多孔功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動分析

王偉斌， 楊文秀， 滕兆春

(蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050)

1 引 言

功能梯度材料FGMs(Functionally Graded Materials)是一種非均質(zhì)的新型復合材料，最早由日本科學家Toshio等提出[1]。航天飛機在通過大氣層時，高速飛行會使機身內(nèi)外存在很大的溫差，從而導致材料內(nèi)部產(chǎn)生很大的熱應力，為了解決熱防護系統(tǒng)出現(xiàn)的這一系列不利因素，進而對機身材料的力學性能和耐熱性能有很高的要求，F(xiàn)GMs的出現(xiàn)滿足了這一要求[1]。FGMs通常是由兩種或者兩種以上性能不同的材料復合而成，也可以通過不同性質(zhì)、大小和形狀的增強相和基體相使用連續(xù)的方法結(jié)合而成。通過逐漸改變組成材料的體積分數(shù)，F(xiàn)GMs結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和功能由一側(cè)向另一側(cè)呈連續(xù)梯度變化，因此不存在明顯的界面，與均勻的復合材料相比，消除了不連續(xù)的物理性能，使得熱應力集中能夠降到最低[2]。FGMs已廣泛應用于機械工程、土木工程、船舶工業(yè)和核工業(yè)等高技術(shù)領(lǐng)域。近些年來，人們對功能梯度梁、板以及殼結(jié)構(gòu)的力學行為進行了大量的研究[3-5]。Esen[6]研究了熱環(huán)境中加速載荷作用下功能梯度Timoshenko梁的動態(tài)響應，得到了在均勻、線性和非線性熱載荷及變速熱載荷作用下運動質(zhì)量與不同陶瓷和金屬成分的梯度梁相互作用的新結(jié)果。Baghlani等[7]研究了彈性地基上的FGMs部分充液圓柱殼在熱環(huán)境下的力學性能，得到了冪律指數(shù)、液體深度和溫度對殼的無量綱固有頻率的影響。Shahbaztabar等[8]分析了部分或完全與流體接觸的FGMs圓柱殼在Pasternak地基上的自由振動問題，得到了液深比、彈性地基和幾何參數(shù)等對無量綱固有頻率的影響。蒲育等[9]基于一種擴展的n階廣義剪切變形梁理論，得出了彈性地基上FGMs簡支梁自由振動的解析解。林鵬程等[10]應用微分求積法研究了熱沖擊下軸向運動FGMs梁的自由振動，考慮了不同熱沖擊載荷、梯度指數(shù)和軸向運動無量綱速度對FGMs梁自振頻率的影響。滕兆春等[11]基于平面線彈性理論，分析了FGM 環(huán)扇形板的面內(nèi)自由振動。孫云等[12]基于物理中面概念，分析了FGM薄板的屈曲，得出了FGM薄板臨界載荷與均勻板臨界載荷中計算系數(shù)的關(guān)系，為FGM的推廣起到了積極作用。

由于現(xiàn)有制備技術(shù)的缺陷，某些制備過程在FGMs內(nèi)部不可避免會出現(xiàn)小的孔隙，形成多孔FGMs。同時，隨著FGMs的應用越來越廣泛，也可以使用泡沫金屬和陶瓷來制造多孔FGMs以形成可應用的特殊功能結(jié)構(gòu)，如催化器、過濾器、生物材料和燃燒室等。這些孔隙率對FGMs的物理性能和功能特性有很大的影響，因此越來越多的研究人員開始關(guān)注多孔FGMs的力學行為分析。Zenkour等[13]研究了功能梯度夾層多孔材料板的彎曲響應，討論了梯度指數(shù)和孔隙率的影響。Slimane[14]基于高階剪切變形理論，研究了多孔陶瓷-金屬功能梯度板的彎曲問題。Behravan Rad等[15]基于徑向和厚度方向上微分求積和狀態(tài)空間矢量技術(shù)的求解方法，進行了非對稱變厚度多孔FGMs圓板的三維磁彈性分析。 Zghal等[16]采用不同的孔隙分布方式，研究了多孔材料功能梯度梁的靜態(tài)彎曲問題。Ait Atmane等[17]考慮剪切變形和橫向拉伸效應，研究了雙參數(shù)彈性地基上多孔FGMs梁的彎曲、自由振動和屈曲響應。

近來大多研究者主要集中對多孔均勻材料板和多孔FGMs板進行靜動態(tài)力學分析，且一般只考慮孔隙在材料中均勻分布的情況。目前，對多孔FGMs梁結(jié)構(gòu)的動力學研究相對較少，尤其對孔隙的其他分布形式鮮有考慮。本文基于Timoshenko梁理論，考慮孔隙的均勻分布和線性分布，應用微分變換法DTM(Differential Transformation Method)研究多孔FGMs梁的自由振動問題，并在退化后與已有文獻的結(jié)果進行對比以驗證正確性。在計算結(jié)果的基礎(chǔ)上，進一步分析孔隙率、梯度指數(shù)和細長比對多孔FGMs梁自由振動無量綱固有頻率的影響。

2 控制微分方程的建立及物理參數(shù)的無量綱化

圖1 多孔功能梯度梁的幾何模型

均勻分布：

(1)

線性分布：

(2)

式中n為FGMs梯度指數(shù)，下標c與m分別表示陶瓷和金屬材料，θ表示孔隙率。

基于Timoshenko梁變形理論，可設(shè)多孔FGMs梁的位移場為

(3)

w(x,z,t)=w0(x,t)

(4)

(5)

σx x=E(z,θ)εx x,τx z=G(z,θ)γx z

(6)

將式(5)代入式(6)，積分得到軸力和彎矩為

(7)

剪力為Qx z=ksA55γx z

(8)

(9)

(10)

ks為剪切修正系數(shù)，本文取ks=5/6。式(10)的積分結(jié)果為

D11=Ecbh3，A55=A11/[2(1+μ)]

式中Pm為Em，Pc為Ec。均勻分布時,β1=2,β2=24； 線性分布時,β1=4,β2=96。

根據(jù)Hamilton原理，在所有約束允許的可能運動中，真實運動使Hamilton作用量具有極值，即Hamilton作用量的一階變分為0?？蓪憺?/p>

(11)

(12)

(13)

(14)

式中δ為細長比，Ω為多孔FGMs梁的無量綱固有頻率。得到多孔FGMs梁的自由振動控制微分方程為

(15)

對于多孔FGMs梁在ξ=0和ξ=1的無量綱邊界條件，其形式如下,

固定(C):W=0， dW/dξ=0

(16)

簡支(S):W=0， d2W/dξ2=0

(17)

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

DTM是一種有效的半解析解法，基于Taylor 級數(shù)展開進而求解微分方程[18]。運用 DTM 對多孔FGMs梁運動控制方程進行求解時，首先需要將其無量綱控制微分方程和邊界條件經(jīng) DTM 變換為相應的代數(shù)特征方程。根據(jù)函數(shù)的 Taylor 公式，經(jīng)過DTM變換后的函數(shù)F[k]可定義為[18]

(k=0,1,2,3,…)(18)

F[k]的逆變換為

(19)

由式(18,19)可得

(k=0,1,2,3,…)(20)

在實際應用過程中，可表示為

(21)

多孔FGMs梁的自由振動控制微分方程經(jīng)DTM可變換為

(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)F[k+4]+

(k+2)(k+1)F[k+2] +

(22)

對無量綱邊界條件也進行DTM變換：

在ξ=0處，

固定(C):F[0]=0,F[1]=0

(23)

簡支(S):F[0]=0,F[2]=0

(24)

在ξ=1處，

(25)

(26)

4 計算結(jié)果及分析

表1給出了在C-C，C-S和 S -S(h/L=0.01)邊界條件下，當孔隙率θ=0，功能梯度指數(shù)n=0時，多孔FGMs梁退化為均勻陶瓷材料梁，經(jīng)過DTM求解給出的前三階無量綱固有頻率，并與文獻[20,21]的數(shù)值結(jié)果進行了比較?？梢钥闯?，本文得出的結(jié)果與其非常接近，說明了DTM對于研究本問題的適用性與正確性。

表1 C-C，C-S和S -S邊界條件下陶瓷均勻材料梁無量綱頻率(h /L =0.01)Tab.1 Dimensionless frequencies of ceramic homogeneous beams under C-C，C-S，S -S boundary conditions (h /L =0.01)

表2給出了多孔FGMs梁在S -S邊界條件下，細長比為h/L=0.1和h/L=0.2，當孔隙率θ=0，功能梯度指數(shù)n=0時，多孔FGMs梁退化為均勻陶瓷材料梁，經(jīng)過DTM求解的前五階無量綱固有頻率，得到的數(shù)值解與文獻[19,21,22]的解也基本一致。

表2 S -S邊界條件下陶瓷均勻梁無量綱頻率Tab.2 Dimensionless frequencies of ceramic uniform beam under S -S boundary condition

表3和表4分別給出了FGMs中孔隙在均勻和線性兩種分布情況下，當梯度指數(shù)n=1，細長比h/L=0.5時，在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前兩階無量綱固有頻率的影響。由表3和表4可知，孔隙率θ對多孔FGMs無量綱固有頻率Ω的影響具體表現(xiàn)為，隨著孔隙率θ的增大，在均勻和線性兩種分布下，無量綱固有頻率Ω都是減小的，并且二階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階；當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大，即C-C>C-S>S -S。

表3 均勻分布不同邊界下孔隙率對固有頻率的影響(n =1，h/L =0.5)Tab.3 Effect of porosity on natural frequencies under different boundaries of uniform distribution (n =1，h/L =0.5)

表4 線性分布不同邊界下孔隙率對固有頻率的影響(n =1，h /L =0.5)Tab.4 Effect of porosity on natural frequencies under different boundary of linear distribution (n =1，h /L =0.5)

圖2分別為多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，當細長比h/L=0.25，孔隙率θ=0.2，孔隙均勻分布時，梯度指數(shù)n和無量綱固有頻率Ω之間的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，在細長比和孔隙率一定的情況下，隨著梯度指數(shù)n的增加， 多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率下降幅度較小，不夠明顯，而二到四階無量綱固有頻率下降幅度較大，特別是梯度指數(shù)介于0和2之間尤為劇烈。

圖3為多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，當細長比h/L=0.25，孔隙率θ=0.2，孔隙線性分布時，梯度指數(shù)n和前四階無量綱固有頻率Ω之間的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，在細長比和孔隙率一定的情況下，隨著梯度指數(shù)n的增加，多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率下降幅度較小，不夠明顯，而二階到四階無量綱固有頻率下降幅度較大。由圖2和圖3同階頻率比較可知，在相同邊界條件下，均勻分布和線性分布隨著梯度指數(shù)n的增大逐漸減小的幅度基本相同。

圖2 孔隙均勻分布時C-C，C-S和S -S邊界條件下梯度指數(shù)對無量綱固有頻率的影響(h /L =0.25,θ =0.2)

圖3 孔隙線性分布時C-C，C-S和S -S邊界條件下梯度指數(shù)對無量綱固有頻率的影響(h /L =0.25,θ =0.2)

圖4給出了孔隙均勻分布，當梯度指數(shù)n=1，細長比h/L=0.4時，多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率Ω的影響?？梢钥闯隹紫堵蕦Χ嗫譌GMs無量綱固有頻率的影響具體表現(xiàn)為,隨著孔隙率θ的增大，無量綱固有頻率Ω均減小，且二階和三階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階。

圖5給出了孔隙線性分布，當梯度指數(shù)n=1，細長比h/L=0.4時，多孔FGMs梁在C-C,C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率Ω的影響?？梢钥闯觯紫堵蕦Χ嗫譌GMs無量綱固有頻率的影響具體表現(xiàn)為，隨著孔隙率θ的增大，無量綱固有頻率Ω均減??；二階和三階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階。相同邊界條件下，圖4和圖5同階頻率相比，線性分布的頻率下降的幅度大于均勻分布。

圖4 均勻分布時孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率的影響(n =1，h /L =0.4)

圖5 線性分布時孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率的影響 (n =1，h /L =0.4)

圖6 給出了孔隙均勻分布，當孔隙率θ=0.1，梯度指數(shù)n=1時，在C-C，C-S和S -S邊界條件下，細長比h/L與前三階無量綱固有頻率Ω的關(guān)系曲線。結(jié)果表明,在邊界條件一定的情況下，隨著細長比h/L的增大，多孔FGMs梁的無量綱固有頻率Ω減小，即當梁高度h一定時，L越小，無量綱固有頻率越小，反之亦然；當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大。

圖7給出了孔隙線性分布，當孔隙率θ=0.1，梯度指數(shù)n=1時，在C-C，C-S和S -S邊界下，細長比h/L與前三階無量綱固有頻率Ω的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，在邊界條件一定的情況下，隨著細長比的增大，多孔FGMs梁的無量綱固有頻率Ω減小。圖6和圖7同階頻率相比，在相同邊界條件下，細長比h/L對均勻分布和線性分布的影響基本一致。

圖7 線性分布時細長比對前三階無量綱固有頻率的影響 (θ =0.1，n =1)

5 結(jié) 論

本文基于Timoshenko梁理論，分析了兩種類型孔隙分布下，孔隙率、梯度指數(shù)和細長比對多孔FGMs梁自由振動無量綱固有頻率的影響。主要結(jié)論如下。

(1) 孔隙率θ和細長比h/L一定時，在三種不同邊界條件下，隨著梯度指數(shù)n的增加，多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率Ω下降幅度較小，二階到四階無量綱固有頻率Ω下降幅度劇烈。并且在相同邊界下，均勻和線性分布隨著梯度指數(shù)n的增大逐漸減小的幅度基本相同。

(2) 細長比h/L和梯度指數(shù)n一定時，隨著孔隙率θ的增大，在均勻和線性兩種分布下，無量綱固有頻率Ω均減小。并且二階和三階無量綱固有頻率Ω減小的幅度大于一階；同階頻率相比，線性分布的頻率下降幅度大于均勻分布。

(3) 孔隙率θ和梯度指數(shù)n一定時，在C-C，C-S 和S -S三種邊界下，均勻和線性兩種分布一定的情況下，隨著細長比h/L的增大，無量綱固有頻率Ω減小，且兩種分布下無量綱固有頻率Ω減小的幅度基本一致。當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大。