關(guān)于等差數(shù)列在三素?cái)?shù)中的分布

儲(chǔ)玉結(jié)

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

記x為充分大的實(shí)數(shù)，整數(shù)k≥2.集合Dk={d1,…,dk},其中d1

其中p遍歷全體素?cái)?shù)，vDk表示集合Dk的元素模p后的剩余類個(gè)數(shù).使得S(Dk)≠0的集合Dk被稱為容許集.π(x,Dk)表示使得n+d1,…,n+dk都是素?cái)?shù)的正整數(shù)n≤x的個(gè)數(shù).當(dāng)Dk不是容許集的時(shí)候，π(x,Dk)是不超過(guò)k的有界值，因此只關(guān)心容許集的情形.1923年Hardy和Little wood[1]根據(jù)圓法猜測(cè)出了π(x,Dk)的主項(xiàng)，并提出了著名的Hardy-Littlewood猜想.后來(lái)帶余項(xiàng)的一致性漸進(jìn)公式也同樣被稱為Hardy-Littlewood猜想，參見(jiàn)[2].1974年Halberstam和Richert[3]給出了π(x,Dk)的一個(gè)上界，即

(1)

其中ε表示給定的任意小的正數(shù).本文關(guān)心三素?cái)?shù)的分布情況，即k=3的情形，為了表達(dá)方便，下文簡(jiǎn)記D3為D,具體來(lái)說(shuō)，將考慮

與D的關(guān)系，這里D={0,d1,d2}.顯然有G3(x,D)=π(x-d2,D),因此將用到k=3時(shí)的Hardy-Littlewood猜想，具體如下：

猜想1若S(D)≠0,則對(duì)?ε>0,在2≤d2≤(1-ε)x上一致有

等差數(shù)列是重要的數(shù)學(xué)對(duì)象，關(guān)于它有很多有意思的研究，如最近的工作[4-5].當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的各項(xiàng)都是素?cái)?shù)時(shí)稱為素?cái)?shù)等差數(shù)列.素?cái)?shù)等差數(shù)列是數(shù)論界非常關(guān)心的問(wèn)題，數(shù)學(xué)界著名的Green和Tao證明了素?cái)?shù)中存在任意長(zhǎng)的等差數(shù)列，但是目前仍然無(wú)法得到很多關(guān)于公差的信息.本文將在著名的Hardy-Littlewood猜想下，一方面試圖去進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列的公差分布信息，另一方面，鑒于素?cái)?shù)最可能的差集最近被廣泛研究如[6]，因此在這里，自然考慮了出現(xiàn)頻率最高的長(zhǎng)為3的等差數(shù)列是否是三素?cái)?shù)最可能的分布形式.

2 漸進(jìn)公式

首先由猜想1導(dǎo)出G3(x,D)的漸進(jìn)公式.

引理1假設(shè)猜想1成立，則在2≤d2≤(1-ε)x上一致有

(2)

其中

證對(duì)猜想1中的積分項(xiàng)三次分部積分得

在2≤d2≤(1-ε)x上有

所以

代入得引理1.

(3)

由(3)式，不難看出，影響G3(x,D)值的因素主要來(lái)自三個(gè)方面，一方面是奇異級(jí)數(shù)S(D),另一方面是x-d2,最后一方面來(lái)自函數(shù)H(x,D).下面將給出關(guān)于這三方面的一些估計(jì).用ω(d)來(lái)表示d互異的素因子個(gè)數(shù)，則由奇異級(jí)數(shù)的定義易知

(4)

(5)

(6)

3 長(zhǎng)為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列最可能的公差

本節(jié)將討論長(zhǎng)為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列出現(xiàn)頻率最高的公差問(wèn)題，具體結(jié)論如下：

定理1設(shè)δ是一個(gè)給定的小實(shí)數(shù)，基于猜想1：

(7)

定理1的證明由以下兩個(gè)引理構(gòu)成.

P#a=1-δ()xlogx#,

以及

將上面三式代入(3)，整理得

P#b=1+δ()xlog2x#,

再由(3)得

將上面三式代入(3)，整理得

其中

所以

綜合以上五種情形，引理3得證.

4 關(guān)于三素?cái)?shù)最可能的分布

本節(jié)通過(guò)構(gòu)造一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明，定理1中的素?cái)?shù)等差數(shù)列并不一定是三素?cái)?shù)最可能的分布形式.

又因?yàn)?/p>

所以，由上面三式及(2)得

5 結(jié) 論

本文研究了長(zhǎng)為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列出現(xiàn)頻率最高的公差問(wèn)題.基于Hardy-Littlewood猜想，通過(guò)分類討論，證明了長(zhǎng)為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列頻率最高的公差是素?cái)?shù)連乘.通過(guò)構(gòu)造一個(gè)反例，發(fā)現(xiàn)這個(gè)頻率最高的素?cái)?shù)等差數(shù)列并不一定是三素?cái)?shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的分布.

致謝作者非常感謝審稿專家對(duì)論文提出的寶貴建議.