斜盤(pán)式軸向柱塞泵柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的一般模型

王建森, 曹偉棟, 何鑫龍, 王崢嶸,2, 張志偉

(1. 蘭州理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 甘肅省流體機(jī)械及系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 甘肅 蘭州 730050)

斜盤(pán)式軸向柱塞泵因結(jié)構(gòu)緊湊、變量響應(yīng)快、功率密度和效率高等優(yōu)點(diǎn)在工業(yè)各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1].一般斜盤(pán)式軸向柱塞泵柱塞與傳動(dòng)軸為平行布置結(jié)構(gòu)，斜盤(pán)也僅有一個(gè)方向的傾角[2-4].隨著柱塞泵技術(shù)指標(biāo)的不斷提高及變工況要求，斜盤(pán)式軸向柱塞泵的基本結(jié)構(gòu)也在不斷演化.某些泵型的柱塞在結(jié)構(gòu)布置時(shí)與傳動(dòng)軸呈一定夾角，也叫柱塞傾角，該結(jié)構(gòu)使得缸體配流端徑向尺寸變小，從而可以降低缸體配流面摩擦副之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)線速度[5-8].也有些泵型在斜盤(pán)結(jié)構(gòu)中采用了斜盤(pán)第二傾角技術(shù)，即斜盤(pán)相對(duì)互相垂直的兩個(gè)軸分別有一個(gè)傾斜角，亦稱(chēng)為斜盤(pán)交錯(cuò)角技術(shù)，該結(jié)構(gòu)有利于變工況下降低泵的流量脈動(dòng)，改善泵的振動(dòng)噪聲特性[9-12].在已出版文獻(xiàn)中，柱塞與傳動(dòng)軸平行布置和傾斜布置時(shí)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型結(jié)論一致，但對(duì)于斜盤(pán)有兩個(gè)方向傾角時(shí)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型在文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]中卻并不一致，存在疑惑.因此，為進(jìn)一步驗(yàn)證斜盤(pán)有兩個(gè)方向傾角時(shí)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型，并為綜合考慮斜盤(pán)兩個(gè)方向傾角和柱塞傾角新結(jié)構(gòu)特征的研發(fā)服務(wù)，本文采用坐標(biāo)變換法，推導(dǎo)出了斜盤(pán)式軸向柱塞泵柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的一般數(shù)學(xué)模型，可為該結(jié)構(gòu)泵的進(jìn)一步研究奠定理論基礎(chǔ).

1 數(shù)學(xué)建模

斜盤(pán)式軸向柱塞泵結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，主要由泵體、泵芯等組成，泵芯主要包括缸體、配流盤(pán)、滑靴柱塞組件、回程機(jī)構(gòu)等，配流盤(pán)與斜盤(pán)支撐在泵體上.原動(dòng)機(jī)動(dòng)力由傳動(dòng)軸輸入，通過(guò)與缸體花鍵連接，帶動(dòng)缸體、滑靴柱塞組件旋轉(zhuǎn);同時(shí)，在回程機(jī)構(gòu)即中心彈簧、球鉸及回程盤(pán)的作用下，滑靴柱塞組件沿斜盤(pán)平面滑動(dòng);由于斜盤(pán)為傾斜布置，故柱塞做復(fù)合運(yùn)動(dòng),即隨缸體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和沿缸體孔軸線相對(duì)缸體的往復(fù)運(yùn)動(dòng).取斜盤(pán)傾角為零度時(shí)各柱塞球頭球心所在平面與傳動(dòng)軸軸線的交點(diǎn)o為坐標(biāo)系原點(diǎn)，按右手系建立參考坐標(biāo)系，x軸正向與紙面垂直朝外，y軸正向向下，z軸正向朝右.

圖1 斜盤(pán)式軸向柱塞泵結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structural diagram of swash plate axial piston pump

圖2為柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析示意圖.圖中繞y軸偏轉(zhuǎn)的斜盤(pán)傾角為α，繞x軸偏轉(zhuǎn)的斜盤(pán)交錯(cuò)角為β，缸體旋轉(zhuǎn)角速度為ω，缸體旋轉(zhuǎn)角度為φ.按右手系確定各符號(hào)的正負(fù)，即右手大拇指指向軸線的正方向，四指向心彎曲方向?yàn)槠D(zhuǎn)正方向，則圖2中α、β和φ均為正.柱塞傾角為γ，坐標(biāo)系原點(diǎn)o到配流盤(pán)配流表面的距離為L(zhǎng)1，缸體配流端處柱塞孔分布圓半徑為R.

圖2 柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析示意圖Fig.2 Kinematic analysis diagram of piston

取一單柱塞為研究對(duì)象，其他柱塞運(yùn)動(dòng)規(guī)律與其相似，相鄰柱塞間僅有大小為柱塞夾角的相位差.以所研究柱塞處于下死點(diǎn)時(shí)為初始位置.由圖2可知，當(dāng)缸體轉(zhuǎn)過(guò)φ角后，柱塞球頭球心由A0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A1點(diǎn)，A1點(diǎn)到配流盤(pán)配流表面的距離為L(zhǎng)2，利用坐標(biāo)變換法，A1點(diǎn)的坐標(biāo)可由坐標(biāo)原點(diǎn)o點(diǎn)經(jīng)過(guò)5次坐標(biāo)系變換后得到，即坐標(biāo)系xyz沿z軸正向平移L1得到坐標(biāo)系x1y1z1，x1y1z1繞z1軸正向旋轉(zhuǎn)φ角得到坐標(biāo)系x2y2z2，x2y2z2沿x2正向平移R得到坐標(biāo)系x3y3z3，x3y3z3繞y3逆向旋轉(zhuǎn)γ得到坐標(biāo)系x4y4z4，x4y4z4沿z4反向平移L2得到坐標(biāo)系x5y5z5，x5y5z5的坐標(biāo)原點(diǎn)即為A1點(diǎn)坐標(biāo).

各坐標(biāo)變換矩陣分別為

最終變換矩陣為T(mén)05=T01T12T23T34T45,即

式中:M=L2cosφsinγ+Rcosφ

N=L2sinφsinγ+Rsinφ

由以上可得點(diǎn)A1的空間位置坐標(biāo)：

(1)

各柱塞球頭球心所在平面方程可由其法線方向得到，該法線方向同時(shí)與各柱塞球頭球心所在平面和xoz平面、yoz平面交線的方向向量垂直，而兩交線的方向向量由圖3可得：

n1=(1,0,-tanα),n2=(0,-1,-tanβ)

則所求法線方向?yàn)閮煞较蛳蛄康牟娣e

-itanα+jtanβ-k

故各柱塞球頭球心所在平面方程為

-xtanα+ytanβ-z=0

(2)

顯然，A1點(diǎn)坐標(biāo)必滿(mǎn)足此方程，聯(lián)立式(1,2)得

則缸體轉(zhuǎn)過(guò)φ角后相應(yīng)柱塞的位移為

(3)

對(duì)式(3)求導(dǎo)可分別得到柱塞的速度、加速度為

(4)

a={ω2(R+L1tanγ)·[sin 2φtanαtanβtanγ+

sinφtanβ-cosφtanα+

(tan2α+2tan2β)tanγcos2φ+

(tan2β+2tan2α)tanγsin2φ]}/

cosγ(1-tanαtanγcosφ+tanβtanγsinφ)3

(5)

式(3～5)為考慮斜盤(pán)有兩個(gè)方向傾角和柱塞傾斜布置時(shí)單柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的一般模型.

2 模型驗(yàn)證及分析

為驗(yàn)證模型的正確性，分下述幾種情況討論：

1)α≠0，β=γ=0

該情況為柱塞泵經(jīng)典結(jié)構(gòu)形式，即柱塞軸線與傳動(dòng)軸軸線平行，斜盤(pán)僅有一個(gè)方向的傾角.將β=γ=0代入式(3～5)得到柱塞的位移、速度和加速度分別為

該結(jié)果與文獻(xiàn)[14]一致.

2)α≠0,γ≠0,β= 0.

該情況斜盤(pán)僅有一個(gè)方向的傾角，柱塞軸線與傳動(dòng)軸軸線的夾角為傾斜布置.將β= 0代入式(3～5)得到柱塞的位移、速度和加速度分別為

(9)

(10)

a2=-[ω2(R+L1tanγ)·(tanαcosφ-

tan2αtanγcos2φ-2tan2αtanγsin2φ)]/

cosγ(1-tanαtanγcosφ)3

(11)

該結(jié)果與文獻(xiàn)[15]一致.分別以式(6～8)所對(duì)應(yīng)位移、速度和加速度的最大值為參考值，對(duì)式(9～11)進(jìn)行無(wú)量綱化，并畫(huà)出柱塞傾角不同時(shí)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線如圖4所示.由圖4可知，柱塞傾角越大，柱塞運(yùn)動(dòng)曲線離簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律越遠(yuǎn)，相應(yīng)柱塞位移、速度及加速度的最大幅值變大，故加大柱塞傾角可增加柱塞泵的排量，柱塞沿其軸線方向的速度和加速度的增大會(huì)提高柱塞腔液流瞬時(shí)速度及柱塞的慣性力.

圖4 不同柱塞傾角下柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)比較圖

3)α≠0，β≠0，γ= 0

該情況斜盤(pán)有兩個(gè)方向的傾角，柱塞軸線與傳動(dòng)軸軸線平行.將γ= 0代入式(3～5)得到柱塞的位移、速度和加速度分別為

d3=R(tanαcosφ-tanβsinφ)

(12)

v3=-ωR(tanαsinφ+tanβcosφ)

(13)

a3=-ω2R(tanαcosφ-tanβsinφ)

(14)

該結(jié)果與文獻(xiàn)[12]一致，表明文獻(xiàn)[13]結(jié)果有待商榷.同理對(duì)式(12～14)進(jìn)行無(wú)量綱化，在斜盤(pán)傾角α一定時(shí)，可畫(huà)出斜盤(pán)交錯(cuò)角β不同時(shí)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線如圖5所示.

比較式(6～8) 和式(12～14)及由圖5可知，柱塞在斜盤(pán)兩個(gè)方向上傾斜時(shí)的運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)為柱塞在斜盤(pán)兩個(gè)方向上分別傾斜時(shí)柱塞運(yùn)動(dòng)的線性疊加，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)為頻率相同相位相異的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，疊加后的運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).隨著斜盤(pán)交錯(cuò)角變大，柱塞的位移、速度及加速度幅值亦增大.

圖5 不同斜盤(pán)交錯(cuò)角下柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)比較圖

同時(shí)，由圖4可知斜盤(pán)交錯(cuò)角結(jié)構(gòu)使得柱塞運(yùn)動(dòng)上下死點(diǎn)發(fā)生變化，改變了柱塞腔配流過(guò)渡過(guò)程預(yù)壓縮和預(yù)膨脹角，這將對(duì)柱塞腔壓力瞬態(tài)過(guò)渡過(guò)程及瞬時(shí)流量特性產(chǎn)生影響.由上下死點(diǎn)位置處柱塞運(yùn)動(dòng)速度為零的特征，令式(13)為零,即v3=0，可找到上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角與斜盤(pán)兩個(gè)方向傾角間的關(guān)系為

(15)

通常斜盤(pán)交錯(cuò)角β設(shè)計(jì)加工后為一確定值，柱塞泵通過(guò)改變斜盤(pán)傾角α的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)變量.由式(15)可畫(huà)出不同斜盤(pán)交錯(cuò)角時(shí)上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角隨斜盤(pán)傾角改變時(shí)的變化規(guī)律,如圖6所示.由圖6可知:采用負(fù)的斜盤(pán)交錯(cuò)角時(shí)，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角偏轉(zhuǎn)方向與缸體旋向相同為正，推遲柱塞腔預(yù)壓縮和預(yù)膨脹過(guò)程，反之則為負(fù)，提前柱塞腔預(yù)壓縮和預(yù)膨脹過(guò)程；在斜盤(pán)變量過(guò)程中，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角隨斜盤(pán)傾角改變而變化，斜盤(pán)交錯(cuò)角絕對(duì)值越小，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角的變化梯度隨斜盤(pán)傾角變小而增大，而當(dāng)斜盤(pán)傾角在大排量范圍內(nèi)變化時(shí)上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角的變化梯度變小；上下死點(diǎn)最大偏轉(zhuǎn)角為90°，此時(shí)斜盤(pán)傾角為零.

圖6 變量過(guò)程不同斜盤(pán)交錯(cuò)角時(shí)上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角變化規(guī)律Fig.6 Internal and external dead point transformation diagram with different cross angles under variable process

4)α≠0、β≠0、γ≠ 0

該情況為考慮斜盤(pán)兩個(gè)方向有傾角且柱塞傾斜布置，具有潛在開(kāi)發(fā)可能.此時(shí)可由式(3～5)對(duì)柱塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，同理可畫(huà)出斜盤(pán)傾角一定，不同柱塞傾角和斜盤(pán)交錯(cuò)角時(shí)柱塞無(wú)量綱位移、速度和加速度曲線,如圖7所示.由圖7可知，斜盤(pán)交錯(cuò)角使柱塞運(yùn)動(dòng)的相位發(fā)生變化，柱塞傾角使柱塞運(yùn)動(dòng)曲線呈類(lèi)簡(jiǎn)諧規(guī)律變化，斜盤(pán)交錯(cuò)角和柱塞傾角增大均會(huì)引起柱塞的位移、速度和加速度最大幅值增大.

圖7 不同斜盤(pán)交錯(cuò)角及柱塞傾角下柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)比較圖Fig.7 Kinematic comparisons of piston with different swash plate cross angles and plunger inclination angles

3 結(jié)論

本文在同時(shí)考慮斜盤(pán)式軸向柱塞泵斜盤(pán)傾角、斜盤(pán)交錯(cuò)角及柱塞傾角結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，采用坐標(biāo)變換法推導(dǎo)出了斜盤(pán)式軸向柱塞泵柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的一般模型.經(jīng)不同情況討論及與已有文獻(xiàn)對(duì)比分析，驗(yàn)證了該一般模型的正確性.對(duì)已有文獻(xiàn)中關(guān)于斜盤(pán)有兩個(gè)方向的傾角，柱塞軸線與傳動(dòng)軸軸線平行布置時(shí)柱塞運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的不一致情況進(jìn)行了澄清，可作為斜盤(pán)式軸向柱塞泵設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ).經(jīng)對(duì)一般模型進(jìn)行分析可總結(jié)出如下結(jié)論:

1) 斜盤(pán)交錯(cuò)角使柱塞運(yùn)動(dòng)的相位發(fā)生變化；柱塞傾角使柱塞運(yùn)動(dòng)曲線呈類(lèi)簡(jiǎn)諧規(guī)律變化；斜盤(pán)交錯(cuò)角和柱塞傾角增大均會(huì)引起柱塞的位移、速度和加速度最大幅值增大，位移增大可增加柱塞泵的排量，柱塞沿其軸線方向的速度和加速度的增大會(huì)提高柱塞腔液流瞬時(shí)最大速度及柱塞的慣性力.

2) 按右手系慣例約定參考坐標(biāo)系,判定各傾角正負(fù)號(hào).采用負(fù)的斜盤(pán)交錯(cuò)角時(shí)，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角偏轉(zhuǎn)方向與缸體旋向相同為正，推遲柱塞腔預(yù)壓縮和預(yù)膨脹過(guò)程，反之則為負(fù)，提前柱塞腔預(yù)壓縮和預(yù)膨脹過(guò)程；在斜盤(pán)變量過(guò)程中，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角隨斜盤(pán)傾角改變而變化，斜盤(pán)交錯(cuò)角絕對(duì)值越小，上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角的變化梯度隨斜盤(pán)傾角變小而增大，而當(dāng)斜盤(pán)傾角在大排量范圍內(nèi)變化時(shí)上下死點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角的變化梯度變??；上下死點(diǎn)最大偏轉(zhuǎn)角為90°，此時(shí)斜盤(pán)傾角為零.