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    施密特正交化的幾何解釋及代碼實(shí)現(xiàn)

    2021-10-30 06:47:24健,龔
    黑龍江科學(xué) 2021年20期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積施密特三維空間

    陳 健,龔 萍

    (攀枝花學(xué)院,四川 攀枝花 617000)

    線性代數(shù)中,若要探究高維度線性空間的相關(guān)問(wèn)題,標(biāo)準(zhǔn)正交基必不可少,當(dāng)成功建立起標(biāo)準(zhǔn)正交基后,當(dāng)前空間的所有向量都可以利用此標(biāo)準(zhǔn)正交基表達(dá)。例如:在解決三維空間中立體幾何問(wèn)題時(shí),可優(yōu)先建立空間直角坐標(biāo)系,這能夠幫助學(xué)者簡(jiǎn)化諸多復(fù)雜問(wèn)題,在構(gòu)造所需標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí),則需要使用施密特正交化方法[1],利用向量之間基本關(guān)系,以三維空間為例,依據(jù)向量間的基本關(guān)系和內(nèi)積定理,演示施密特正交化過(guò)程,探討和解釋施密特正交化的幾何意義,并用代碼實(shí)現(xiàn)施密特正交化方法計(jì)算,幫助學(xué)者理解施密特正交化空間幾何意義。

    1 施密特正交化幾何意義

    施密特正交化的目的是利用向量的基本運(yùn)算和向量?jī)?nèi)積的定理對(duì)一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)的正交向量組。將以三維空間為例,依據(jù)向量的基本知識(shí)演示施密特正交化的步驟,向?qū)W者解釋施密特正交化的幾何意義。

    1.1 基本向量、內(nèi)積、線性相關(guān)知識(shí)的解釋

    首先解釋向量的基本運(yùn)算,內(nèi)積的定理和向量的線性相關(guān)性:

    圖1Fig.1

    圖2Fig.2

    由向量?jī)?nèi)積的定理:設(shè)n維向量a與b,滿足[a,b]=0,則向量a與b正交[3]。

    若給定向量組A:a1,a2,…,am,若存在不全為0的數(shù)k1,k2,…,km,使得k1a1+k2a2+…+kmam=0成立,則向量組A是線性相關(guān)的;從幾何上理解,如:若一組向量線性相關(guān),則它在二維空間中時(shí),任意兩個(gè)向量是共線的,而三維空間中,則其中任意三個(gè)向量是共面的[4];若k1a1+k2a2+…+kmam=0當(dāng)且僅當(dāng)k1,k2,…,km全都為0時(shí)成立,稱向量組a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān),意味著向量組在二維空間中任兩個(gè)向量不共線,在三維空間中任三個(gè)向量不共面。

    1.2 從幾何角度解釋施密特正交化

    圖3Fig.3

    圖4Fig.4

    圖5Fig.5

    同理則可以得到施密特正交化的公式:

    當(dāng)前有一組線性無(wú)關(guān)的n維向量組a1,a2,a3,…ar,則有[6]:

    b1=a1

    2 利用計(jì)算機(jī)代碼實(shí)現(xiàn)

    2.1 代碼內(nèi)容

    根據(jù)施密特正交化求等價(jià)正交向量組的基本公式和思路,設(shè)計(jì)了以下代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算向量以達(dá)到正交化效果[7]。

    核心代碼為:

    int k=0;

    double x=0;//施密特正交化公式中分式的分子

    double y2=0;// 施密特正交化公式中分式的分母

    double u[100];//正交化后的系數(shù)

    //取輸入的第一個(gè)向量置為正將向量組的第一個(gè)向量

    for(int i=1;i

    {

    //從輸入的第二個(gè)向量開(kāi)始正交化

    for( k=0;k

    {

    for(int j=0;j

    {

    x +=vector[i][j]*vector[i-1-k][j];

    y2 +=vector[i-1-k][j]*vector[i-1-k][j];

    u[k]=x/y2;

    }

    for(int j=0;j

    {

    vector[i][j]=vector[i][j]-x/y2*vector[i-1-k][j];

    }

    x=0;

    y2=0;

    }

    }

    //將得出的正交化向量單位化

    for(int i=0;i

    {

    for(int j=0;j

    {

    x += vector[i][j]*vector[i][j];

    }

    u[i]=sqrt(x);

    x=0;

    }

    2.2 運(yùn)行效果

    假設(shè)數(shù)據(jù)為:a1=(1,0,1)T,a2=(1,1,0)T,a3=(0,1,1)T,利用施密特正交化方法,理論得出的值是:

    結(jié)果:

    2.3 結(jié)果分析

    代碼能夠計(jì)算出施密特正交化后正交向量組,但由于計(jì)算機(jī)的精度與人工計(jì)算的精度不同,計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的方式及計(jì)算數(shù)據(jù)的邏輯先后都契合機(jī)器的存儲(chǔ)和計(jì)算[8],而人工計(jì)算會(huì)使用約分等技巧計(jì)算,導(dǎo)致某些情況計(jì)算機(jī)運(yùn)算的正交化向量與人工計(jì)算所得的值不符合,從而產(chǎn)生一定誤差。但因計(jì)算機(jī)運(yùn)算的精度會(huì)更高,則計(jì)算機(jī)程序得出的正交向量組更趨近于正確的正交向量組。

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