數(shù)據(jù)驅動的互聯(lián)網財產險期權定價模型*

袁 峰， 陶 鑫， 邵祥理

(1. 沈陽工業(yè)大學 管理學院， 沈陽 110870； 2. 中國銀行保險監(jiān)督管理委員會， 北京 100033)

近年來，數(shù)據(jù)驅動等技術的快速發(fā)展催生了許多諸如互聯(lián)網保險定價等創(chuàng)新業(yè)務模式。區(qū)別于傳統(tǒng)的互聯(lián)網保險產品定價，中小保險公司由于自身規(guī)模及技術的限制，在用戶冗雜的數(shù)據(jù)群中如何簡明有效地獲取定價數(shù)據(jù)變得尤為困難，使得傳統(tǒng)的保險精算定價已經不能滿足市場的龐大需求。此外，由于互聯(lián)網保險起步時間較晚、歷史數(shù)據(jù)不足，對于某項具體互聯(lián)網保險進行保險產品設計也存在著較大的風險。

一、文獻回顧

在保險領域的研究中，最早由Merton(1977)將期權定價方法應用于存款保險的研究。Coppola通過建立一個滾動窗口仿射隨機模型，引入了時間死亡率波動率的時間結構作為壽命沖擊的驅動因素，來研究長壽風險的償付能力Ⅱ所表示的償付能力資本要求[1]。該研究包含了長壽沖擊相對于監(jiān)管模型假設的年齡和時間的不變性所導致的扭曲和不一致問題，推導出壽命沖擊作為死亡率時間波動演化和時間的函數(shù)，提出一種衡量保險業(yè)償付能力資本要求的期權定價方法。

彭紅楓等利用期權定價方法對防癌險進行了研究，提出了相應的定價思路[2]。王繼霞等研究出隨機利率下B-S模型基于非參數(shù)估計的期權保險精算定價模型[3]。祝麗萍等基于冪期權的行權特點，構建了分形布朗運動驅動下的保險期權定價模型[4]。王小瑩等構建了隨機利率模型下的幾何平均亞式期權定價方法[5]。武濤等利用保險精算方法，推導出雙分數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程下歐式冪型期權和歐式上封頂及下保底冪型期權定價公式[6]。李浩然等研究出隨機利率跳擴散模型期權保險定價解析表達式[7]。周孝華等給出了修正的Black-Scholes存款保險定價公式[8]。梁喜珠等研究得出了次分數(shù)跳擴散過程下最值期權的定價公式[9]。李子耀等實現(xiàn)了B-S和二叉樹兩種期權定價模型在財產險定價中的應用[10]。陳聰?shù)冉Y合改進的蒙特卡洛法和矩近似解析法，得到了算術平均半亞式期權定價的近似半解析法，在確保精度的前提下大幅減少了計算時間[11]。

在財產保險方面引入期權定價的研究較少，大多是對保險精算定價的理論研究，很少有研究與具體財產保險相結合。張曉倩等改進了以往研究成果中保險精算價格的定義公式，在假定標的資產價格服從指數(shù)Ornstein-Uhlenbeck(O-U)過程、利率服從Vasicek利率模型的基礎上，利用隨機分析知識獲得了再裝期權的保險精算價格公式[12]。石方圓等則更進一步設計出隨機利率及O-U條件下關于保險精算的彩虹期權定價公式[13]。彭梅等結合不確定理論，對參數(shù)依賴時間的歐式期權按照保險精算方法定價，最后得到了接近市場且符合無套利原理的期權價格[14]。張耀杰等對障礙期權下的貸款保險進行了研究，表明違約門檻上升與保險定價水平呈現(xiàn)某種正相關關系[15]。趙月旭等采用鞅方法等，得到了對數(shù)正態(tài)帶跳擴散模型下美國巨災災害歐式看漲保險期貨期權在任意時刻的定價公式，驗證了保險精算定價是一種較為合理的定價方法[16]。

上述文獻從不同角度對保險定價問題進行了研究，但現(xiàn)有研究中較少有建立具體保險產品價格模型、將保險定價方法與實際險種相結合的內容。本文以機動車交通事故責任強制保險(交強險)為例，立足于無套利原理、蒙特卡洛模擬等產品定價方法，結合互聯(lián)網財產險保險合約設定定價模型，通過模擬機動車交強險發(fā)生事故序列隨時間變化路徑，考慮機動車交強險特殊敲出條件及投保人每期花費保費數(shù)額與上一年度車險事故發(fā)生序列有直接關系。根據(jù)保險公司年平均最終出險率進行蒙特卡洛模擬，構造出保險事故Pt序列，再通過具體的Pt序列求出對應保單的費用，最終計算出平均費用即為理論定價價格X。

對于其他與本文定價模型較為相近的保險條款，只需進行適當?shù)淖兞考澳Ｐ托问阶兓?，也同樣適用定價。本文模型具有很好的適用性及定價效率，能夠為具體財產險險種進行有效定價。

二、問題描述

從保險產品的本質出發(fā)進行探討，保險公司所得到保費現(xiàn)金流受保險狀態(tài)影響較大，期權組合的方式有利于降低現(xiàn)金流的影響。傳統(tǒng)保險產品影響因素較多，而對其使用期權組合的方式時所需的條件又相對復雜，所以大多數(shù)學者在前期對于存款保險的研究較多，并未將期權定價方法在后期具體的保險險種研究中進行具體應用。隨著互聯(lián)網行業(yè)的發(fā)展，互聯(lián)網保險的行業(yè)優(yōu)勢逐漸顯現(xiàn)[17-18]。傳統(tǒng)保險精算定價方法為了給每一細分的保險產品制定定價策略，需要進行大量重復的精算，對于保險公司而言，其工作量及保險產品開發(fā)成本無疑是巨大的[19]。所以，基于互聯(lián)網保險自身的特點，開發(fā)快速準確的保險定價方法顯得非常重要。

考慮到互聯(lián)網保險中占比較大的為消費型互聯(lián)網保險產品，同時具備較為明晰且類似的期權結構，本文以機動車交強險為主要研究對象確定基本定價模型，并擴充更為豐富的保險條款以擴展基本的定價模型，從而進一步擴寬互聯(lián)網財產險產品范圍，更為準確地確定定價標準。

考慮到互聯(lián)網財產險的實際保險情況及具體期權的特點，研究所采用的期權結構為歐式看漲障礙期權，即投保人每期花費一定數(shù)額保費去購買一個看漲障礙期權，這里的行權日即保險事故發(fā)生日。對于機動車交強險這種需要在每期一交費、其后續(xù)續(xù)費與否取決于上期的保險產品來說，可以把它看作若干持續(xù)期組成的期權結構化產品。這種期權結構本身附帶有結束合約的敲出條款。例如，機動車交強險的一個普遍敲出條款就是：投保人所投保的車輛每年發(fā)生交通事故的次數(shù)超過4次，則此后整個保險合約終止，保險公司不再承保該保險標的。

正是基于對互聯(lián)網財產險所蘊含的期權結構和相應的保險條約的分析，本文以機動車交強險為研究基礎，充分發(fā)揮該險種覆蓋面廣的優(yōu)勢，力爭確定更為全面準確且后期可擴展的定價模型。以此為指導對不同互聯(lián)網財產險產品進行定價，助力解決傳統(tǒng)中小保險企業(yè)在自身規(guī)模及技術尚不全面的情況下對于互聯(lián)網財產險的定價需求。

三、模型構建

以機動車交強險為例，探究互聯(lián)網財產險產品定價。為了定義機動車交強險的期權結構，需要從具體保險合約中進行深入探索，歸納總結出其所具有的期權結構。

1. 交費期、保障期及等待期

通常保險公司在機動車交強險方面執(zhí)行相同的費率標準，且將機動車交強險交費期設置為每期一交費(一期通常為一年)，每期交費后即享有相應的一年保障期。如果需要更長時間的保障，投保人在未觸及保險合約敲出條款的情況下可連續(xù)每期購買。本文假設機動車最長使用年限T為15年。可持續(xù)交費期的期間長度與上一年度被保險車輛發(fā)生保險事故次數(shù)有關，一般來說，上一年車輛出險次數(shù)不超過4次，保險公司一般會同意一直續(xù)保。但若出險次數(shù)過多，保險公司會考慮提高費率標準或不續(xù)簽合約。

保障期是指投保人購買機動車交強險之后，如果在保障期內發(fā)生保險事故，投保人及時報險，保險公司在等待期內進行確認無誤后，可以獲得保險公司賠付，此為一次保險賠付的完成。但投保人在該保障期內投保的保險合同并未就此終止。

機動車交強險價格按照車輛的大小進行確定，每期所交保費數(shù)額與上期出險次數(shù)有著一定的正相關關系，上期出險次數(shù)越少則本年保費獲得的優(yōu)惠越多。其中規(guī)律就是上一年度出險次數(shù)越多，則下一年度所交保費總額越高。假定所研究的機動車交強險不涉及脫保、過戶等使得保費中斷重新計算的情況，保費與機動車大小、出險次數(shù)具體關系如表1、2所示。

表1 交強險中機動車座位數(shù)與交費時間關系 元

表2 機動車出險次數(shù)與保費折扣關系 %

等待期是指保險人收到被保險人的索賠請求后作出核定所需要的時間。通常對于機動車交強險而言，保險事故發(fā)生后，被保險人應根據(jù)事故性質和損失情況及時向保險人提供索賠須知。等待期相對于保險期間而言時間較短，且一般都能及時賠付，所以本文對等待期這一期間忽略不計。

2. 互聯(lián)網財產險種類與賠付

目前在售的互聯(lián)網財產險種類豐富多樣，各財產險險種保險條款亦十分詳細，保額保費各不相同。按照互聯(lián)網財產險所占市場份額劃分，可以將互聯(lián)網財產險分為互聯(lián)網車險與互聯(lián)網非車險兩部分。

保費收取大致規(guī)律：保險公司會對財產毀損發(fā)生率和保額作出權衡比較，保費由保險金額、保險費率和保險期限構成。保險金額與保險費率和保險期限成正相關關系，即保險金額越大，費率越高，保險期限也越長。從現(xiàn)有的機動車交強險產品來看，機動車交強險賠償最高責任限額為11萬元，而無責任情況下最低限額為100元。也有部分機動車險采取較為一致的賠付標準，具體和機動車保險期限等因素差異不大。2009—2017年間，占車險業(yè)務量最大的機動車交強險最終平均出險率為13.10%。按照保險公司對不同年份機動車交強險保額的設定，其規(guī)律就是對于不同年份機動車交強險出險率賠付的總額較為一致。也就是說，不同保險公司機動車交強險出險率雖略有差異，但按照每個保險公司的數(shù)據(jù)進行計算，保額賠付會得到一致的結果。

考慮機動車保險中業(yè)務量規(guī)模大小，業(yè)務量前三名分別是機動車交強險、車損險、第三者責任險。又考慮到機動車交強險在實際過程中每年保險公司最終出險率統(tǒng)計偏差不大，因此分析中使用機動車交強險的數(shù)據(jù)要明顯優(yōu)于機動車其他險種數(shù)據(jù)，既保證了數(shù)據(jù)統(tǒng)計的一致性，又使得統(tǒng)計研究對所有保險公司有較為一致的針對性與適用性?；跓o套利原理思想可以得知，不同保險公司最終機動車交強險出險率與對應保額的乘積得到的現(xiàn)金流是一致的，所以利用不同保險公司交強險出險率數(shù)據(jù)進行定價研究時，其結果是無差異的。

于是，設定的期權定價模型中有這樣的假設：每期保險公司對機動車交強險賠付總額的期望值一致。對中國人民財產保險有限公司、中國人壽財產保險有限公司、中國平安財產保險等十家保險公司機動車交強險最終出險率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計(見表3)。限于數(shù)據(jù)的連續(xù)性與完整性，統(tǒng)計數(shù)據(jù)選取年份為2009—2017年。

表3 機動車交通事故責任強制險最終出險率統(tǒng)計 %

表3(續(xù)) %

3. 敲出條款

敲出條款，即保單終止的條款。機動車交強險保險條款中均會規(guī)定：投保人在投保后，在符合保險條約出險后賠付情況下，當投保人所投保車輛出險不超過一定次數(shù)時，保險公司在下一年會同意續(xù)保；但如果上一年出險次數(shù)過多，保險公司則會終止下一年的保險合約續(xù)約。保險合同何時終止，取決于投保標的上一年的保險情況，而不是本年所發(fā)生的保險次數(shù)。保險人在支付約定保額的賠付后，不退還投保人之前所交的保費。

4. 意外情況

對于發(fā)生如地震及其次生災害、戰(zhàn)爭暴亂等不可抗力的意外情況，一般屬于保險公司的免責條款，無論損失程度如何，保險公司均不予賠付。但此類意外不影響保險持續(xù)期內其他出險情況的賠付，保險標的物滅失的除外。由于此類意外情況在實際生活中發(fā)生概率較小，故本文不考慮其產生的影響，不作具體探討。

5. 互聯(lián)網財產險的期權結構

設某個機動車交強險保障期為t。將每個保障期t看作1年，投保人持續(xù)續(xù)約期為T?？紤]到機動車交強險單期交費的特點，設定單期費用為X，在此保障期內發(fā)生約定出險情況則獲得保險賠付。保險合約期滿，根據(jù)上一年情況，符合保險公司保險條約要求的可以續(xù)約，費用為αtX(αt為保險公司按去年情況決定的上下浮動比例)。這種保險合同可以看作一種結構性期權產品，由一個具有特殊條件的T期看漲期權構成，該期權產品的期限也為T。

也就是說，若投保人一共續(xù)約T期，其實相當于投保人每期花費αtX購買一個看漲障礙期權。對于投保人而言，該時期內看漲障礙期權的現(xiàn)金流為

(1)

式中：Pt為車險事故發(fā)生序列，如Pt=0，說明第一年并未發(fā)生車險事故；M為合同規(guī)定的賠付金額。

投保人在約定期間內發(fā)生約定保險事由后，獲得的賠付額為PtM。同時，該期權附帶的特殊敲出條款是：當約定保險事故發(fā)生時，期權行權，投保人獲得相應保額賠付，投保人下一年度所交保費數(shù)額與上一年車險事故發(fā)生序列有關。但在此種情況下隱含的一個事實，就是該保險標的未曾在保險期間內滅失，否則之后保險期間持續(xù)期內車險事故發(fā)生序列停止計算，該保險合約的可持續(xù)期也自動終止。這類特殊敲出條款影響著交強險的期權結構路徑，看漲障礙期權的實際價值影響因素變得復雜，也不利于投保人準確分析期權產品的價值，容易發(fā)生盲目投?，F(xiàn)象。

因此，選取保險公司而非投保人為主體進行研究分析。分析中涉及上文保險續(xù)費費用αtX中的參數(shù)αt序列與Pt序列相關，具體表現(xiàn)為

(2)

若連續(xù)多年未發(fā)生事故則有進一步優(yōu)惠

(3)

假設無風險利率r為4%，投?？側藬?shù)為100 000，事故發(fā)生率為Nt。對于保險公司來說，每賣出一份保單就會得到一筆保費收入。將保險公司和投保人之間的保險合同視作包含特殊敲出條件的一系列期限為T的結構化期權產品。保險公司在整個持續(xù)期T內獲得的保費收入額為

(4)

同時，在持續(xù)期內保險公司該保險合約現(xiàn)金流出貼現(xiàn)值為

(5)

式中，X為所需繳納的單期保險費用；Nt為該保險合約當年發(fā)生賠付的人數(shù)；Q為賠付次數(shù)的頻率分布。

由于保險公司對于用戶數(shù)據(jù)的保密性原則，本文并未獲得Q的真實數(shù)據(jù)，此處出險次數(shù)頻率Q為假定值。同時需要說明的是，Q也是一個變化的值，實務中保險公司借助數(shù)據(jù)驅動技術，依托歷史數(shù)據(jù)的變化可以較為精準地預測到每期Q分布頻率，具體如表4、5所示。

表4 出險次數(shù)與頻率關系

表5 0次出險頻率假定構成

根據(jù)無套利原理，有

PVCI=PVCO

(6)

即

(7)

對式(7)求解，可得在該Nt序列下的保單費用X。

該方程的求解重點在于Nt序列。根據(jù)保險公司統(tǒng)計的歷年最終出險率數(shù)據(jù)進行蒙特卡洛模擬，從而構造Nt序列；再通過具體的Nt序列，求出相應的保單費用；最終計算平均費用即理論價格，表示為

(8)

四、仿真與分析

1. 蒙特卡洛數(shù)值模擬框架

選取2006—2017年各保險公司機動車交強險最終出險率來完成Nt序列的構建，數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 2006—2017年機動車交強險最終出險率 %

根據(jù)以上各保險公司年平均最終出險率的歷史數(shù)據(jù)，可以對Nt序列進行模擬。假定最終出險率N服從布朗運動

dN=μdt+σNdz

(9)

式中：μ為N歷史序列變動率的期望；σ為N的波動率，是歷年最終出險率變動比例的標準差，代表最終出險率的波動；dz為維納過程。

將式(9)的連續(xù)模型進行離散化可得

(10)

根據(jù)伊藤引理，有

(11)

將上述隨機過程改寫為離散形式有

(12)

進而可以推知

(13)

式中，ε為一個標準正態(tài)分布隨機變量。

根據(jù)式(11)～(13)進行Nt序列的模擬。每一次模擬都能給出未來某個持續(xù)期內該保險合約當年發(fā)生賠付人數(shù)，進而代入公式求出保單的費用，最終計算出的平均費用即為該保險產品理論價格。

定價方程(1)～(3)、(7)、(8)、(13)構成本文的基準定價模型。對方程(13)進行大量蒙特卡洛模擬得出Nt序列，然后代入式(7)求得保險產品定價的解。

2. 仿真結果分析

在具體仿真實驗中，選取不同的持續(xù)期T(5，10，15，單位為年)和不同機動車交強險約定獲賠保額M(5 000，10 000，單位為元)，并針對不同T、M的組合分別設定模擬次數(shù)。每次進行5 000次蒙特卡洛模擬來計算保費價格X，每次模擬都可以計算出保險合同在一個連續(xù)時期內的索賠數(shù)量。將模擬的Nt序列代入式(7)得到機動車交強險保費近似值X。機動車交強險保險實務中發(fā)生保險事故后獲得的保額受各種具體情況限制，所以保險公司才約定某種出險具體情況所對應的獲賠保額是不同的。以5 000元、10 000元兩種獲賠保額為例進行運算，其他情況同理。

圖1a～f是在保險金額分別為5 000元、10 000元的情況下，對不同持續(xù)時間的模擬定價結果。

圖1 機動車交強險數(shù)值模擬定價結果

從定價結果來看，本模型定價結果與保險公司實際業(yè)務中的定價結果相近，有略微差值的為設定的保險事故某期發(fā)生次數(shù)的對應賠付概率。在保險條約具體給定的情況下，可以根據(jù)獲賠保額或應交保費任意值推算另一值，甚至可以做到三者之間的相互可逆推算。

在定價的時間效率方面，本文提出的數(shù)值模擬方法可以快速對機動車交強險進行保險定價，避免了傳統(tǒng)保險定價策略的大量重復計算，且實務中可運用大數(shù)據(jù)技術實時更新保險事故某期發(fā)生的賠付次數(shù)，使得定價更加準確，為中小保險企業(yè)提供新的定價思路與策略。

3. 靜態(tài)比較分析

由于無法給出所有互聯(lián)網財產險產品定價模擬的結果，上文只選用和財產保險較為相似的機動車交強險同模擬價格進行比較。為了更好地探討出保險期限、獲賠保額及保費之間的關系，進一步進行靜態(tài)比較分析?？紤]到機動車交強險最大持續(xù)期及實際獲賠保額情況，選取T為3～15年，獲賠保額M為5 000元～12 000元這一范圍數(shù)據(jù)，對不同T-M組合進行數(shù)值模擬。持續(xù)期T、獲賠保額M與保險產品定價之間的關系如圖2所示，其更為形象地顯示了三者的關聯(lián)關系。

圖2 不同保額及持續(xù)期組合下機動車交強險數(shù)值模擬定價結果

五、針對互聯(lián)網財產險的定價模型擴展

為使定價模型更加適用于高度細分的互聯(lián)網財產險定價，有必要對定價模型進行擴展，為中小保險公司互聯(lián)網財產險的定價策略提供更多的參考。以機動車交強險為例的期權定價模型為基礎，對保險合約有所差異的其他互聯(lián)網財產險產品定價應用作探討補充。

1. 對定價模型的應用性擴展

由于不同的互聯(lián)網財產險險種所對應的具體保險合約細節(jié)有所差異，反映在定價模型中就需要對一些參數(shù)和定價模型的形式進行微調。合約細節(jié)或形式越貼近，則保險定價模型的適用性越強。實際應用中需將不同險種保險合約與機動車交強險進行比較，根據(jù)其不同之處對定價模型進行微調處理，以適應更多險種。

若某類互聯(lián)網財產險與機動車交強險合約細節(jié)類似，則不需對模型作較大改動，只需對這些財產險的交費期、保障期、費率等數(shù)值進行替換，并將Nt序列替換為所求險種對應的標的序列，之后便可根據(jù)上文方法對此類互聯(lián)網財產險進行定價。

若某類互聯(lián)網財產險為返還型互聯(lián)網保險，比如到期還本型的房屋財產險，雖保險合約與機動車交強險有所差異，條款也更加復雜，但期權結構相似且并無本質區(qū)別，則只需將到期還本的本金按分期累計的方式加到賠付項中即可。

2. 保險期權定價中利率模型的作用探討

期權定價理論中，一些學者討論了利率模型的作用。在本文實證研究過程中，針對不同利率模型參考了大量文獻并進行分析，但最終結果顯示其并無較好的適用性。綜合來看，若討論的是歷史利率對于定價模型的影響，則歷史年份利率均可獲得，沒有引入利率模型的必要性，根據(jù)歷史利率數(shù)據(jù)驗證模型的合理性即可。若考慮引入一個利率模型推算未來利率，由于機動車交強險交費期較短(一般為一年)、利率波動幅度較小，只推算出未來一年利率意義不大。因此利率模型在保險期權定價中作用不大，本文也并沒有引入利率模型加以計算，更多地是依據(jù)現(xiàn)有利率驗證過去定價適用性，為互聯(lián)網財產險險種保單定價提供參考。

六、結 論

本文以機動車交強險為例，研究了互聯(lián)網財產險險種包含的期權結構，并采用蒙特卡洛模擬及無套利定價方法對互聯(lián)網財產險產品進行定價，提出了路徑依賴型具有復雜期權結構的互聯(lián)網財產保險產品的定價模型。通過定價結果分析，得到了符合實際預期的險種價格定價區(qū)間，驗證了該模型的定價能力。對于具有類似保險合約的互聯(lián)網財產險，只需對定價模型中的參數(shù)及方程形式進行微調便能廣泛應用。考慮到不同互聯(lián)網財產險保險合約的差異性，對具有不同保險合約的互聯(lián)網財產險定價進行了思路擴展。

本文基于蒙特卡洛數(shù)值模擬所提出的定價模型具有較好的適用性與擴展性，并利用數(shù)據(jù)驅動對賠付概率進行及時調整，滿足了時效性需求，為創(chuàng)新轉型階段的傳統(tǒng)中小保險企業(yè)提供了一種新的定價思路，以滿足不同細分的保險市場需求。