當(dāng)x∈(x,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)=h(x)=(x-3)lnx. 又因為lnx+1-=0,所以lnx=-1代入h(x)=(x-3)lnx=(x-3)

    -1

    =3-

    x+

    . 又因為x∈(1,2),所以3-

    x+

    -2,-

    ,這個范圍跨了兩個連續(xù)整數(shù)區(qū)間,不符合題意. 我們有沒有辦法能夠進(jìn)一步縮小最小值的范圍呢?

    我們可以通過進(jìn)一步縮小導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x的范圍,從而來縮小最小值的范圍. h′

    =

    ln+1-2

    <0,所以x∈

    ,2

    ,所以3-

    x+

    -,-

    ,所以λ≥0. 所以整數(shù)λ的最小值0.

    解題感受:我們高中階段學(xué)習(xí)的絕大多數(shù)函數(shù)都是沒有辦法寫出值域的. 但是不是這類函數(shù)我們就不值得去研究了呢?其實(shí)這一類函數(shù)也有相當(dāng)大的研究價值. 在這里我們可以研究其最值的范圍問題,而且這個范圍還是有條件的,必須控制在一個整數(shù)區(qū)間內(nèi),于是我們使用了隱零點(diǎn)和估算. 由上面的解題分析,我們發(fā)現(xiàn),本題的最小值就是函數(shù)的極值,由于函數(shù)極值點(diǎn)x的不明確,導(dǎo)致了函數(shù)最小值的不明確. 但是最小值可以寫成關(guān)于x的函數(shù),我們可以調(diào)整定義域x的范圍,從而來實(shí)現(xiàn)調(diào)整最小值范圍的目的. 此題的本質(zhì)是求定義域和值域的問題.

    本題的思維導(dǎo)圖如下:

    解題反思:1.如果x∈

    ,2

    仍然不能使h(x)限定在一個連續(xù)整數(shù)區(qū)間內(nèi),則根據(jù)零點(diǎn)存在定理和二分法的思想,我們可以進(jìn)一步縮小,我們可以繼續(xù)去尋找

    ,2

    的中間值,比如取,然而h′

    =

    ln+1-

    的正負(fù)不是那么容易確定的,于是區(qū)間進(jìn)一步縮小僅僅停留在了理論的層面. 實(shí)際問題中,往往很難實(shí)施. 如果我們把題目略做修整,(x-3)lnx≤λ有解,如果按照上面的方法處理,那么左邊的函數(shù)的最小值的范圍

    -,-

    . 此時不符合(k,k+1)(k∈Z)的特點(diǎn),需要進(jìn)一步縮小x. 我們發(fā)現(xiàn)不論在

    ,2

    上取哪一個值,都不是特別好確定它的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù). 所以編題者這里巧妙地設(shè)置了系數(shù),把最小值限制在了(k,k+1)(k∈Z)內(nèi). (x-3)lnx≤λ有解,是不是真的就沒有辦法求解了?其實(shí),如果我們能夠證明(x-3)lnx>-1對于x>0恒成立,那么最小值就只能落在

    -1,-

    內(nèi)了,問題便迎刃而解. 通過證明我們得到結(jié)論lnx≤x-1(x>0)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號. 所以當(dāng)x∈(1,3),(x-3)lnx>(x-3)(x-1)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,當(dāng)x∈(0,1]∪[3,+∞), (x-3)lnx≥0,所以(x-3)lnx>-1對于x>0恒成立. 再結(jié)合最小值的范圍在

    -,-

    ,所以我們可以確定最小值的范圍在

    -1,-

    .

    我們再來看一例:ex+≥a對x>0恒成立,求整數(shù)a的最大值.

    分析:與上例類似處理,h(x)=ex+(x>0),h′(x)=ex-(x>0),易得h′(x)在(0,+∞)上遞增. 又因為h′

    =e-4<0,h′

    =e->0. 所以必存在x∈

    ,

    ,使得h′(x)=e-=0,所以e=. 由分析可知h(x)=h(x)=e+=+,x∈

    ,

    ,易得h(x)∈

    ,6

    .

    問題來了,區(qū)間的跨度比較大,跨越了3個整數(shù)區(qū)間. 而且x∈

    ,

    已經(jīng)縮放得比較完美了,再去進(jìn)行放縮,難度非常大. 這時候,如果我們發(fā)現(xiàn)h(1)=e+1∈(3,4),那么最小值的范圍就只能在區(qū)間(3,4). 從上面的2個例子我們發(fā)現(xiàn),有時我們在解題中善于發(fā)現(xiàn)特殊區(qū)間或者特殊點(diǎn)處函數(shù)值的范圍,將大大簡化我們的解題過程.

    最值關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式的建構(gòu)不是唯一的. 因為lnx+1-=0,所以x=,h(x)=(x-3)lnx=·

    -3

    lnx=-,x∈

    ,2

    . 如果化到這個式子,則處理起來相當(dāng)麻煩. 因為不同的代入方式,會得到不同的解析式. 所以我們要求構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該簡單、明了,能夠容易求得函數(shù)的值域. 下面舉一例說明:

    已知f(x)=ex-lnx(x>0),若正整數(shù)k≤f(x)恒成立,求k的值.

    分析:f′(x)=ex-(x>0),f″(x)=ex+(x>0),所以y=f′(x)單調(diào)遞增. 又因為f′(1)=e-1>0,f′

    =-2<0,所以必存在x∈

    ,1

    ,使f′(x)=e-=0. 所以f(x)=f(x)=e-lnx. 因為e=,所以f(x)=f(x)=-lnx,如果能夠進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)e=?x=-lnx,則f(x)=f(x)=+x. 又因為x∈

    ,1

    ,f(x)=f(x)=+x∈

    2,

    ,所以k的值為0或1.

    數(shù)學(xué)的思想方法存在于問題解決的過程中,一個有意義且高效的解題過程的每個步驟無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)作用[1]. 本題在解決過程中很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn),比如:最值到極值體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想,極值的函數(shù)構(gòu)建體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想,縮小x的范圍體現(xiàn)了逼近思想.

    參考文獻(xiàn):

    [1]? 蔣海燕. 中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[M]. 濟(jì)南:山東人民出版社,2017.

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