王翠翠,孫 麗,鄒 斌
(1.安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部,安徽 合肥 230601;2.阜陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,安徽 阜陽 236031;3.安徽開放大學(xué) 文法與教育學(xué)院,安徽 合肥 230022)
2011 年Zadeh[1]提出了Z-number 后,許多學(xué)者對Z-number 展開了研究,Aliev 等[2-3]在模糊集截集的概念上,給出了Z-number 的基本算術(shù)運算以及Z-number 最大、最小、平方、平方根的代數(shù)運算,并基于線性規(guī)劃和簡單的最優(yōu)化問題提出了一種權(quán)衡計算復(fù)雜度和精度的計算方法,為Znumber 的拓展提供了良好的環(huán)境。隨后,Wang等[4]提出了語言Z-number 概念,并用語言術(shù)語來描述Z-number 的兩個分量,拓展了Z-number 的應(yīng)用范圍。一般來說,定義運算法是提出加權(quán)平均算子的基礎(chǔ),方春[5]定義有序加權(quán)平均算子(Ordered Weighted Average)并應(yīng)用于UML 類圖的度量問題。類似地,Pirmuhammadi 等[6]基于Z-number 的算術(shù)運算法則定義了廣義的Hukuhara 積分和廣義積分以及Z-numbr 的距離,并證明了Znumber 初值問題的相關(guān)性質(zhì),對Z-number 的基本運算進(jìn)行了補充。Peng 等[7]提出了離散Z-number的優(yōu)序關(guān)系并定義了離散Z-number 優(yōu)勢度的概念,通過ELECTRE III 方法中的偏好、無差異、否定三個閾值解決準(zhǔn)則之間的不可補償性,并將其與QUALIFLEX 方法結(jié)合發(fā)展出一種新的決策方法,將Z-number 與傳統(tǒng)的決策方法結(jié)合,將Znumber 理論應(yīng)用到了實際的決策問題中。盧亞楠等[8]將語言型Z-number 的云模型轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值,并提出了基于ELECTER 的正態(tài)Z+值多屬性決策方法。另外,部分學(xué)者還在Z-number 中定義了一些常用的特征變量,如相似度和距離[9]、頻譜函數(shù)[10]、效用函數(shù)[11]和T 模[12]。Kang 等[13]認(rèn)為Znumber 是一對經(jīng)典的模糊數(shù),提出了一種將Znumber 轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)的方法,而謝小軍等[14]基于二元區(qū)間模糊數(shù)構(gòu)建包含ARIMA 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型,這些經(jīng)典模糊環(huán)境下的決策方法都可以應(yīng)用到Z-number 環(huán)境中。對于Z-number 潛藏概率的求解問題,Yang 等[15]將差異最大化引入限制條件之中,并以此為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建Z-number 潛藏概率求解的線性規(guī)劃模型。Qiao 等[16]則是以隱藏概率熵的極大化為目標(biāo)求解潛藏概率。張曉珍等[17]構(gòu)建兩個非線性模型計算Z-number 的潛藏概率,并提出了Z-number 的PROMETHEE 多屬性決策方法。
TODIM 方法是多準(zhǔn)則決策中常用的一種決策方法。樊治平等[18]提出了區(qū)間數(shù)信息環(huán)境下的TODIM 決策方法,基于各屬性下評價值的距離來計算收益或者損失,從而計算優(yōu)勢度值對各方案進(jìn)行排序。王堅強等[19]將TODIM 方法拓展到多值中智集環(huán)境中提出一種基于多值中智集的多準(zhǔn)則決策方法。上面兩篇文章對于其他環(huán)境下TODIM 方法的發(fā)展具有借鑒意義。姜艷萍等[20]考慮到?jīng)Q策者具有參照依賴和損失規(guī)避行為,提出一種不完全信息的TODIM 決策方法,使得TODIM在信息更加貧乏的情況下依然能夠正常決策。目前將TODIM 與Z-number 結(jié)合的研究還比較少。因此,本文將針對Z+-number 環(huán)境下的決策問題,拓展出Z+-number 環(huán)境中的TODIM 方法。
本節(jié)將介紹離散Z-number 集、離散Z+-number 集等概念,并定義離散Z+-number 集海明距離。
定義1[1](離散Z-number 集)設(shè)X是一個隨機變量,A和B分別是定義在X上和[0,1]上的兩個離散的模糊數(shù),A的隸屬度值μA:x1,x2,…xn→[0,1],B的隸屬度μb:b1,b2,…,bn→[0,1]。定義在X上的離散Z-number 記作Z=(A,B),這里A是X的模糊限制,B是模糊限制A的概率測度。
定義2[2](離散Z+-number 集)設(shè)X是一個隨機變量,A是定義在X上的離散的模糊數(shù),這里A是對X的模糊限制,R是X的概率分布p(x),
其中μi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的可能性,pi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的概率,則稱其為離散Z+-number,記作Z+=(A,B)。
定義3設(shè)=(A1,R1),=(A2,R2)為X上的兩個Z+-number 集,它們的概率分布分別為
將x11,x12,…,x1m,x21,x22,…,x2n中相同的元素進(jìn)行合并,然后重新進(jìn)行排列,記作x1,x2,…,xl,其中xi對應(yīng)的Z1和Z2中的概率分別記為P1i和P2i,在Z1或Z2中未出現(xiàn)的xi在Z1或Z2中對應(yīng)的概率設(shè)為零,則Z+-number 的海明距離可表示為
Z-number 潛藏概率的求解是Z-number 研究的一個重要問題。文獻(xiàn)[15]將差異最大化引入限制條件之中,并以此為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建Z-number 潛藏概率求解的線性規(guī)劃模型,但該方法對概率測度B的信息利用不夠充分,可能會造成很多信息損失。文獻(xiàn)[16]以隱藏概率熵的極大化為目標(biāo)求解潛藏概率,該方法得出的潛藏概率矩陣能夠表達(dá)語言術(shù)語語意漸進(jìn)的過程,但當(dāng)可靠性較小時所得出的潛藏概率不能令人信服。為了克服這些方法的不足,本文基于文獻(xiàn)[16],引入概率和隸屬度的一致性作為求解潛藏概率的目標(biāo),并且對B中的每個概率值都給出對應(yīng)的潛藏概率,然后進(jìn)行集成以得到最終的綜合潛藏概率值。因此,可以得出如下的潛藏概率求解模型。
Z=(A,B)是定義在X上的離散Z-number,A的隸屬度值μA:x1,x2,…,xn→[0,1],B的隸屬度值為μB:b1,b2,…,bn→[0,1],pX:p1,p2,…,pn→[0,1] 為X上對應(yīng)元素的潛藏概率,則對它求解的線性規(guī)劃模型如下:
其中α是懲罰函數(shù),當(dāng)μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)≥0時,α=0;當(dāng)μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)<0 時,α取一個很大的正數(shù),例如α=100 0。
例如,設(shè)Z=(A,B),A和B的隸屬度如下:
計算得出Z的潛藏概率分布矩陣如表1。
表1 Z 的潛藏概率分布
最終綜合潛藏概率可以利用可靠性度量的隸屬程度進(jìn)行集成,記μB中隸屬度值組成的向量為mB,mB=[μB(bi)]1×n,記潛藏概率分布矩陣為E,綜合潛藏概率向量的求解公式為:
因此,求得Z的綜合潛藏概率向量為P=[0.062 9,0.174 2,0.525 8,0.174 2,0.062 9]。
對離散Z+-number 環(huán)境下的多屬性決策問題,假設(shè)有m個備選方案A={A1,A1,…,Am},n個決策屬性a={a1,a1,…,an},其權(quán)向量ω={ω1,ω2,…,ωn},wj∈[0,1]且=1。aj下的值為Z-number 值,其中模糊限制記為si,i∈{0,1,2,…,2s},可靠性度量記為s′i,i∈{0,1,2,…,2t},構(gòu)成的決策矩陣為R=[rij]m×n。
基于離散Z+-number 的改進(jìn)的TODIM 方法具體步驟如下:
Step 1:對決策信息進(jìn)行規(guī)范化處理,得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣~R=[rij]m×n。對于效益型屬性,對應(yīng)的決策信息不用改動。對成本型屬性,取決策信息的補集,即Z=(si,s′j),ZC=(s2s-i,s′2t-j)。
Step 2:求出各評價值的潛藏概率,確定評價信息的Z+-number 矩陣,記為R+=
Step 3:選取參照標(biāo)準(zhǔn)ak,一般選權(quán)重最高的準(zhǔn)則為參照標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)一個Z-numberZ=(A,B)是定義在X上的離散Z-number,令hA=maix [μA(xi)],hB=,記Z的中心值為H,且H可通過公式H(Z)=hA×hB求得。
Step 4:計算方案間的優(yōu)先程度,假設(shè)方案Ai優(yōu)于Aj的程度δ(Ai,Aj),
公式(4)中的價值函數(shù)φl(Ai,Aj)表示在準(zhǔn)則al(l=1,2,…,n)下方案Ai優(yōu)于Aj的程度;參數(shù)θ表示損失的衰減系數(shù),可以根據(jù)決策者進(jìn)行調(diào)整,若θ<1,則損失的影響會增大,若θ>1,則損失的影響將減小,θ=1 是最常用的;表示準(zhǔn)則al的權(quán)重除以參考準(zhǔn)則ak的權(quán)重ωk;Hil和Hjl分別表示Z+-number和的中心值;表示兩個表示Z+-number和的距離。
Step 5:計算方案Ai的綜合排序值ξi,即
Step 6:根據(jù)綜合排序值ξi進(jìn)行排序,ξi的值越大,方案Ai越優(yōu)先。
某投資公司面對四個待選的高新技術(shù)投資方案:移動通信(x1)、新能源技術(shù)(x2)、生物醫(yī)藥(x3)、低碳減排技術(shù)(x4),選擇最優(yōu)方案進(jìn)行投資,邀請專家分別從收益率(a1)、技術(shù)成熟度(a2)、發(fā)展前景(a3)、潛在風(fēng)險(a4)四個方面進(jìn)行評價,四個屬性權(quán)重向量為ω=[0.25,0.20,0.25,0.30],且四個屬性均為效益型。模糊限制和可靠性度量的語言尺度見表2 和表3,專家評估結(jié)果如表4 所示。
表2 模糊限制對應(yīng)的語言尺度
表3 可靠性度量對應(yīng)的語言尺度
表4 專家評估結(jié)果
Step 1:由于各屬性均為效益型屬性,因此相應(yīng)的決策信息無需變動。
Step 2:計算各Z-number 評價結(jié)果的潛藏概率,并求出評價信息的Z+-number 矩陣,其中
Step3:依照屬性權(quán)重選取參照標(biāo)準(zhǔn),選為a4。
Step 4:假設(shè)取衰減系數(shù)θ=1,計算方案間的優(yōu)先的程度,結(jié)果如表5。
表5 方案間的優(yōu)先程度
Step 5:根據(jù)公式(5)計算方案Ai的綜合排序值ξi,得ξ1=0,ξ2=0.698 4,ξ3=0.355 0,ξ4=1。
Step 6:對綜合排序值進(jìn)行比較,可得方案最終排序為A4?A2?A3?A1。
由于不同衰減系數(shù)θ的取值可能會對最終排序結(jié)果產(chǎn)生一定影響,下面對排序結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健性分析,選取不同的θ值對方案進(jìn)行排序,結(jié)果見表6 所示。不難發(fā)現(xiàn),取四個不同的θ值時方案的排序完全一致,均為A4?A2?A3?A1,由此驗證了本方法具有較好的穩(wěn)健性。
表6 排序結(jié)果穩(wěn)健性分析
本文定義了Z+-number 的海明距離,提出了新的Z-number 潛藏概率求解方法,并將Z+-number環(huán)境與TODIM 方法相結(jié)合擴展出了基于Z+-number 的TODIM 方法,并針對衰減系數(shù)作了穩(wěn)健性分析。結(jié)果檢驗了本文方法的穩(wěn)健性,為Znumber 環(huán)境下的決策研究提供了一種新的解決方式。在進(jìn)一步的研究中,將會對Z+-number 的熵進(jìn)行研究,并探索如何對屬性權(quán)重進(jìn)行客觀定權(quán)。