一種基于艾森斯坦整數(shù)的SCMA碼本的優(yōu)化

曾慧，李旭東

（西華大學(xué)理學(xué)院，成都 610039）

0 引言

隨著信息時(shí)代的快速發(fā)展，通信設(shè)備出現(xiàn)了爆炸式的增長(zhǎng)[1]，這些智能設(shè)備（智能手機(jī)、筆記本電腦、運(yùn)動(dòng)手環(huán)等）相互連接，提供無(wú)處不在的無(wú)線通信服務(wù)，使得人們的生活方式變得越來(lái)越便捷。在移動(dòng)通信技術(shù)和物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用不斷發(fā)展的大背景下，第五代通信系統(tǒng)（5G）為無(wú)線技術(shù)的發(fā)展提供了更加廣闊的領(lǐng)域。碼分多址作為一種非正交多址（NOMA）技術(shù)，能有效地利用消息傳遞算法（MPA）的稀疏性來(lái)進(jìn)行多用戶檢測(cè)，讓每一個(gè)用戶在碼分多址系統(tǒng)中通過(guò)一個(gè)唯一的數(shù)據(jù)信號(hào)，從而使該碼分多址系統(tǒng)的大多數(shù)序列條目歸零[2]。由于近年來(lái)，頻譜效率、大規(guī)模連接和超低訪問(wèn)延遲等問(wèn)題受到了越來(lái)越多的研究關(guān)注，為滿足各種嚴(yán)格的服務(wù)質(zhì)量要求，低密度簽名的碼分多址（LDS-CDMA）的概念很快被擴(kuò)展到稀疏碼分多址（SCMA）中，每個(gè)用戶根據(jù)瞬間輸入的消息從碼本中去發(fā)送一個(gè)稀疏碼字。稀疏碼分多址（SCMA）作為一種有競(jìng)爭(zhēng)力的碼域方案，將調(diào)制和稀疏擴(kuò)頻結(jié)合來(lái)增加接入的用戶數(shù)量，從而有效地提高系統(tǒng)的頻譜效率[3]。由于在大多數(shù)研究中，SCMA信號(hào)是通過(guò)將輸入比特映射到適當(dāng)設(shè)計(jì)的多個(gè)多維碼字來(lái)享受所謂的“星座成形增益”，所以SCMA的誤碼率性能接近于最大似然接收機(jī)[4]，其中碼本的設(shè)計(jì)對(duì)于提高碼分多址系統(tǒng)的誤碼率性能是至關(guān)重要的。

至今為止，在已有的文獻(xiàn)中，已經(jīng)提出了許多碼本結(jié)構(gòu)，但它的最佳設(shè)計(jì)在很大程度上仍然是具有挑戰(zhàn)性的。在現(xiàn)有工作中，關(guān)于SCMA碼本設(shè)計(jì)的大多數(shù)是從增大組合星座點(diǎn)間的最小乘積距離（或最小歐幾里德距離）的單個(gè)多維母星座入手，利用該母星座，通過(guò)相位旋轉(zhuǎn)、交織和置換等一系列操作生成多個(gè)稀疏碼本[5]。但這也導(dǎo)致星座的功率不平衡，而功率不平衡的星座是有助于放大“遠(yuǎn)近效應(yīng)”，能從每個(gè)資源節(jié)點(diǎn)相關(guān)的稀疏碼本中看到用戶功率的變化，這對(duì)于在微波功率放大器中增強(qiáng)干擾抵消是有用的。因此也有文獻(xiàn)利用在下行鏈路傳輸?shù)牟煌脩糁g具有的功率變化來(lái)開(kāi)發(fā)一種新的SCMA碼本解決功率不平衡的問(wèn)題[6]，通過(guò)分析優(yōu)化每個(gè)碼本的最大功率密度，然后采用遺傳算法優(yōu)化合成疊加星座[7]的最大功率密度，其中所提到的遺傳算法[8]是一種在工程中得到廣泛應(yīng)用的隨機(jī)優(yōu)化方法。盡管如此，最優(yōu)SCMA碼本的設(shè)計(jì)仍然是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題。

本文借助艾森斯坦數(shù)提出了一類新SCMA碼本設(shè)計(jì)方法，利用了艾森斯坦整數(shù)在復(fù)平面內(nèi)構(gòu)成艾森斯坦環(huán)[9]的特點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算這些點(diǎn)到復(fù)平面中心的距離，以保證每個(gè)用戶傳輸碼字均有較大的最小歐式距離，并將總星座圖拆分成三個(gè)子星座圖，以此增大不同資源塊上相同用戶的相同碼字之間的距離，讓每個(gè)用戶的每個(gè)碼字功率差別變小，通過(guò)仿真結(jié)果表明，在瑞利衰落信道[10]下，我們提出的碼本系統(tǒng)可以達(dá)到與華為SCMA碼本相當(dāng)?shù)恼`碼率性能，在高斯信道下可以達(dá)到更好的性能。

1 SCMA系統(tǒng)模型概述

可以考慮一個(gè)上行SCMA系統(tǒng)模型[11]，如圖1所示，在這種情況下，正交時(shí)頻資源塊數(shù)量k=4；用戶數(shù)量J=6；每個(gè)用戶使用的星座點(diǎn)個(gè)數(shù)M=4。在發(fā)送端，SCMA系統(tǒng)將輸入的比特流序列直接映射成多維復(fù)數(shù)域碼字，各個(gè)用戶的碼字以稀疏擴(kuò)頰的方式，在正交時(shí)頻資源快上疊加。在接收端，根據(jù)碼字稀疏的特性，進(jìn)行算法檢測(cè)，從而達(dá)到恢復(fù)原始比特流的目的。

圖1 上行SCMA系統(tǒng)模型

在SCMA系統(tǒng)中，用戶數(shù)目和資源塊之間的關(guān)系可以用因子圖矩陣F來(lái)表示，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣中的元素不為零時(shí)，用戶在資源塊上傳輸數(shù)據(jù)，當(dāng)用戶在發(fā)送信號(hào)時(shí)，接收到的信號(hào)可用Y表示為：

其中y j表示用戶j發(fā)送的碼字，h j表示基站與用戶j的信道狀態(tài)，Z n表示資源塊上n的信道噪聲。所以在資源1處接收到的信號(hào)可以表示為：

公式中ε1表示占用資源塊1的用戶的一個(gè)集合，因?yàn)镾CMA碼本存在稀疏性，所以用戶只在某些資源塊上進(jìn)行傳輸。

2 SCMA碼本設(shè)計(jì)步驟

對(duì)于SCMA碼本來(lái)說(shuō)，SCMA系統(tǒng)的好壞與碼本的設(shè)計(jì)是存在聯(lián)系的，而對(duì)于SCMA編碼來(lái)說(shuō)，是把每個(gè)用戶的比特?cái)?shù)據(jù)變成多維向量，來(lái)取代傳統(tǒng)CDMA中的調(diào)制和擴(kuò)頻，從而使得系統(tǒng)整體容量得到大幅度提升。SCMA碼本設(shè)計(jì)過(guò)程可以利用星座函數(shù)[12]，首先生成M個(gè)N維用戶星座C j，再利用映射矩陣V j將C j映射成SCMA的碼本X j，該過(guò)程可用公式表示：

在公式（3）中，b j用來(lái)表示用戶j輸入的比特序列。

SCMA碼本用K維向量X j表示，產(chǎn)生過(guò)程可以表示為

設(shè)K維向量,K維向量G=，則給定結(jié)構(gòu)為σ(V,G:J,M,N,K)的SCMA碼本，此設(shè)計(jì)問(wèn)題便可以表示為：

其中θ為一個(gè)給定的設(shè)計(jì)性能評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，而這個(gè)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則存在一個(gè)問(wèn)題，就是在確定時(shí)存在難度，不容易去得到這個(gè)θ，所以在SCMA碼本設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)的關(guān)鍵就在于怎么去設(shè)計(jì)它的映射矩陣以及總星座等問(wèn)題，具體可以分為以下4個(gè)部分。

（1）映射矩陣設(shè)計(jì)。在SCMA里，可以通過(guò)映射矩陣W j而得到映射矩陣F，不同的在于這里的W j表示的是第j個(gè)用戶。因子矩陣F=(f1,f2,…,f J)是K×J的一個(gè)稀疏矩陣，f j和映射矩陣W j存在如下關(guān)系[13]：

由于在同一資源塊節(jié)點(diǎn)上，映射矩陣的集合W決定了相互影響的用戶層數(shù)，不僅如此，映射矩陣的集合W也能夠影響MPA在接收端的解碼，具體來(lái)說(shuō)，會(huì)在解碼計(jì)算速度上產(chǎn)生影響，這個(gè)產(chǎn)生的原因也跟SCMA碼字的稀疏性是存在關(guān)聯(lián)的，另外呢，MPA解碼的計(jì)算量其實(shí)也與碼本的碼字有聯(lián)系。一般設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則是這樣表示的：

其中W j∈B K×N，并且W i≠W j,?i≠j，公式（7）中W[?]j比較特殊，表示沒(méi)有零行的一個(gè)映射矩陣。我們可以詳細(xì)分析去獲得一個(gè)可行的方案，利用上述所提到的一些條件進(jìn)行相應(yīng)的研究，結(jié)合起來(lái)獲得我們所需要的方案，一般來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)出來(lái)的映射矩陣要在用戶數(shù)量上進(jìn)行考慮，也要對(duì)資源塊上的用戶進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于SCMA系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，過(guò)載率要滿足λ=J/K，兩外，矩陣中的元素也要滿足一定的關(guān)系。

（2）多維星座的設(shè)計(jì)。如果已知映射矩陣W的集合，則SCMA碼本設(shè)計(jì)的最優(yōu)化問(wèn)題可簡(jiǎn)化為如下的求解形式

具體來(lái)說(shuō)。上述的求解問(wèn)題就變成考慮如何設(shè)計(jì)出J個(gè)N維映射星座的問(wèn)題。N維映射星座的設(shè)計(jì)雖然比較復(fù)雜，但這是設(shè)計(jì)碼本的關(guān)鍵之處，具體來(lái)說(shuō)，我們可以考慮從歐式距離和乘積距離入手，怎樣去設(shè)計(jì)一個(gè)比較大的是優(yōu)化的重中之重，可以通過(guò)對(duì)星座算子的計(jì)算從而得到各個(gè)用戶的星座。碼本設(shè)計(jì)的過(guò)程則可以分為：首先設(shè)計(jì)母星座，其次將母星座進(jìn)行變換，最后便可以得到各個(gè)用戶所需要的碼本。為了增大母星座最小歐式距離，降低峰均功率比，我們采用如下的母星座結(jié)構(gòu)GL：

（3）設(shè)計(jì)星座矩陣。星座矩陣通常由兩部分結(jié)合而成，設(shè)計(jì)一個(gè)好的星座矩陣對(duì)于碼本來(lái)說(shuō)，是非常重要的。通常星座矩陣可以用K×J形式來(lái)表示，因子矩陣F確定了各星座位置,所以星座矩陣D M k,j可表示為：

且S k,rand(i)≠S k,rand(j)(i,j∈{1,2,…,d r})，其中DM k,j表示用戶j在資源塊k上可能取值的集合；{S1,k,S2,k,…,S d r,k}就是一個(gè)集合，這個(gè)集合可以重新進(jìn)行隨機(jī)排列，第p個(gè)值由S k,rand(p)來(lái)表示，其實(shí)，在公式（10）中，所表示星座矩陣和星座圖是存在一定對(duì)應(yīng)關(guān)系的，具體而言，就是去觀察矩陣中的行與列，來(lái)找到其中的聯(lián)系。

（4）生成用戶碼本。為了得到每一個(gè)用戶的碼本，可以將DM k,j中的每一列都進(jìn)行展開(kāi)，這樣讓矩陣的維數(shù)產(chǎn)生變化，來(lái)取得我們所需的碼本，具體表示為：

其中m j∈[1,M]，D k,j(m j)表示用戶j采用碼字m j時(shí)該碼字的第k個(gè)值。

3 艾森斯坦整數(shù)的碼本設(shè)計(jì)及優(yōu)化

3.1 艾森斯坦整數(shù)

的復(fù)根。艾森斯坦整數(shù)可以定義為以下形式：

其中a和b表示整數(shù)，ω表示三次單位根。

在代數(shù)數(shù)域Q(ω)中，艾森斯坦整數(shù)具有可形成一個(gè)交換環(huán)的性質(zhì)，然后，我們可以將艾森斯坦整數(shù)進(jìn)行一定的運(yùn)算，最后去得到艾森斯坦整數(shù)環(huán)，記為Z[ω]，艾森斯坦整數(shù)環(huán)是一個(gè)歐幾里德域，根據(jù)艾森斯坦整數(shù)的定義，在區(qū)域D={(x,y)|-4≤x≤4,-4≤y≤4}上，可通過(guò)Matlab繪制出艾森斯坦整數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖2所示。

圖2 艾森斯坦整數(shù)的前5個(gè)圓

觀察上面的圖，我們通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)特別之處，有6個(gè)點(diǎn)一個(gè)半徑為r1的圓上，這6個(gè)艾森斯坦整數(shù)點(diǎn)還構(gòu)成了一個(gè)正六邊形，所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)也可以計(jì)算出，類似地還可以得到半徑為r2,r3,r4,r5的圓上的艾森斯坦整數(shù)，其中r5=3的圓上的6個(gè)艾森斯坦整數(shù)點(diǎn)也構(gòu)成了正六邊形，可計(jì)算出其艾森斯坦整數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。

3.2 碼本構(gòu)造以及優(yōu)化

假設(shè)有6個(gè)用戶在4個(gè)資源塊上傳輸數(shù)據(jù)，每個(gè)用戶均在傳輸，定義一個(gè)εk,1≤k≤K，來(lái)表示具體的傳輸信號(hào)狀況，選擇如下的因子矩陣作為本構(gòu)造的因子矩陣:

由 式 可 知ε1={2,3,5},ε2={1,3,6},ε3={2,4,6},ε4={1,4,5}，對(duì)于K=4，J=6的經(jīng)典SCMA碼本結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，母星座可以簡(jiǎn)化為如下結(jié)構(gòu)，

總星座可在艾森斯坦整數(shù)構(gòu)成的復(fù)平面上選擇的兩個(gè)圓，并且圓上點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，通過(guò)分析，選擇半徑為r'1=r1=1,r'2=r5=3的兩個(gè)圓，此時(shí)母星座可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

當(dāng)選擇兩個(gè)圓之后，在這兩個(gè)嵌套著的艾森斯坦整數(shù)圓上分布12個(gè)星座點(diǎn)，這些點(diǎn)構(gòu)成資源塊上的總星座圖，為保證每個(gè)用戶傳輸碼字均有較大的最小歐式距離，將總星座圖拆分成三個(gè)子星座圖，分別表示為S1,S2,S3，每個(gè)子星座圖S i的大小為4，這樣便可滿足每個(gè)用戶每次發(fā)送2比特的信息，拆分的結(jié)果如圖3所示：

圖3 總星座拆分成子星座

在接收端，基于消息傳遞算法的用戶檢測(cè)性能[14]，主要取決于如下3個(gè)指標(biāo)：相同資源塊上相同用戶不同碼字之間的距離；相同資源塊上不同用戶的相同碼字之間的距離；不同資源塊上相同用戶的相同碼字之間的距離。結(jié)合以上3點(diǎn)，適當(dāng)改變碼字之間的距離，我們?cè)O(shè)計(jì)3個(gè)子星座圖的碼字分別為：

根據(jù)因子矩陣F，每個(gè)資源塊上實(shí)際傳輸3個(gè)用戶，并且每個(gè)用戶在不同資源塊上傳輸數(shù)據(jù)，因此，用戶和子星座之間存在多種多應(yīng)關(guān)系，其中的一種關(guān)系如表1所示，表中S i表示用戶在資源塊上傳輸數(shù)據(jù)所使用的星座圖。

表1 用戶在資源塊上所用的子星座

在總的SCMA碼本中，為了增大不同資源塊上相同用戶的相同碼字之間的距離，同時(shí)保證每個(gè)用戶的每個(gè)碼字功率差別較小，對(duì)于表中的用戶3和用戶4,可以通過(guò)將子星座圖S3調(diào)整為子星座圖S3*，S1調(diào)整為S1*，即將碼字向左循環(huán)移動(dòng)一位生成新的碼字：

上述每個(gè)碼字的功率可用每個(gè)元素模長(zhǎng)的平方來(lái)表示，為了同時(shí)與華為碼本和已有的艾森斯坦碼本進(jìn)行性能比較，將每個(gè)用戶的碼本相對(duì)于華為的碼本的功率進(jìn)行功率歸一化，得到新的系統(tǒng)碼本。功率歸一化的計(jì)算方法[15]表示為

其中P hw代表華為公司提出的碼本矩陣中每個(gè)碼字的功率，P代表功率歸一化前用戶碼本中每個(gè)碼字的功率，C P代表功率歸一化后各用戶碼本矩陣中的元素，C代表功率歸一化之前各用戶碼本矩陣中的元素，功率歸一化后，用戶碼本中每個(gè)碼字的功率都與華為碼本中每個(gè)碼字的功率相同。歸一化之后新的碼本如表2所示。

表2

在AWGN信道下，把采用上述方法設(shè)計(jì)出來(lái)的碼本同艾森斯坦整數(shù)碼本和華為所提出的碼本進(jìn)行仿真，在MPA算法下得到的誤碼率性能曲線如圖4所示，從圖中可以看出，相比于已有的艾森斯坦整數(shù)碼本，新提出的碼本在高信噪比時(shí)誤碼性能具有更大的增益，數(shù)據(jù)表明和華為碼本相比，當(dāng)誤碼比特率為10-4時(shí)，它增加約0.8 dB的性能增益，相比艾森斯坦整數(shù)碼本碼本增加約0.1 dB的性能增益，因此，本文提出的優(yōu)化的SCMA碼本在高信噪比下具有較好的性能。

圖4 不同碼本下的誤碼率比較

4 結(jié)語(yǔ)

在本文中，我們提出了一種新的SCMA碼本，它是建立在艾森斯坦整數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)已有的碼本進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)增大了不同資源塊上相同用戶的相同碼字之間的距離，使得每個(gè)用戶的每個(gè)碼字功率差別變小，將歸一化方式以及各碼字功率進(jìn)行調(diào)整，使得各用戶之間，以及不同碼字之間均保持有相同的功率，仿真結(jié)果表明，在AWGN信道中，我們所提出碼本相比于華為碼本和已有的艾森斯坦碼本具有更大的增益。