兩種氣象常用坐標(biāo)系中渦度和散度物理意義的比較*

吳 洪

中國氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院，北京 100081

提 要： 氣象常用的渦度、水平散度(簡稱散度)是天氣系統(tǒng)、天氣現(xiàn)象演變的重要診斷物理量。依據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)，分別推導(dǎo)出氣象中常用的局地直角坐標(biāo)系(“z”坐標(biāo)系)和等壓坐標(biāo)系(“p”坐標(biāo)系)中渦度之間、散度之間的關(guān)系表達(dá)式。討論表明，在兩種坐標(biāo)系中，渦度、散度的定義式形式完全相同，但本質(zhì)有所差異，“p”坐標(biāo)系中渦度不僅表示空氣微團(tuán)繞天頂方向的旋轉(zhuǎn)程度，還反映大氣的斜壓性強(qiáng)弱。同樣，“p”坐標(biāo)系中散度不僅表示空氣微團(tuán)水平面積的相對變化率大小程度，也反映大氣的斜壓性強(qiáng)弱。只有大氣在正壓狀態(tài)的情況之下，“p”坐標(biāo)系中渦度、散度才表示純粹的旋轉(zhuǎn)和輻散輻合。“p”坐標(biāo)系中渦度、散度不僅具有大氣動力特征，同時還具有大氣熱力特征。

引 言

氣象學(xué)中渦度、散度的概念源于流體力學(xué)，渦度是速度場的旋度，表征空氣微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，是一個三維矢量；散度是速度場的輻合輻散，度量空氣微團(tuán)體積相對變化(即膨脹或收縮程度)，是一個標(biāo)量。因為大氣中天氣尺度及以上尺度的運(yùn)動具有準(zhǔn)水平性，表征這類運(yùn)動旋轉(zhuǎn)特征的渦度的垂直分量相當(dāng)重要，所以通常在氣象中將渦度的垂直分量稱為垂直渦度(以下簡稱渦度)；同樣，在氣象中一般將表征空氣微團(tuán)在水平面上的(面積)膨脹收縮特征的物理量稱為水平散度(以下簡稱為散度)。渦度、散度因而成為最基本、最重要的氣象物理量。渦度方程是描述大氣渦旋特性演變規(guī)律的基本方程，渦度和渦度方程、散度被廣泛用于氣旋、臺風(fēng)、暴雨、暴雪、強(qiáng)對流等天氣的分析、預(yù)報和理論研究中(吳國雄，2001；Wu and Hou，1991；周玉淑和冉令坤，2010；陳碧瑩和閔錦忠，2020；李娜等，2013；何光碧等，2009；黃彬等，2013；姚秀萍等，2007；蒙偉光等，2014；苗春生等，2014；閻琦等，2016；黃永明和倪允琪，2005；鄭永光等，2017；徐威等，2017；周兵等，2001；竇慧敏等，2019；王丹妮等，2020；丁治英等，2018；張小玲和程麟生，2000a；2000b；蔡其發(fā)等，2008；黃思訓(xùn)等，2007)，有效地解釋大氣中天氣現(xiàn)象、天氣系統(tǒng)的特征及其演變特點(diǎn)。因此，對渦度、散度的深度理解是其進(jìn)一步應(yīng)用，以及天氣預(yù)報實(shí)際業(yè)務(wù)工作的基礎(chǔ)和前提。

地球是一自轉(zhuǎn)的近似球體，而空氣微團(tuán)水平運(yùn)動速度是相對于地球表面的，因此在笛卡爾直角坐標(biāo)系中難以直接應(yīng)用表征微團(tuán)運(yùn)動變化的標(biāo)量方程，而采用正交曲線坐標(biāo)之一的球坐標(biāo)系則可以避免這種情況的出現(xiàn)，所以在氣象中一般采用球面坐標(biāo)系。通過薄層近似、忽略地球曲率對大氣運(yùn)動的影響，即得到局地直角坐標(biāo)系，稱為“z”坐標(biāo)系，其實(shí)質(zhì)就是簡化了的球坐標(biāo)系，仍可以視為是一種數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。然而在日常氣象業(yè)務(wù)工作中，采用的是等壓面分析，即在等壓面上分析一些氣象要素的分布及其變化。因此，在實(shí)際業(yè)務(wù)工作中應(yīng)用局地直角坐標(biāo)系有時并不方便，故而采用等壓面坐標(biāo)系，稱為“p”坐標(biāo)系。除了尺度較小的運(yùn)動之外，大氣的大、中尺度運(yùn)動都能滿足靜力平衡或具有靜力平衡的性質(zhì)，?p/?z=-ρg<0，氣壓p是高度z的單調(diào)遞減、可微的連續(xù)函數(shù)，從而保證了在鉛直方向上p與z一一對應(yīng)。靜力平衡即為“p”坐標(biāo)系成立的條件。在局地直角坐標(biāo)系中，表征空氣微團(tuán)在天頂方向的空間位置用z表示；“p”坐標(biāo)系僅只是用氣壓數(shù)值p替代空氣微團(tuán)的位置z而已，是由水平數(shù)學(xué)坐標(biāo)(x，y)與表征空氣微團(tuán)熱力特征之一的物理量氣壓p作為鉛直坐標(biāo)共同構(gòu)成，這個鉛直坐標(biāo)可被稱為“物理坐標(biāo)”，仍采用天頂方向的反方向作為鉛直坐標(biāo)的方向，這個方向矢量并不與等壓面垂直。因而，“p”坐標(biāo)系不是數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，而是一種“混合坐標(biāo)系”(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)。

本文利用“z”“p”坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，推導(dǎo)兩種坐標(biāo)系中的渦度、散度之間的關(guān)系式，討論兩種坐標(biāo)系中渦度之間、散度之間的聯(lián)系與差異，澄清對“p”坐標(biāo)中渦度、散度的一些模糊認(rèn)識，增強(qiáng)對基本原理透徹的理解，以更好地應(yīng)用于實(shí)際業(yè)務(wù)。

1 兩種坐標(biāo)系中的渦度表達(dá)式

速度旋度的表達(dá)式為ω=3×V3，旋度是一個三維矢量，V3=ui+vj+wk是空氣微團(tuán)的三維速度。笛卡爾直角坐標(biāo)系的漢密爾頓算子3表達(dá)式為3=i+j+k?？諝馕F(tuán)的旋度在鉛直方向的表達(dá)式為

1.1 “z”坐標(biāo)系的渦度

根據(jù)氣象中使用的球坐標(biāo)系的特點(diǎn)，空氣微團(tuán)的旋度表示為：

(1)

由“z”坐標(biāo)系的特點(diǎn)可知，在該坐標(biāo)系中地球的曲率項作用可完全略去。故由式(1)可進(jìn)一步推導(dǎo)出“z”坐標(biāo)系中的旋度：

(2)

式(1)和式(2)中：u，v，w分別是空氣微團(tuán)在緯向、經(jīng)向和鉛直方向的速度分量，(i，j，k)分別是緯向、經(jīng)向和鉛直方向的單位矢量，r是地心到空氣微團(tuán)的距離，a表示地球半徑，(φ，λ)分別是微團(tuán)所在的緯度和經(jīng)度。通過水平坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換式，“z”坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式還可寫成：

(3)

式(3)僅只是形式上與笛卡爾直角坐標(biāo)系旋度的表達(dá)式相同而已，但兩者的實(shí)質(zhì)是不同的。

“z”坐標(biāo)系中的渦度表達(dá)式為 (楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(4)

“z”坐標(biāo)系的天頂方向k垂直于地面及與之平行的水平面(λ,φ)或(x，y)平面。由式(4)可知，“z”坐標(biāo)系中的渦度是空氣微團(tuán)繞天頂方向的旋轉(zhuǎn)分量，是由于水平運(yùn)動的空間分布不均勻所導(dǎo)致的，所以在氣象中也被稱為相對渦度(簡稱渦度)。

1.2 “p”坐標(biāo)系的渦度

因為“p”坐標(biāo)系不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，因而不能直接使用數(shù)學(xué)中場論的有關(guān)方法和算子。在“p”坐標(biāo)系中利用水平運(yùn)動方程組，仿“z”坐標(biāo)系渦度方程式推導(dǎo)的過程，將表達(dá)式(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(5)

稱為“p”坐標(biāo)系中的(相對)渦度，式中：u，v分別是空氣微團(tuán)在“p”坐標(biāo)系中緯向和經(jīng)向的速度分量。雖然式(5)形式上與式(4)相同，但不是由場論理論推導(dǎo)而出，僅只是形式的定義式。

由“p”坐標(biāo)與“z”坐標(biāo)之間的基本轉(zhuǎn)換關(guān)系(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)，可得兩種坐標(biāo)系中渦度關(guān)系：

(6)

式中：p表示氣壓，ζz表示“z”坐標(biāo)的相對渦度，下標(biāo)“z”表示“z”坐標(biāo)系，下標(biāo)“p”表示“p”坐標(biāo)系。

式(6)右端第二項進(jìn)一步可寫成：

(7)

式中：V=ui+vj是空氣微團(tuán)的水平風(fēng)，2表示在(x，y)平面中的漢密爾頓算子。

由式(6)、式(7)可知，“p”坐標(biāo)的渦度不僅與“z”坐標(biāo)的渦度有關(guān)，還與空氣微團(tuán)的風(fēng)垂直切變、氣壓梯度(等壓面坡度)有關(guān)。雖然等壓面坡度非常小，但它是造成空氣微團(tuán)水平運(yùn)動的動力。若等壓面坡度為零，即等壓面完全與(z，y)平面(水平面)平行或重合，則空氣微團(tuán)相對地面呈靜止?fàn)顟B(tài)，等壓面上空氣微團(tuán)繞天頂方向的旋轉(zhuǎn)也不存在。當(dāng)大氣為正壓大氣或自動正壓大氣，則水平風(fēng)不隨氣壓變化，“p”坐標(biāo)的渦度值與“z”坐標(biāo)的渦度值相等。因此，“p”坐標(biāo)渦度不只是等壓面上空氣微團(tuán)繞天頂方向旋轉(zhuǎn)程度的度量。

若取準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似，再利用熱成風(fēng)關(guān)系(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

2p=fρVg×k

(8)

式中：ρ為空氣密度，T為氣溫(單位：K)，f為地轉(zhuǎn)參數(shù)，R是干空氣氣體常數(shù)。因為“p”坐標(biāo)的水平坐標(biāo)與“z”坐標(biāo)的完全相同，則式(7)可進(jìn)一步改寫為：

(9)

“p”“z”坐標(biāo)系的渦度關(guān)系式(6)可寫為：

=ζz+[Vg×(-2lnT)]p·k

(10)

式中Vg為地轉(zhuǎn)風(fēng)。

2 兩種坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式

速度散度的表達(dá)式為D3=3·V3，散度是一個標(biāo)量。在氣象中散度通常是指水平面上的二維散度，表達(dá)式為D=2·V’，式中V’為水平運(yùn)動速度。

2.1 “z”坐標(biāo)系的散度

在氣象中使用的球坐標(biāo)系中的速度散度表示為：

(11)

略去地球曲率項，由式(11)可進(jìn)一步得到“z”坐標(biāo)系中的速度散度：

(12)

式(11)和式(12)中的各種物理量同式(1)、式(2)。與渦度類似，式(12)僅只是形式上完全與笛卡爾直角坐標(biāo)系速度散度的表達(dá)式一樣，但兩者的實(shí)質(zhì)是不同的。

“z”坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(13)

“z”坐標(biāo)系中的散度表示在平行于地面的平面(λ，φ)中，空氣微團(tuán)面積的相對變化量，即輻散輻合，也是因水平運(yùn)動的空間分布不均勻所導(dǎo)致的。

2.2 “p”坐標(biāo)系的水平散度

與“p”坐標(biāo)系的渦度相似，“p”坐標(biāo)系中的水平散度不能由場論理論直接得出。在將“z”坐標(biāo)系的連續(xù)性方程轉(zhuǎn)換為“p”坐標(biāo)系的連續(xù)性方程過程中，將表達(dá)式(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(14)

稱為“p”坐標(biāo)系中的散度，u，v分別是空氣微團(tuán)在“p”坐標(biāo)系中緯向和經(jīng)向的速度分量 。

“p”坐標(biāo)系中的散度式(14)形式上與“z”坐標(biāo)系的相同，但不是由場論理論推導(dǎo)而出，僅只是形式的定義式。

由“p”坐標(biāo)與“z”坐標(biāo)之間的基本轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得兩種坐標(biāo)系中散度關(guān)系：

(15)

式中：p表示氣壓，Dz表示“z”坐標(biāo)的相對渦度，下標(biāo)“z”表示“z”坐標(biāo)系，下標(biāo)“p”表示“p”坐標(biāo)系。

由式(15)可知，“p”坐標(biāo)的散度不僅與“z”坐標(biāo)的散度有關(guān)，還與空氣微團(tuán)的水平風(fēng)垂直切變、等壓面坡度有關(guān)。若等壓面完全與(x，y)平面(水平面)平行或重合，則空氣微團(tuán)相對地面呈靜止?fàn)顟B(tài)，空氣微團(tuán)在等壓面上的散度為零，而且“z”坐標(biāo)系中空氣微團(tuán)的水平面積相對變化也不存在。當(dāng)大氣為正壓大氣或自動正壓大氣，則風(fēng)不隨氣壓變化，“p”坐標(biāo)的散度值與“z”坐標(biāo)的散度值相等。所以，“p”坐標(biāo)散度不只是等壓面上空氣微團(tuán)的水平面積相對變化率的度量。

式(15)右端第二項進(jìn)一步可寫成：

(16)

若取準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似，再利用式(8)的熱成風(fēng)關(guān)系，因為“p”坐標(biāo)的水平坐標(biāo)與“z”坐標(biāo)的完全相同，則式(16)可寫為：

(17)

“p”“z”坐標(biāo)系中散度關(guān)系式(15)進(jìn)一步可寫成：

(18)

式(16)～式(18)中各物理量同式(8)～式(10)。

3 結(jié)論與討論

渦度、散度是氣象中最基本的物理量(場)，在等壓面上進(jìn)行渦度、散度的分析、應(yīng)用，必須建立在對渦度、散度具有非常透徹的理解基礎(chǔ)上。

由“p”坐標(biāo)成立的條件以及“z”“p”坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換可知，在“p”坐標(biāo)系中， “p”不是鉛直坐標(biāo)，僅只是坐標(biāo)變量而已，等壓面并非與天頂方向處處相垂直。

從第1節(jié)中可以看出，“z”坐標(biāo)的渦度，是嚴(yán)格意義上的空氣微團(tuán)相對地面繞天頂方向的旋轉(zhuǎn)快慢，從某種意義上來說，表示了氣旋(反氣旋)的強(qiáng)弱。式(5)表明，“p”坐標(biāo)渦度的表達(dá)式形式上與“z”坐標(biāo)的相同， 但“p”坐標(biāo)的渦度不僅包含“z”坐標(biāo)的渦度值，即反映空氣微團(tuán)繞天頂方向的旋轉(zhuǎn)快慢，而且還表示水平風(fēng)垂直切變的作用，即大氣斜壓性的作用。當(dāng)大尺度水平風(fēng)、溫度場滿足{[Vg×(-2T)]p·k}>0時，“p”坐標(biāo)的正(負(fù))渦度大于(小于)“z”坐標(biāo)系中的；反之，當(dāng)滿足{[Vg×(-2T)]p·k}<0時，“p”坐標(biāo)中正(負(fù))渦度小于(大于)“z”坐標(biāo)系中的。因此，在斜壓大氣中，“p”坐標(biāo)渦度可能夸大或縮小了對氣旋(反氣旋)性切變或氣旋(反氣旋)系統(tǒng)強(qiáng)度的度量。鋒區(qū)、高空急流是中高緯度大氣中的主要天氣系統(tǒng)之一，常引發(fā)暴雨、大風(fēng)、強(qiáng)對流等災(zāi)害性天氣的產(chǎn)生。鋒區(qū)(面)、急流及附近的斜壓性強(qiáng)，水平風(fēng)速及其垂直切變都較大， “p”坐標(biāo)渦度將明顯夸大對冷鋒、冷槽等系統(tǒng)的空氣微團(tuán)旋轉(zhuǎn)程度，明顯縮小對暖鋒、暖切變等系統(tǒng)的空氣微團(tuán)旋轉(zhuǎn)程度，可能造成低值系統(tǒng)出現(xiàn)“虛假”的鉛直旋轉(zhuǎn)。

從第2節(jié)中可以看出，“z”坐標(biāo)的散度，是嚴(yán)格意義上度量空氣微團(tuán)相對地面的水平面積相對變化率的物理量，式(18)表明，“p”坐標(biāo)散度表達(dá)式也只是形式上與“z”坐標(biāo)的相同，“p”坐標(biāo)的散度不僅包含“z”坐標(biāo)的散度值，即空氣微團(tuán)的水平輻散輻合，而且還表示“p”坐標(biāo)系中溫度平流的強(qiáng)弱，即大氣斜壓性的另一種影響表現(xiàn)。當(dāng)大氣中存在暖平流-[Vg·(2T)]p>0時，“p”坐標(biāo)的輻合(輻散)弱(強(qiáng))于“z”坐標(biāo)系中的；當(dāng)存在冷平流-[Vg·(2T)]p<0時，“p”坐標(biāo)的輻合(輻散)強(qiáng)(弱)于“z”坐標(biāo)系中的。因此，在斜壓大氣中，“p”坐標(biāo)散度可能夸大或縮小了對空氣微團(tuán)水平輻散輻合的度量。在鋒區(qū)(面)、高空鋒區(qū)及附近大氣斜壓性強(qiáng)，溫度平流較大，“p”坐標(biāo)散度將明顯夸大對冷鋒、冷槽等系統(tǒng)的輻合程度，明顯縮小對暖鋒、暖切變等系統(tǒng)的輻合程度。不僅如此，由“p”坐標(biāo)渦度方程中的散度項進(jìn)一步可知，與大氣斜壓性密切相關(guān)的溫度平流先引起輻散輻合的變化，進(jìn)而造成局地的渦度變化，尤其是在鋒區(qū)(面)、高空鋒區(qū)及其附近。

綜上所述，“p”坐標(biāo)系中渦度、散度不僅分別表示空氣微團(tuán)自身的旋轉(zhuǎn)、輻散輻合的動力特征，同時還反映了大氣斜壓性的熱力特征。因此，在等壓面分析中，用渦度及其變化反映環(huán)流系統(tǒng)的強(qiáng)度及演變時，不僅需要關(guān)注槽、切變線等系統(tǒng)自身，還需注意與這些系統(tǒng)相伴的水平風(fēng)場及溫度場分布以及這兩種場之間的配置，區(qū)別出是系統(tǒng)自身的強(qiáng)度還是大氣斜壓性的強(qiáng)度及它們各自的變化，以及造成這種變化的原因，才能增強(qiáng)對天氣系統(tǒng)的演變及其導(dǎo)致的某些天氣現(xiàn)象發(fā)生的深刻理解。

本文只是從理論上討論“z”“p”坐標(biāo)系中渦度、散度的物理意義的差異，在實(shí)際中如何應(yīng)用，乃是今后進(jìn)一步研究工作的方向。

致 謝：多年來參加中國氣象局干部培訓(xùn)學(xué)院及分院培訓(xùn)的諸多各級預(yù)報員，他們的勤學(xué)好問促使作者的不斷思考，最終形成此文。