泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)學(xué)模型

楊輝著，黎永耀，馬彬鍵，楊 月，朱永剛

(微米與納米流體力學(xué)研究中心，機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)，廣東 深圳 518055)

開孔泡沫金屬具有比表面積大，導(dǎo)熱系數(shù)高，傳熱和阻力綜合性能好及輕巧等特征，被廣泛應(yīng)用于緊湊式換熱器，燃料電池和相變儲(chǔ)能系統(tǒng)等領(lǐng)域中[1-2].為了準(zhǔn)確掌握泡沫金屬的熱輸運(yùn)特性，有效導(dǎo)熱系數(shù)是其最關(guān)鍵參數(shù)之一.故泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的研究得到廣泛關(guān)注.

在最近幾十年，很多學(xué)者對(duì)泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究[3-8].基于這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，很多經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式被提出.Calmidi等[3]以二維六角蜂窩形狀的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，建立了泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)模型.同樣的，為了得到泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)模型，立方體模型[7]，體心模型及Kelvin十四面體模型[9]等在文獻(xiàn)中被報(bào)到.

Kelvin十四面體模型由6個(gè)正方形和8個(gè)六邊形組成，被認(rèn)為是最接近真實(shí)泡沫金屬的幾何模型[10，11].Boomsma 和Poulikakos[12]以三維十四面體骨架模型，建立了泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù).泡沫金屬幾何模型沿導(dǎo)熱方向被分成4層，十四面體骨架被假定為圓柱體，骨架交點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)被假定為正方體.隨后Dai[13]和Yang[14]進(jìn)一步修正了Boomsma和Poulikakos的模型，并分別提出了新的泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的關(guān)系式.但是他們模型中，都是采用體積權(quán)重的方法計(jì)算每層泡沫有效導(dǎo)熱系數(shù).根據(jù)Calmidi和Mahajan[3]的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固體導(dǎo)熱系數(shù)和流體導(dǎo)熱系數(shù)差異增加，基于體積權(quán)重的方法計(jì)算有效導(dǎo)熱系數(shù)將產(chǎn)生巨大的誤差.

本文以Kelvin十四面體為幾何模型，建立了泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式.首先利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正了Kelvin十四面體的幾何參數(shù).其次，利用數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，建立了每層泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù).最后基于Fourier定律，確定了泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù)的關(guān)聯(lián)式，并用實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了模型的有效性.

1 數(shù)值計(jì)算

十四面體幾何模型和金屬泡沫的掃描電鏡示意圖如圖1所示.十四面體的骨架假設(shè)為圓柱體，高度為L(zhǎng)和半徑為a.骨架交點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)假設(shè)為正方體，邊長(zhǎng)為r.考慮到幾何模型的周期性，1/8的十四面體作為數(shù)值計(jì)算的幾何體.

圖1 開孔金屬泡沫幾何結(jié)構(gòu)

在穩(wěn)態(tài)傳熱過程中，忽略對(duì)流和輻射傳熱，數(shù)值求解導(dǎo)熱的能量方程為

(1)

公式中：T為溫度；k為導(dǎo)熱系數(shù)；xi為坐標(biāo).

模型上下表面定義為恒壁溫，分別為Th=303 K和Tc=300 K.四周為周期性邊界.流固接觸面為耦合邊界.鋁，空氣和水的物性假定為常物性.能量方程用Second order schemes方法離散，數(shù)值求解用有限元法.幾何模型的網(wǎng)格由ICEM產(chǎn)生，網(wǎng)格劃分采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，同時(shí)流固區(qū)域劃分了邊界層網(wǎng)格.

根據(jù)Fourier導(dǎo)熱定律，數(shù)值計(jì)算的有效導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算為

(2)

公式中：q為熱流密度；下標(biāo)h、c分別為熱端和冷端.

2 有效導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)學(xué)模型

考慮到金屬泡沫在導(dǎo)熱方向上，骨架分布不均勻性的特征.為了建立更加準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，幾何模型在導(dǎo)熱方向上被分成了4層(A，B，C和D)，如圖2所示.

圖2 離散幾何結(jié)構(gòu)為4層

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，首先定義無量綱d和e分別為

(3)

(4)

A，B，C和D層的總體積和固體體積分別為

(5)

(6)

而每層的孔隙率εi為

(7)

因此，得到金屬泡沫的總的孔隙率εo為

(8)

在已知泡沫金屬的孔隙率時(shí)，方程(8)包括兩個(gè)未知參數(shù)e和d.為了求解方程(8)，本文首先定義另一個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)邊長(zhǎng)與骨架半徑比值的無量綱f=r/a.因此，e=fd.無量綱f首先由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正確定.然后，已知泡沫金屬孔隙率時(shí)，利用方程方程(8)可以完全確定泡沫金屬的幾何參數(shù).

考慮體積權(quán)重計(jì)算每層有效導(dǎo)熱系數(shù)，可能會(huì)帶來巨大的誤差，本文假設(shè)為每層導(dǎo)熱系數(shù)是每層孔隙率和總孔隙率的函數(shù)，定義為

ki=εikf+m(1-εi)nks，

(9)

(10)

公式中：a，b，c為常數(shù).常數(shù)a，b和c由數(shù)值模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定.

最后，泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù)由Fourier定律確定為

(11)

(12)

公式中：Ri為熱阻.

3 結(jié)果與討論

圖3為泡沫鋁有效導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)驗(yàn)值與模擬值的比較.數(shù)值模擬對(duì)不同無量綱f的值進(jìn)行了計(jì)算.由圖可知，泡沫鋁的有效導(dǎo)熱系數(shù)隨著孔隙率增加而減小.在相同的孔隙率下，有效導(dǎo)熱系數(shù)的模擬值隨著無量綱f增加而減小.在低孔隙率時(shí)，采用大無量綱f，實(shí)驗(yàn)值與模型值偏差較小.而在高孔隙率時(shí)，采用小無量綱f，實(shí)驗(yàn)值與模型值偏差較小.因此，為了確保模擬值與實(shí)驗(yàn)值能夠很好的吻合，無量綱f應(yīng)該隨著孔隙率變化而變化.利用插值和試湊的方法，如圖4所示.無量綱f隨著孔隙率關(guān)系被擬合成二次多項(xiàng)式，得到R2=0.996.無量綱f與孔隙率關(guān)系為

圖3 有效導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)驗(yàn)值與模擬值的比較

圖4 無量綱f隨孔隙率的變化關(guān)系

(13)

采用無量綱f隨孔隙率變化的函數(shù)，在整個(gè)孔隙率范圍內(nèi)，模擬值與實(shí)驗(yàn)值的偏差都小于±10%.因此，基于Kelvin十四面體，并修正骨架節(jié)點(diǎn)邊長(zhǎng)與骨架半徑的關(guān)系，本文建立了更加真實(shí)的泡沫金屬的幾何參數(shù).

描述了每層泡沫有效導(dǎo)熱性系數(shù)隨孔隙率的變化關(guān)系，如圖5所示.由圖5可知，每層泡沫有效導(dǎo)熱系數(shù)隨著孔隙率增加而減小.在每層孔隙率相同的情況下，每層泡沫的有效導(dǎo)熱系數(shù)隨著泡沫金屬總的孔隙率增加而減小.因此，不僅每層孔隙率，而且泡沫金屬總孔隙率都會(huì)影響每層有效導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算.說明本文假設(shè)每層有效導(dǎo)熱系數(shù)是每層孔隙率和泡沫金屬總孔隙率函數(shù)的合理性.基于最小二乘法，方程(9)中參數(shù)m和n得到表達(dá)式為

圖5 每層泡沫有效導(dǎo)熱系數(shù)與孔隙率的關(guān)系

(14)

方程(9)計(jì)算值與模擬值變化趨勢(shì)一致，能很好地吻合，計(jì)算值和模擬值的偏差都小于±15%.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證采用體積權(quán)重的方法計(jì)算每層有效導(dǎo)熱系數(shù)的不合理性，比較了A層和C層采用體積權(quán)重和本文方法計(jì)算有效導(dǎo)熱系數(shù)隨孔隙率的變化關(guān)系，如圖6所示.泡沫鋁內(nèi)填充空氣為工質(zhì).在C層中，根據(jù)Dai的學(xué)習(xí)，考慮到骨架方向與導(dǎo)熱方向之間存在夾角θ，C層乘以cos2θ修正體積權(quán)重方法.由圖可知，在A層，采用體積權(quán)重的方法明顯高估了有效導(dǎo)熱系數(shù)，而C層體積權(quán)重修正方法，將低估有效導(dǎo)熱系數(shù).自然的，本文方法計(jì)算的有效導(dǎo)熱系數(shù)與模擬結(jié)果一致.因此，模擬結(jié)果驗(yàn)證了體積權(quán)重方法的不合理性.

圖6 體積權(quán)重和本文方法計(jì)算泡沫有效導(dǎo)熱系數(shù)與模擬值的比較

在確定無量綱f和方程(9)中參數(shù)m和n的值時(shí)，本文提出的泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)學(xué)模型被唯一確定了.表1整理了文獻(xiàn)Xiao[15]和Yao[16]的泡沫銅填充空氣，石蠟和水工質(zhì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).描述泡沫銅實(shí)驗(yàn)值與不同模型的偏差隨孔隙率的關(guān)系，如圖7所示.基于二維六角蜂窩形狀Calmidi模型和三維十四面體的Boomsma模型Dai模型和Yang模型也進(jìn)行了比較.由圖7可知，由于Boomsma模型Dai模型和Yang模型采用體積權(quán)重的方法計(jì)算每層有效導(dǎo)熱系數(shù)，導(dǎo)致他們模型計(jì)算的有效導(dǎo)熱系數(shù)明顯比實(shí)驗(yàn)值偏大.這與圖6的結(jié)論也是一致的.他們的RMS偏差分別達(dá)到53.3%，56.9%和40.8% Calmidi模型和本文模型預(yù)測(cè)的有效導(dǎo)熱系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值誤差較小.他們的RMS偏差分別為13.6%和8.4%.因此，本文通過建立更加真實(shí)的泡沫金屬的幾何結(jié)構(gòu)，并修改了每層有效導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算關(guān)系式，得到了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)學(xué)模型.模型適用于泡沫金屬孔隙率大于等于0.88的情況.

圖7 有效導(dǎo)熱系數(shù)模型值與實(shí)驗(yàn)值的比較

表1 泡沫銅有效導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)驗(yàn)值

4 結(jié) 論

本文利用數(shù)值模擬方法，通過修正Kelvin十四面體的泡沫金屬幾何參數(shù).同時(shí)，考慮到金屬泡沫在導(dǎo)熱方向上，骨架分布不均勻性的特征，將泡沫金屬沿導(dǎo)熱方向分了4層，并提出了每層有效導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算方法.基于Fourier定律，建立了泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)學(xué)模型.本文得到主要結(jié)論：

(1)泡沫金屬有效導(dǎo)熱系數(shù)隨著無量綱f的增大而減小.建立無量綱f與孔隙率二次多項(xiàng)式的關(guān)系，有效導(dǎo)熱系數(shù)的模擬值與實(shí)驗(yàn)值偏差小于±10%.

(2)采用體積權(quán)重方法，將高估每層泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù)，而利用cos2θ修正C層骨架與導(dǎo)熱方向之間的夾角，將低估有效導(dǎo)熱系數(shù).不僅每層孔隙率，而且泡沫金屬總孔隙率都會(huì)影響每層泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù).

(3)本文建立的有效導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)孔隙率在0.88～0.98區(qū)間的開孔泡沫金屬的有效導(dǎo)熱系數(shù).

(4)本文的研究結(jié)果，對(duì)于泡沫金屬的熱力設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有很好的指導(dǎo)意義.