用數(shù)學(xué)建模的眼光看待數(shù)學(xué)教學(xué)

周桂群

[摘? 要] 新課改背景下，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，認(rèn)為在教學(xué)中，教師不僅要在思想上加以重視，而且要把數(shù)學(xué)建模意識(shí)滲透到每堂課中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的眼光看待數(shù)學(xué)教學(xué)，用數(shù)學(xué)建模的思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)教學(xué);概念;解題;研究性

什么是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的？在轟轟烈烈大搞高考應(yīng)試教育的大背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的往往被人誤解為都是為了高考這場(chǎng)“一次性的消費(fèi)”. 當(dāng)高考的硝煙散盡后，曾經(jīng)的考生在以后的生命中，卻沒有留下任何的“數(shù)學(xué)的痕跡”. 筆者在想，我們?cè)撊绾闻まD(zhuǎn)這個(gè)局面，于是，想到了數(shù)學(xué)建模. 何為數(shù)學(xué)建模？新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言來描述與表達(dá)、用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法去構(gòu)建模型，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去解決問題的素養(yǎng). 因此，在課堂教學(xué)中，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，作為教師不僅在思想上加以重視，而且要把數(shù)學(xué)建模意識(shí)滲透到每堂課中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的眼光看待數(shù)學(xué)教學(xué)，用數(shù)學(xué)建模思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué).

[?]用數(shù)學(xué)建模的眼光看待概念教學(xué)

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分. 萬丈高樓平地起，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與深刻領(lǐng)會(huì)，是其后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ). 從某種意義上講，數(shù)學(xué)概念的形成就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程. 數(shù)學(xué)概念大多是從實(shí)際問題中抽象出來的，而這一抽象過程就是一個(gè)建模過程. 教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生從特殊問題中找出普遍性，從而形成數(shù)學(xué)概念;再引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)概念應(yīng)用于實(shí)際問題中，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)有一個(gè)質(zhì)的飛躍.

比如，冪函數(shù)概念課的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握什么是冪函數(shù). 教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的部分函數(shù)，如y=x，y==x-1，y=x2，y=x3和y==x，并告訴學(xué)生其都是冪函數(shù);然后，讓學(xué)生從這些函數(shù)的共同特點(diǎn)中構(gòu)建出冪函數(shù)的概念，即形如y=xα（其中α∈R且為常數(shù)）的函數(shù)就是冪函數(shù). 學(xué)生在大腦中建立了冪函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型后，為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的概念是否真正掌握，教師可出示如下兩個(gè)問題進(jìn)行檢測(cè).

問題1：下列函數(shù)是冪函數(shù)的有___. （填序號(hào)）

①y=3x2;②y=;③y=x2+3x;

④y=;⑤y=-x2.

問題2：已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)（4，16），求該冪函數(shù)的解析式.

上述兩個(gè)問題，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念建模是否到位的反饋. 學(xué)習(xí)是一個(gè)從知之甚少到知之甚廣的過程，每一次對(duì)數(shù)學(xué)概念的重新認(rèn)識(shí)，都是對(duì)數(shù)學(xué)概念模型的進(jìn)一步修正. 對(duì)上面的問題，有的學(xué)生不假思索地認(rèn)為y=-x也是冪函數(shù)，而認(rèn)為y=不是冪函數(shù)，其根本原因是這部分學(xué)生對(duì)冪函數(shù)概念的建立只停留于表象（對(duì)于函數(shù)y=-x2沒有注意到系數(shù)不是1，對(duì)于函數(shù)y=沒有注意到它可等價(jià)化為y=x），沒能抓住概念的本質(zhì)，此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行二次構(gòu)建，完善概念的內(nèi)涵與外延，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的本質(zhì)性的突破.

[?]用數(shù)學(xué)建模的眼光看待解題教學(xué)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)另一個(gè)重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)其實(shí)也是利用數(shù)學(xué)模型解決問題. 雖然數(shù)學(xué)方法千變?nèi)f化，但都離不開數(shù)學(xué)模型的建立，如函數(shù)模型、立體幾何模型、三角函數(shù)模型、解析幾何模型、數(shù)列模型和概率統(tǒng)計(jì)模型. 善于構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，用最簡(jiǎn)便的方法解決問題，是數(shù)學(xué)解題的最高境界，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑之一. 在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從問題的實(shí)際出發(fā)，建立多種數(shù)學(xué)模型解決同一問題，以達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題效果.

例如，已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，則a+b+c的最小值為________ .

本題是一個(gè)條件為不等式的多元函數(shù)最值問題，是高考中的難點(diǎn)問題，也是教學(xué)中的重點(diǎn)問題. 對(duì)于這類問題的教學(xué)，教師應(yīng)不滿足于一種解法，而是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建不同的數(shù)學(xué)模型，激活學(xué)生的思維，從而讓學(xué)生抓住本質(zhì).

思路1：通過消元，建立函數(shù)模型. 因?yàn)閏≥a2+b2，所以a+b+c≥a+b+a2+b2=

a+

+

b+

-，故a+b+c的最小值為-.

思路2：利用不等式的傳遞性，建立不等式模型. 因?yàn)閏≥a2+b2，故a+b+c≥a+b+a2+b2. 又因?yàn)閍2+b2≥，故a+b+c≥a+b+a2+b2≥+（a+b）=[（a+b）+1]2-，故a+b+c的最小值為-.

思路3：利用三角換元，建立三角函數(shù)模型. 令a=rcosθ，b=rcosθ，r∈[0，1]，則a+b+c≥a+b+a2+b2=r2+r（cosθ+sinθ）=r2+rsin

θ+

=

r+sin

θ+

2-sin2

θ+

. 所以a+b+c的最小值為-.

思路1的函數(shù)模型根據(jù)條件進(jìn)行放縮，利用配方法解決問題;思路2的不等式模型根據(jù)條件進(jìn)行放縮，關(guān)注到基本不等式，同時(shí)有整體配方思想;而思路3的三角形模型則通過換元，利用三角函數(shù)的有界性解決問題.三種思路各顯其能，各有千秋，不僅溝通了各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，而且讓數(shù)學(xué)解題的層次更上了一個(gè)研究的臺(tái)階. 其實(shí)數(shù)學(xué)解題的方法，就是研究合理的數(shù)學(xué)模型，無論是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，還是數(shù)學(xué)方法的實(shí)施，都不是憑空而來的，必須先從建立數(shù)學(xué)模型入手，才能使解題更有效.

[?]用數(shù)學(xué)建模的眼光看待研究性學(xué)習(xí)

研究性學(xué)習(xí)是一項(xiàng)基于數(shù)學(xué)建模的綜合性探究活動(dòng)，其要求學(xué)生能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并從數(shù)學(xué)模型中找到問題的本質(zhì)和解決問題的方法，這是知識(shí)向方法的轉(zhuǎn)移，更是探究能力的突破. 比如，請(qǐng)學(xué)生對(duì)本地的房?jī)r(jià)變化趨勢(shì)加以研究. 首先，學(xué)生要搜集從2000年至2020年每年的房?jī)r(jià)的均價(jià)，并將有關(guān)數(shù)據(jù)制成表格，然后將表格中的數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來，通過與所學(xué)的函數(shù)圖像進(jìn)行比較，找出擬合函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求該函數(shù)的解析式，最后利用其他的點(diǎn)判斷誤差，從而大致分析出房?jī)r(jià)的走向. 這一過程看似紙上談兵，卻能培養(yǎng)學(xué)生的建模能力與探究能力. 其實(shí)研究性學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模，不僅僅表現(xiàn)在研究課題性質(zhì)的學(xué)生的合作學(xué)習(xí)中，同樣也體現(xiàn)在學(xué)生個(gè)人的學(xué)習(xí)行為中，面對(duì)一個(gè)文字冗長(zhǎng)的實(shí)際問題，學(xué)生通過研究性學(xué)習(xí)，才能準(zhǔn)確建模，并快速解決問題. 如下面的摩天輪問題.

問題1：在大型游樂場(chǎng)或公園里，我們經(jīng)常會(huì)看到摩天輪，它是一種大型的游樂設(shè)施，當(dāng)游客坐上摩天輪的座艙時(shí)，摩天輪就開始緩緩向上轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)游客鳥瞰四周，美景盡收眼底（如圖1所示）. 已知某個(gè)摩天輪上離地面最高的點(diǎn)的高度是90 m，與地面最近的點(diǎn)的高度是10 m. 設(shè)計(jì)師在摩天輪上等距離安裝了36個(gè)座艙（如圖2所示）. 按下按鈕后，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，有一游客當(dāng)座艙離地面距離最小時(shí)進(jìn)入那個(gè)離地面最近的座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后游客離開座艙. 已知摩天輪旋轉(zhuǎn)一周花去時(shí)間30分鐘，假如當(dāng)游客甲坐上摩天輪座艙的瞬時(shí)開始計(jì)時(shí).

（1）設(shè)摩天輪旋轉(zhuǎn)t分鐘后游客甲與地面的垂直距離是h米，已知高度h與時(shí)間t之間滿足的函數(shù)關(guān)系式是h（t）=Asin·（ωt+φ）+B（其中A>0，ω>0），試求摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的函數(shù)關(guān)系式h（t）;

（2）當(dāng)游客甲乘坐摩天輪后經(jīng)過多久，他與地面相距30米？

（3）假如當(dāng)游客甲入座后，并轉(zhuǎn)動(dòng)了6個(gè)座艙，游客乙也在摩天輪離地面最近的位置入艙（他們之間相隔5個(gè)艙位），那么在摩天輪旋轉(zhuǎn)一周中，兩人與地面的垂直距離的差的最大值是多少？

問題2：如圖3所示，該摩天輪的半徑是50米，摩天輪的中心O與地面相距65米.摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需30分鐘.當(dāng)座艙離地面距離最小時(shí)游客入座.

（1）游客入座后，摩天輪旋轉(zhuǎn)了t分鐘，求此時(shí)該游客與地面的距離h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;

（2）假如當(dāng)游客與地面的距離超過40米時(shí)，他能欣賞到游樂場(chǎng)的每個(gè)角落的風(fēng)景，那么在摩天輪旋轉(zhuǎn)一周這個(gè)時(shí)間段中，游客能欣賞到游樂場(chǎng)的每個(gè)角落的風(fēng)景時(shí)間有多長(zhǎng)？

上述兩個(gè)問題，講的都是摩天輪，雖然考查的都是三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，但問題的側(cè)重點(diǎn)有所不同. 問題1中函數(shù)模型已經(jīng)建立，要求考生直接利用給出的三角函數(shù)模型來解決問題，但給出的三角函數(shù)不完善，需要考生加以補(bǔ)充. 而問題2，則沒有給出任何數(shù)學(xué)模型，要求考生從問題的實(shí)際出發(fā)，通過建立坐標(biāo)系來建立三角函數(shù)模型解決問題. 無論哪個(gè)問題，考生必須對(duì)問題的情境進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究，否則數(shù)學(xué)建模就成了一句空話. 不難發(fā)現(xiàn)，研究性學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模唇齒相依，離開了數(shù)學(xué)建模進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)必然是“緣木求魚”.

教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù). 讓我們帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭，享受數(shù)學(xué)發(fā)生的過程，分享數(shù)學(xué)建模的成果，遠(yuǎn)離題海戰(zhàn)術(shù)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).