談如何借“求聯(lián)”助“倍”的概念有效形成

宋春霞　馬寧

數(shù)學(xué)概念是客觀事物的空間形式與數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征在人的思維中的反映。它既是一種觀念形態(tài)也是一種思維形式，這些觀念形態(tài)是從客觀現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)的。數(shù)學(xué)概念既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算能力、思維能力、空間觀念等學(xué)科核心素養(yǎng)形成的前提條件?！氨兜恼J(rèn)識(shí)”是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系由“差比”拓展到“倍比”，是小學(xué)階段一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念。該概念的教學(xué)理應(yīng)成為核心素養(yǎng)視野下教師教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)。下面談?wù)勗凇氨兜恼J(rèn)識(shí)”教學(xué)中，如何借助“求聯(lián)”的方法，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建新的知識(shí)體系。

一、讀懂教材，明晰知識(shí)脈絡(luò)

讀懂教材是教師的基本功。讀懂教材是了解文本內(nèi)容、理解文本內(nèi)涵、明晰知識(shí)脈絡(luò)的過(guò)程。讀懂教材也是分析教材的過(guò)程，通過(guò)對(duì)教材的分析，理解“倍”的概念本質(zhì)。

首先，明確文本內(nèi)容，知道本課教學(xué)內(nèi)容涵蓋哪些知識(shí)點(diǎn)？“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版三年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。若選取B作為標(biāo)準(zhǔn)，那么A里面有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，我們就說(shuō)“A是B的幾倍”。所以“幾個(gè)幾”是建構(gòu)“倍的認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)，是兩個(gè)量比較的結(jié)果由“差比”到“倍比”的拓展。

其次，明晰知識(shí)脈絡(luò)，了解這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)是什么？它將為后續(xù)的哪個(gè)知識(shí)作鋪墊？在小學(xué)數(shù)學(xué)體系中處于什么位置？

對(duì)于兩個(gè)量之間的關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)教材是按照由“差比”到“倍比”再到“分?jǐn)?shù)”，最后延展到“百分?jǐn)?shù)”的順序推進(jìn)的，兩個(gè)量之間從差比轉(zhuǎn)到倍比是一個(gè)拓展，而倍與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比之間則是相通的，關(guān)鍵在于教師如何引導(dǎo)學(xué)生在辨析中準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)他們之間的“同”。

二、前后貫通，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

小學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知水平、生活經(jīng)驗(yàn)等存在差異，只有讀懂學(xué)生，教師才能準(zhǔn)確地確定教學(xué)起點(diǎn)。讀懂學(xué)生后再審視教材、設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，教師便能從學(xué)生的視角分析教材，按照學(xué)生的思維方式預(yù)設(shè)，充分展現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知?dú)v程。教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”前，教師需要清楚地了解這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)是什么？

（一）分析學(xué)情，明晰從哪來(lái)

學(xué)生在一年級(jí)下學(xué)期已經(jīng)掌握了用差比的方法表示兩個(gè)數(shù)量比較的結(jié)果。二年級(jí)上冊(cè)乘法口訣的教學(xué)材料中對(duì)“幾個(gè)幾”的認(rèn)識(shí)是按照“找→擺→畫(huà)”的呈現(xiàn)順序，從借助圖形直觀表現(xiàn)到逐步過(guò)渡到用數(shù)軸、漢字筆畫(huà)等抽象表達(dá)，如“木、森、森林”的筆畫(huà)數(shù)問(wèn)題。對(duì)于“比一個(gè)數(shù)的幾倍多（少）幾”，在二年級(jí)已經(jīng)出現(xiàn)原型，通過(guò)以形助數(shù)的方式幫助學(xué)生理解了“乘加”“乘減”就是先求幾個(gè)幾，再加或減去不足1份的那個(gè)數(shù)。

（二）分析教材，了解在哪出發(fā)

前測(cè)問(wèn)題是：你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“倍”嗎？你怎么理解？試著舉例說(shuō)一說(shuō)。我們一起走進(jìn)學(xué)生，看看學(xué)生的前測(cè)卷。學(xué)生一：我聽(tīng)說(shuō)過(guò)倍，如12÷6=2，2是倍數(shù)，我認(rèn)為倍數(shù)是除法算式中的商。學(xué)生二：我也聽(tīng)說(shuō)過(guò)倍，10是5的倍數(shù);4是2的倍數(shù)。學(xué)生三：兩個(gè)數(shù)量間有可能存在倍，例如10朵花是5朵花的2倍。

從前測(cè)卷中了解到，學(xué)生們聽(tīng)說(shuō)過(guò)倍，認(rèn)為倍數(shù)在除法里，倍是兩個(gè)量之間的關(guān)系。通過(guò)前測(cè)卷得出結(jié)論：學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)的比較最熟悉的就是比多少，也有少部分學(xué)生有倍比的經(jīng)驗(yàn)，教師通過(guò)提問(wèn)及時(shí)找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生明白數(shù)量之間除了相差關(guān)系之外還有倍數(shù)關(guān)系，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地引入本節(jié)課的主題，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。

三、課堂教學(xué)實(shí)施策略

小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并且要符合小學(xué)數(shù)學(xué)概念思維的特征，經(jīng)歷理解—掌握—運(yùn)用—形成概念的過(guò)程?；趯?duì)課標(biāo)、學(xué)情和教材的深入解讀，結(jié)合三年級(jí)小學(xué)生的認(rèn)知特征，我們通過(guò)以下三個(gè)層次促進(jìn)課堂教學(xué)。

（一）引入“倍”的概念，思維方法上求聯(lián)

概念的引入是概念教學(xué)的起步。它是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性的必要環(huán)節(jié)，直接關(guān)系著學(xué)生對(duì)這一概念的認(rèn)識(shí)、理解和掌握。在導(dǎo)入部分，筆者專(zhuān)注于思考如何把新知識(shí)的學(xué)習(xí)和現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)相互聯(lián)系。

活動(dòng)1：重現(xiàn)“原型”，產(chǎn)生概念。從主題圖中搜集的兩種蘿卜數(shù)量的比較入手分析，教師提出問(wèn)題：“對(duì)比兩種蘿卜的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？”喚醒學(xué)生已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，激活學(xué)生的“原型”認(rèn)知。在對(duì)比過(guò)程中，引領(lǐng)學(xué)生理解兩個(gè)數(shù)量之間的比較除了可以一個(gè)一個(gè)地比，還可以一組一組地比。理解“倍也是比較兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的一種方法”，同時(shí)滲透一一對(duì)應(yīng)的思想，初步感知可用相差關(guān)系及倍數(shù)關(guān)系表示兩個(gè)數(shù)量比較的結(jié)果。

活動(dòng)2：在形式轉(zhuǎn)換中體驗(yàn)本質(zhì)。用小棒替代主題圖中的蘿卜后，讓學(xué)生思考：“現(xiàn)在它們的關(guān)系還是3倍嗎？”讓學(xué)生體會(huì)到“情境、圖形等不同的表征形式，對(duì)倍的本質(zhì)意義并沒(méi)有影響”。

（二）豐富“倍”的概念，表征方式上求聯(lián)

活動(dòng)1：經(jīng)歷操作，創(chuàng)作一個(gè)“2倍”關(guān)系的圖。畫(huà)圖能有效外顯學(xué)生對(duì)概念的理解情況。通過(guò)“創(chuàng)作一個(gè)‘2倍關(guān)系”的畫(huà)圖活動(dòng)，直觀形象地展示出兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，使學(xué)生感受到在比較倍數(shù)關(guān)系時(shí)要明確是誰(shuí)和誰(shuí)比，體驗(yàn)到倍數(shù)不變時(shí)，總數(shù)隨著標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的變化而變化，幫助學(xué)生在求同中完善對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)。

活動(dòng)2：體悟變化，創(chuàng)作一個(gè)喜歡的倍數(shù)。第一次“畫(huà)一畫(huà)”可讓學(xué)生自主確定倍數(shù)，思考后再畫(huà)出。學(xué)生在第一次“畫(huà)一畫(huà)”中經(jīng)歷體驗(yàn)到當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)不變時(shí)，總數(shù)隨著倍數(shù)的變化而變化，同時(shí)教師要通過(guò)追問(wèn)：“10倍行嗎？100倍行嗎？1000倍呢？”引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)到倍的數(shù)量的無(wú)限性。

學(xué)生在經(jīng)歷了第一次操作體驗(yàn)之后，可以安排第二次“畫(huà)一畫(huà)”，之后全班交流，根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)，教師提問(wèn)：“第二行數(shù)量保持不變，為什么兩行之間的倍數(shù)關(guān)系卻在變化？”一石激起千層浪，該問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，帶著困惑感受“標(biāo)準(zhǔn)”的重要性，從而對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)更加深刻。同時(shí)，學(xué)生還可以體驗(yàn)到當(dāng)總數(shù)保持不變時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)變化能夠引起倍數(shù)的變化。對(duì)于“誰(shuí)是誰(shuí)的1倍”這個(gè)難題也設(shè)置環(huán)節(jié)予以解決，引導(dǎo)學(xué)生正確理解：當(dāng)A和B兩個(gè)量相同時(shí)，既可以說(shuō)A是B的1倍，也可以說(shuō)B是A的1倍。

經(jīng)歷兩次“畫(huà)一畫(huà)”的過(guò)程后，學(xué)生感悟到倍的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)量在比較，選取其中一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn)，再看另一個(gè)量中包含了幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是它的幾倍。由此幫助學(xué)生深度理解倍的含義，并建立起數(shù)學(xué)模型，同時(shí)初步滲透了正、反比例的思想。

（三）建構(gòu)“倍”的模型，學(xué)習(xí)內(nèi)容上求聯(lián)

活動(dòng)1：提供變式，體驗(yàn)本質(zhì)。呈現(xiàn)第1組材料，讓學(xué)生在第1組素材中的三個(gè)量之間找尋倍數(shù)關(guān)系，提高對(duì)倍的概念的靈活應(yīng)用。再次讓學(xué)生感受到“倍”是在兩個(gè)量相比較中產(chǎn)生的。通過(guò)“9”在“9是3的3倍，18是9的2倍”中的切換， 感悟到“9”是個(gè)多重角色：既可作標(biāo)準(zhǔn)量也可作比較量，從而引導(dǎo)學(xué)生有序思考。

還可以變式練習(xí)：如果沒(méi)有圖，只有這三種圓的數(shù)量，如何知道兩種不同顏色的圓中誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍？一種圓的幾倍是多少？如此設(shè)計(jì)也為后面學(xué)習(xí)“倍的解決問(wèn)題”作了鋪墊。

第2組素材是從長(zhǎng)方形到線段的抽象過(guò)程，既可以培養(yǎng)學(xué)生的圖形意識(shí)，也為學(xué)習(xí)有關(guān)倍的解決問(wèn)題作好鋪墊。因?yàn)殚L(zhǎng)方形可以表示1個(gè)物體，如1棵樹(shù)、1輛汽車(chē)……也可以表示一個(gè)整體，如6棵樹(shù)、60輛汽車(chē)……讓學(xué)生初步體會(huì)從一道題發(fā)展到一類(lèi)題。

第3組變式素材是無(wú)序排列的8朵紫花、4朵黃花。學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，必須將無(wú)序排列的兩類(lèi)物體先進(jìn)行整理，其實(shí)在整理的過(guò)程中學(xué)生就已經(jīng)自覺(jué)地將實(shí)物比較轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的比較了。

活動(dòng)2：呈現(xiàn)反例，凸顯本質(zhì)。如果更改紫花的數(shù)量，再添2朵紫花，使圖中的黃花與紫花之間不存在整數(shù)倍的關(guān)系，這是一個(gè)倍數(shù)的“錯(cuò)誤結(jié)構(gòu)”模型。首先讓學(xué)生找一找兩者之間的關(guān)系，學(xué)生因?yàn)橛谐思?、乘減的知識(shí)基礎(chǔ)，能說(shuō)出紫花的朵數(shù)比黃花的2倍多2個(gè)（也可以說(shuō)為3倍少2個(gè)），與二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘加、乘減問(wèn)題無(wú)縫對(duì)接。適時(shí)追問(wèn)：“怎么變化，就能使紫花的個(gè)數(shù)正好是黃花的2倍（3倍）呢？”鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維。

這個(gè)反例根據(jù)倍的概念的本質(zhì)，以問(wèn)題進(jìn)行驅(qū)使，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思辨錯(cuò)誤來(lái)加深對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)和理解。

（責(zé)任編輯? 吳淑媛）