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    具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解

    2021-10-29 14:20:34方聰娜賓紅華
    關(guān)鍵詞:實(shí)值時(shí)變時(shí)滯

    方聰娜,賓紅華

    (集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門 361021)

    1 預(yù)備知識

    神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門迅速發(fā)展的交叉學(xué)科,它廣泛應(yīng)用于大規(guī)模集成電路、人工智能、信號處理、神經(jīng)生理學(xué)、圖像識別等領(lǐng)域.在過去的幾十年,許多學(xué)者研究了各類實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)力學(xué)行為,并且取得了豐富的研究成果[1-7].但是,在諸多應(yīng)用領(lǐng)域中實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有一定的局限性,如在電子信息工程領(lǐng)域,人們需要處理復(fù)數(shù)數(shù)據(jù),因此,作為實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的推廣,復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自然而然地被提出來,而且解決了一些實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能解決的問題[8],成為了一個(gè)新的研究熱點(diǎn).這些年,一些學(xué)者主要研究了復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)或周期解的存在性、穩(wěn)定性、耗散性等問題[9-13].

    我們知道,非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期振蕩是很重要的一種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,概周期解也比周期解更具有一般性,但對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的相關(guān)問題的研究卻寥寥無幾,所以,研究復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值.另一方 面,從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看,在研究實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)往往要求神經(jīng)元激活函數(shù)滿足全局Lipschitz條件,顯然這一條件過于苛刻,限制了一些結(jié)論的應(yīng)用.

    基于上述研究,本文研究了下列具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

    j=1,2,…,n

    (1)

    的概周期解問題,其中zj(t)∈C表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài);dj(t)>0表示自反饋連接權(quán)重;ajk(t)∈C和bjk(t)∈C表示神經(jīng)元之間的連接權(quán)重;Ij(t)∈C表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的外部輸入;fk∈C和gk∈C表示神經(jīng)元激活函數(shù);τjk(t)表示傳輸時(shí)滯且滿足0≤τjk(t)≤τ(τ>0為常數(shù)).本文在不要求神經(jīng)元激活函數(shù)滿足全局Lipschitz條件的情況下,利用Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理及指數(shù)型二分性,建立了保證系統(tǒng)(1)存在唯一的一致穩(wěn)定的概周期解的充分條件,同時(shí)也給出了其概周期解的存在范圍,這些結(jié)果都是新的.

    2 相關(guān)引理

    定義1對于復(fù)值函數(shù)z(t)=zR(t)+izI(t)(zR(t)=Re(z(t)),zI(t)=Im(z(t))),若zR(t),zI(t)都是概周期函數(shù),則稱z(t)為概周期函數(shù).

    考慮如下概周期實(shí)值系統(tǒng)

    x′(t)=A(t)x(t),

    (2)

    x′(t)=A(t)x(t)+k(t),

    (3)

    這里A(t)是t的概周期矩陣函數(shù),k(t)是t的概周期向量函數(shù).

    定義2[14-15]如果存在投影P和正常數(shù)K,α,β使得系統(tǒng)(2)的基本解矩陣X(t)滿足

    ‖X(t)PX-1(s)‖≤Ke-α(t-s),(t≥s),

    ‖X(t)(I-P)X-1(s)‖≤Ke-β(s-t),(s≥t),

    則稱系統(tǒng)(2)在R上滿足指數(shù)型二分性.

    引理1[14-15]若系統(tǒng)(2)滿足指數(shù)型二分性,則系統(tǒng)(3)存在唯一的概周期解,它可表示為

    對于復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1),做如下假設(shè):

    由假設(shè)1)和2),系統(tǒng)(1)可化為如下實(shí)值系統(tǒng)

    j=1,2,…,n,

    (4)

    因此,對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的概周期解的研究可轉(zhuǎn)化為對實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4)的概周期解的研究.

    系統(tǒng)(4)的初始條件為

    t0≥0,j=1,2,…,n,

    ‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t≥t0),

    3 主要結(jié)果

    對于實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4),做如下假設(shè):

    這里v∈{R,I},k=1,2,…,n.

    j=1,2,…,n,

    j=1,2,…,n,

    j,k=1,2,…,n,

    j=1,2,…,n,

    j=1,2,…,n,

    j=1,2,…,n.

    (5)

    由條件(i)及引理1,引理2可知系統(tǒng)(5)存在唯一的概周期解

    其中

    (6)

    因?yàn)閆φ(t)∈Ω,所以現(xiàn)在可定義映射Φ:Ω*→Ω為Φφ=Zφ,下面證明Zφ(t)∈Ω*.

    由式(6)及條件(ii)(iii)可得

    類似于上述的計(jì)算可得

    下面我們證明映射Φ:Ω*→Ω*是一個(gè)壓縮映射.對任意的φ,φ∈Ω*,設(shè)

    最后證明系統(tǒng)(4)的概周期解Z(t)是一致穩(wěn)定的.

    j=1,2,…,n,

    (7)

    j=1,2,…,n,

    j=1,2,…,n.

    (8)

    ‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t≥t0),

    (9)

    若不然,則一定存在t1>t0使得

    ‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t0

    (10)

    ‖Z(t1)-Y(t1)‖=ε.

    (11)

    此時(shí)可由式(7)、(8)、(10)、(11)得

    (1+λ)ε/2<ε,

    這個(gè)矛盾說明了式(9)是成立的,故系統(tǒng)(4)的概周期解Z(t)是一致穩(wěn)定的.定理1證畢.

    4 應(yīng)用舉例

    考慮如下具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

    (12)

    其中

    b12(t)=0.4sint+i0.2cost,

    τ22(t)=|sin(5t)|/4,

    計(jì)算可得

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