二階脈沖隨機(jī)微分方程積分邊值問題解的存在性

孫會(huì)賢,顧海波,馬麗娜

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

積分微分方程通常被用來刻畫生物模型、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等現(xiàn)實(shí)生活中的很多現(xiàn)象。實(shí)際上,用隨機(jī)微分方程或者隨機(jī)積分微分方程來描述一些自然現(xiàn)象更為合理[1-5]。另外,在很多動(dòng)力系統(tǒng)中都會(huì)有脈沖現(xiàn)象的存在,所以在考慮隨機(jī)干擾的同時(shí)考慮到脈沖的影響很有必要,脈沖微分方程的特點(diǎn)引起了學(xué)者們的關(guān)注。近年來,許多學(xué)者研究了固定脈沖微分方程的初邊值問題[6-9]。2019年,文獻(xiàn)[10]研究了二階非線性積分邊值問題

正解的存在唯一性,且存在t0∈[η,1]使得a(t0)>0。

Zhao和Chen[11]研究了二階脈沖微分方程邊值問題

a>0,b≥0,c>0,d≥0,0=t0

解的存在唯一性。

2011年,Xia和Lin[12]討論了隨機(jī)微分方程兩點(diǎn)邊值問題

其中T>0,A和B為d×d階矩陣,{W(t),0≤t≤T}是k維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，給出了自適應(yīng)解存在的充要條件,并對于特殊選擇的解,得到了邊值問題的連續(xù)相依性。

2020年,Dong[3]研究了隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程

受此啟發(fā),本文將以往所研究的方程的脈沖項(xiàng)和邊界條件做了推廣,對其限制條件進(jìn)行了修改,考慮帶有脈沖的二階隨機(jī)微分方程的積分邊值問題

(1)

其中f:J×R×R→R連續(xù),w=(w1,w2,…,wn)T是給定的n維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，

1 預(yù)備知識(shí)

假定(Ω,Γ,P)是一個(gè)完備的概率空間,其中Ω是一個(gè)樣本空間(或任意一個(gè)集合),Γ是由Ω的部分子集構(gòu)成的集合族,Γ中的元素稱為事件,P是(Ω,Γ)上的概率,Lq(Ω,Rn)為強(qiáng)可測空間,滿足q次可積,且u:Ω→Rn為任意Γt可測d維隨機(jī)變量。

則PC(J,L2(Ω,Rn))構(gòu)成一個(gè)Banach空間。

則PC1(J,L2(Ω,Rn))構(gòu)成一個(gè)Banach空間。

引理1[13]基本不等式

(ⅰ)p>0,|a+b+c|p≤3p-1(|a|p+|b|p+|c|p);

(ⅲ) Doob鞅不等式

定義1 如果u(t)滿足：

(ⅰ)u(t)是Γt適應(yīng)的且在(tk,tk+1)處是連續(xù)的;

(ⅳ) 對于任意給定T∈J,u(t)在t∈[0,T]{tk}上幾乎處處滿足方程(1)，則稱u(t)是方程(1)在[0,T]上的解。

引理2(Ascoli-Arzela定理)[14]設(shè)S={s(t)}是一個(gè)由連續(xù)映射s:[a,b]→PC1構(gòu)成的函數(shù)族。若對于任意的t*∈[a,b],集合s(t*)是相對緊的,則S是一致有界且等度連續(xù)的,并在S中存在一致收斂函數(shù)序列{sn(t)},n=1,2,…,t∈[a,b]。

引理3(Leray-Schauder定理)[14]設(shè)PC1為實(shí)Banach空間,算子A:PC1→PC1為全連續(xù)算子,若集合u∈{u∈PC1|u=λAu,0<λ<1}是有界的，則u=Au至少有一個(gè)解。

引理4 設(shè)ση2≠2,則邊值問題(1)的解u∈PC1(J,L2(Ω,Rn))∩PC2(J′,L2(Ω,Rn))等價(jià)于脈沖積分方程

(2)

的解，其中

證明設(shè)u是邊值問題(1)的解,對式(1)兩端積分得

(3)

對式(3)再次積分得

(4)

對式(4)兩端進(jìn)行積分

并對式(4)取t=1，得

結(jié)合邊值條件可得

將上式代入(4)式得

證畢。

引理5[15]格林函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

(1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù);

2 主要結(jié)果

本節(jié)通過運(yùn)用Leray-Schauder定理討論了邊值問題(1)解的存在性。為了方便，下面將給出所需假設(shè)條件及記號說明。本文中,對任意x,y∈R假設(shè)如下：

(H1)函數(shù)f(t,x,y)在J×R×R上連續(xù),函數(shù)g(t,x)在J×R上連續(xù)。

(H2)存在正常數(shù)L,使得|g(t,x)|≤L(1+|x|2)。

(H3)存在有界函數(shù)α(t),β(t),γ(t)使得|f(t,x,y)|≤α(t)|x|+β(t)|y|+γ(t)。

(H4)存在非負(fù)常數(shù)ak,bk,ck,k=1,2,3,…,n,使得

(H5)存在非負(fù)常數(shù)nk>0,k=1,2,…,n,使得

記

首先定義算子A：PC1→PC1如下

(5)

并對式(5)關(guān)于t求導(dǎo),即

定理1 若假設(shè)條件(H1)～(H5)成立,且滿足1-F1>0,則邊值問題(1)至少存在一個(gè)解。

證明定理的證明可分解為以下4個(gè)步驟：

(1)先證A是一個(gè)連續(xù)算子,對于任意{un}∈PC1,存在u0∈PC1,使得un→u0(n→∞)。

并且有

當(dāng)n→∞時(shí),根據(jù)f,g,G的連續(xù)性可知,E‖(Aun)(t)-(Au0)(t)‖2→0且

E‖(Au′n)(t)-(Au′0)(t)‖2→0。

因此,A在PC1上是一個(gè)連續(xù)算子。

(2)對任意的u∈PC1,且u(0)=0,則由

可得

則

因此,只需驗(yàn)證E‖(Au′)(t)‖2一致有界即可。并且由(H5)可得，存在Nk>0,k=1,2,…,n,有

從而

其中

因此，結(jié)合(H3)可得

(6)

(3)對任意的u∈PC1,v1,v2∈(tk,tk+1),當(dāng)t1

(7)

由(7)式可知,當(dāng)|t1-t2|→0時(shí),E‖(Au)(t1)-(Au)(t2)‖2→0,對任意的有界集Ω∈PC1,結(jié)合(6)(7)式可知，A(Ω),A′(Ω)在每個(gè)Jk上等度連續(xù),因此推出A是等度連續(xù)的,即A在PC1上是相對緊的。運(yùn)用引理2(Ascoli-Arzela定理)可知A:PC1→PC1是全連續(xù)算子。

(4)對任意u∈{u∈PC1|u=λAu,0<λ<1},對u(t)=λAu(t),其中λ∈(0,1)有

從而有‖u‖=sup|λ(Au)(t)|≤‖(Au)(t)‖≤C,得到u∈{u∈PC1|u=λAu,0<λ<1}是有界的,由引理2、引理3可知，方程(1)的解等價(jià)于算子A的不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)至少有一個(gè)解,證畢。

3 應(yīng)用舉例

考察二階脈沖隨機(jī)微分方程

(8)

其中

易知

從而邊值問題(8)滿足定理1的所有條件,因此邊值問題(8)至少存在一個(gè)解。