“問題鏈+媒體”，助力數(shù)學(xué)可視化教學(xué)

周躍佳

[摘? 要] 問題是數(shù)學(xué)的心臟，媒體是數(shù)學(xué)的眼睛.精心設(shè)計(jì)問題鏈有利于改善“供血”功能，合理充分利用媒體，能讓數(shù)學(xué)思維可視化.文章以正弦定理的教學(xué)為例設(shè)計(jì)問題鏈，并運(yùn)用希沃白板建立“可見”與“抽象”之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中獲取知識(shí)，在獲取知識(shí)的過程中獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 問題鏈;正弦定理;希沃白板

“問題鏈+媒體”，是思維與技術(shù)的結(jié)合. 在問題鏈的引導(dǎo)下、師生情感交融的研討中，以媒體促進(jìn)知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成.教師應(yīng)當(dāng)精心創(chuàng)設(shè)問題鏈，引領(lǐng)學(xué)生在認(rèn)知缺口的產(chǎn)生、彌合與完善的過程中，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和解決問題的能力.下面以正弦定理的教學(xué)為例，以情境性問題為興趣點(diǎn)、新舊知識(shí)的結(jié)合為生長(zhǎng)點(diǎn)、遞進(jìn)式探究為成就點(diǎn)、運(yùn)用性問題為信心點(diǎn)、呼應(yīng)性問題的解決為自豪點(diǎn)、懸念性問題為升華點(diǎn)，運(yùn)用希沃白板讓抽象知識(shí)直觀化，模糊概念清晰化，只可“意會(huì)”不可“言傳”的理論可視化.

[?]教學(xué)過程

1. 情境導(dǎo)入、激發(fā)興趣（興趣點(diǎn)）

情境性問題：

師：星光璀璨、明月高懸，我們仰望星空，充滿無限的遐想，不禁會(huì)問，遙不可及的月亮，離我們究竟有多遠(yuǎn)？1671年，兩位法國(guó)的天文學(xué)家測(cè)出了地球與月球之間的距離大約為385400 km.他們是怎么測(cè)量出來的呢？檢索我們大腦中的信息，找不到絲毫相關(guān)內(nèi)容，其實(shí)這和我們今天這節(jié)課的內(nèi)容有關(guān). （教師運(yùn)用希沃白板進(jìn)行情境呈現(xiàn)）

生：期待中.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生求知欲望.激起學(xué)生產(chǎn)生思考、探索和達(dá)到目標(biāo)的心向，使學(xué)生集中注意力于問題的解決中.

2. 復(fù)習(xí)舊知、發(fā)現(xiàn)目標(biāo)（生長(zhǎng)點(diǎn)）

鋪墊性問題：

師：我們今天研究什么呢？三角形.小學(xué)就學(xué)了三角形，初中還學(xué)了三角形，還有什么好研究的呢？注意：“好問題如同某種蘑菇，它們大都成堆地生長(zhǎng).”我們應(yīng)該再找一找！請(qǐng)大家重拾兒時(shí)的記憶，我們一起來認(rèn)真觀察！如果我們把角A的對(duì)邊記作a，把角B的對(duì)邊記作b，把角C的對(duì)邊記作c. 請(qǐng)問：我們直觀看到的最小的角是哪個(gè)角？最短的邊是哪條邊？最大的角是哪個(gè)角？最長(zhǎng)的邊是哪條邊？第二大的角是哪個(gè)角？第二長(zhǎng)的邊是哪條邊？這揭示了一個(gè)什么規(guī)律？

生：大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.

設(shè)計(jì)意圖：尋找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，為后面的探究做鋪墊. 經(jīng)歷了垂直數(shù)學(xué)化的直觀感受階段，通過希沃白板的可視化操作讓直觀性更強(qiáng).

過渡性問題：

師：大邊、大角，小邊、小角！這只是直觀的定性描述. 多大？多小？邊和角，究竟有什么準(zhǔn)確量化的關(guān)系呢？這個(gè)問題的提出，我們不得不重新研究三角形.但是怎么研究呢？當(dāng)我們面臨一個(gè)新的問題時(shí)，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為一個(gè)老問題，從我們熟悉的問題情境開始研究，于是從我們最熟悉的直角三角形看起，而邊角關(guān)系，我們學(xué)過正弦、余弦和正切，我們今天就選擇從正弦入手（板書：正弦）.

生：根據(jù)正弦函數(shù)的定義：=sinA，=sinB.

目標(biāo)性問題1：

師：它們之間有聯(lián)系嗎？（教師板書引導(dǎo)聯(lián)系）

生：得到==c.

目標(biāo)性問題2：

師：那會(huì)怎么樣呢？

生：由于sinC=1，所以==.

設(shè)計(jì)意圖：得出等式==，為引導(dǎo)學(xué)生猜想做鋪墊.以直角三角形的研究實(shí)現(xiàn)垂直數(shù)學(xué)化的特例分析，醞釀步入抽象階段.

3. 遞進(jìn)探究、形成定理（成就點(diǎn)）

師：噢！三角形中居然隱藏著這樣奇妙的關(guān)系，我們應(yīng)該為我們的發(fā)現(xiàn)而感到欣喜. 既然我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)成果，那么我們這節(jié)課就上到這里，下課?。▽W(xué)生疑惑為什么就下課了）

生：不！這只是在直角三角形中發(fā)現(xiàn)的.

過渡性問題：

師：對(duì)于一般的三角形，這個(gè)關(guān)系成立嗎？

教師演示幾何畫板，拉動(dòng)三角形，使邊和角不斷變化.

學(xué)生觀察，看到無論三角形的邊和角怎么變化，上述結(jié)論都成立.幾何畫板是探索幾何奧秘的一個(gè)重要工具，這里運(yùn)用它在變化的三角形中探索不變的邊角關(guān)系，其動(dòng)態(tài)演示讓抽象的規(guī)律變得可見，降低了學(xué)生發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律的難度.

目標(biāo)性問題3：

師：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，該怎么證明呢？請(qǐng)大家提筆拿尺畫出一個(gè)銳角三角形，標(biāo)上角A，B，C和邊a，b，c，看著這個(gè)三角形，我們?cè)撛趺醋C明呢？同學(xué)們可能會(huì)感覺到無從下手，波利亞先生曾說過“陌生的問題總是要轉(zhuǎn)化為熟悉的問題去研究”，而我們熟悉的就是剛剛研究過的直角三角形.

啟發(fā)性問題：

師：這里沒有直角，我們?cè)撛趺崔k呢？

生：我們就讓它產(chǎn)生直角.

學(xué)生在紙上完成畫圖并拍照上傳，教師點(diǎn)評(píng).

當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，=sinA，=sinB，即CD=bsinA，CD=asinB，所以asinB=bsinA，得到=. 同理可得=.

辨析性問題：

師：我們是不是就可以大膽放心地使用了呢？不！當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，等式還成立嗎？

學(xué)生作圖分析，教師點(diǎn)評(píng)、總結(jié)、板書.

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)90°

懸念性問題：

師：還有沒有其他方法可以證明正弦定理？（今天的探究作業(yè)）

目標(biāo)性問題：

師：截至目前，我們已經(jīng)完成了一般三角形的探究，這個(gè)結(jié)論可以正式地、隆重地進(jìn)入我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中了.

提煉成果：正弦定理（板書“定理”二字）：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，分析問題并解決問題，逐步探究并歸納出正弦定理.完成數(shù)學(xué)化的抽象（一般化）階段和嚴(yán)謹(jǐn)階段.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般過程，教會(huì)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣去思維.

4. 實(shí)際應(yīng)用、鞏固定理（信心點(diǎn)）

師：正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.它能幫助我們解決哪些問題呢？

解三角形的概念：一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形.

應(yīng)用性問題1：解三角形.

（1）在△ABC中，已知B=60°，C=75°，a=8，則b等于（? ）

A. 4 B. 4

C. 4 D. 2

（2）在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=，則角B等于（? ）

A. 150°B. 60°

C. 45° D. 30°

用“易課堂”發(fā)布習(xí)題，學(xué)生在平板上作答，及時(shí)統(tǒng)計(jì)作答情況，并作點(diǎn)評(píng).練習(xí)反饋的交互性能激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，把科學(xué)性、趣味性和教育性融于一體.

應(yīng)用性問題2：我們利用正弦定理，可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

媒體運(yùn)用：師生共同分析正弦定理，教師板書展演，在白板上畫一個(gè)三角形，利用“克隆”功能，反復(fù)使用.

分析正弦定理可知：（1）已知三角形任意兩角及一邊，由三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出三角形的另一個(gè)角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另外兩邊;（2）如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理，可以計(jì)算出另一邊的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角.

設(shè)計(jì)意圖：通過習(xí)題，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值，從而強(qiáng)化對(duì)定理的理解，同時(shí)用題組的方式，學(xué)生通過練習(xí)，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系和區(qū)別，可以更進(jìn)一步地提高分析問題和解決問題的能力.

懸念性問題：如果已知兩邊及其夾角，不能用正弦定理解決，該怎么解決呢？我們期待下一課：余弦定理. （發(fā)現(xiàn)一個(gè)“蘑菇”）

設(shè)計(jì)意圖：緊接著本堂課的研究主線，提出該問題，此問題不能通過正弦定理解決，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，為下一節(jié)“余弦定理”埋下伏筆.

5. 問題解決、首尾呼應(yīng)（自豪點(diǎn)）

呼應(yīng)性問題：

師：兩位法國(guó)天文學(xué)家是怎么測(cè)量地球與月球的距離的？引導(dǎo)學(xué)生利用正弦定理解決這個(gè)問題.

生：這個(gè)問題屬于知道兩角及一邊，可以用正弦定理順利解決. 教師帶領(lǐng)學(xué)生分析解決.

師：我們根據(jù)測(cè)量需要將選取的線段AB叫作基線. 當(dāng)然，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在還有一些更加先進(jìn)與準(zhǔn)確的測(cè)量距離的方法.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步提高學(xué)生通過觀察分析問題，并解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題.

6. 課堂總結(jié)，設(shè)置懸念（升華點(diǎn)）

（1）知識(shí)點(diǎn)總結(jié).

（2）思想和方法總結(jié).

（3）設(shè)置懸念：①還有沒有別的方法證明正弦定理？②知道兩邊及其夾角該如何解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己回顧和總結(jié)，可以提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力，激發(fā)學(xué)生持續(xù)研究的內(nèi)驅(qū)力.

7. 板書設(shè)計(jì)、拍照保存（記憶點(diǎn)）

利用平板電腦拍攝板書，保存. 課堂結(jié)束時(shí)，微信掃描二維碼，可以獲取本堂課的課件，不需要再用傳統(tǒng)的U盤拷貝資料.

[?]教學(xué)思考

問題鏈讓數(shù)學(xué)思維得以深化，媒體技術(shù)讓數(shù)學(xué)思維可視化，“問題鏈+媒體”實(shí)現(xiàn)“言傳”與“意會(huì)”之間的深度互通. 我們要讓問題鏈遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、合乎知識(shí)生成的邏輯、瞄準(zhǔn)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓媒體技術(shù)服務(wù)于問題鏈的直觀呈現(xiàn).

1. 問題鏈的設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的問題鏈設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 設(shè)計(jì)問題鏈之前，需要研究學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過去、現(xiàn)在和將來，過去學(xué)習(xí)了什么？現(xiàn)在正在學(xué)什么？需要什么過渡和鋪墊，才能更好地完成即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容？需要臺(tái)階式地提問，分解研究難點(diǎn)，還是一步到位，提高學(xué)生對(duì)問題的整體研究能力？這些都是在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)需要研究的問題.

數(shù)學(xué)教學(xué)的問題鏈設(shè)計(jì)要合乎知識(shí)生成的邏輯. 知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展具有一定的邏輯規(guī)律，沿著知識(shí)邏輯設(shè)計(jì)問題鏈，有利于催產(chǎn)知識(shí)，形成邏輯主線，使脈絡(luò)清晰，助力學(xué)生思維發(fā)展.

數(shù)學(xué)教學(xué)的問題鏈設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)瞄準(zhǔn)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn). 設(shè)計(jì)問題鏈的目的是為了解決教學(xué)的中心問題，課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)圍繞重點(diǎn)設(shè)計(jì)目標(biāo)性問題，瞄準(zhǔn)難點(diǎn)設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題，通過一個(gè)個(gè)問題的連鎖解答，從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).

2. 媒體的使用

本堂課從直角三角形向一般三角形研究的過渡，提出了過渡性問題，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示三角形的邊和角在變化過程中不變的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受邊角關(guān)系的同時(shí)獲得好奇心和求知欲. 對(duì)于預(yù)設(shè)與生成的不確定性，教師需要在課前預(yù)設(shè)學(xué)生可能得到關(guān)于問題的多種解決辦法，通過希沃白板的蒙層功能，靈活調(diào)整課堂上答案出示的先后順序，使其符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識(shí)自然生成的規(guī)律. 對(duì)于一個(gè)問題的連鎖解答，借助“克隆”功能，實(shí)時(shí)復(fù)制需要重復(fù)利用的公式，不需要再運(yùn)用公式編輯器進(jìn)行編輯. 既保持了授課界面的干凈整潔，又促進(jìn)了知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成.對(duì)于應(yīng)用性問題的解決，利用希沃白板的投屏功能將學(xué)生操作同屏到教師端和大屏幕，實(shí)時(shí)反饋和點(diǎn)評(píng)，實(shí)現(xiàn)資源共享和思維共享. 課堂作業(yè)定時(shí)發(fā)布和提交功能設(shè)定了學(xué)生的作答時(shí)間，同步了全體學(xué)生的思維進(jìn)程，增強(qiáng)了課堂緊迫感. 隨機(jī)點(diǎn)名功能彌補(bǔ)了教師點(diǎn)名的隨意性和由于教師的主觀性造成的點(diǎn)名不均勻. 同時(shí)提高了學(xué)生的警惕性，督促他們保持主動(dòng)思考的積極性.

“問題鏈+媒體”教學(xué)，體現(xiàn)了教師的教育智慧，在合適的時(shí)間，抓住合適的契機(jī)，用媒體輔助學(xué)生對(duì)問題鏈的直觀體驗(yàn)，助力高中數(shù)學(xué)可視化的質(zhì)感教學(xué).