具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解

方聰娜，賓紅華

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

1 預(yù)備知識

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門迅速發(fā)展的交叉學(xué)科，它廣泛應(yīng)用于大規(guī)模集成電路、人工智能、信號處理、神經(jīng)生理學(xué)、圖像識別等領(lǐng)域.在過去的幾十年，許多學(xué)者研究了各類實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)力學(xué)行為，并且取得了豐富的研究成果[1-7].但是，在諸多應(yīng)用領(lǐng)域中實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有一定的局限性，如在電子信息工程領(lǐng)域，人們需要處理復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)，因此，作為實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的推廣，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自然而然地被提出來，而且解決了一些實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能解決的問題[8]，成為了一個(gè)新的研究熱點(diǎn).這些年，一些學(xué)者主要研究了復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)或周期解的存在性、穩(wěn)定性、耗散性等問題[9-13].

我們知道，非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期振蕩是很重要的一種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，概周期解也比周期解更具有一般性，但對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的相關(guān)問題的研究卻寥寥無幾，所以，研究復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值.另一方 面，從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，在研究實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)往往要求神經(jīng)元激活函數(shù)滿足全局Lipschitz條件，顯然這一條件過于苛刻，限制了一些結(jié)論的應(yīng)用.

基于上述研究，本文研究了下列具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

j=1,2,…，n

(1)

的概周期解問題，其中zj(t)∈C表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)；dj(t)>0表示自反饋連接權(quán)重；ajk(t)∈C和bjk(t)∈C表示神經(jīng)元之間的連接權(quán)重；Ij(t)∈C表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的外部輸入；fk∈C和gk∈C表示神經(jīng)元激活函數(shù)；τjk(t)表示傳輸時(shí)滯且滿足0≤τjk(t)≤τ(τ>0為常數(shù)).本文在不要求神經(jīng)元激活函數(shù)滿足全局Lipschitz條件的情況下，利用Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理及指數(shù)型二分性，建立了保證系統(tǒng)(1)存在唯一的一致穩(wěn)定的概周期解的充分條件，同時(shí)也給出了其概周期解的存在范圍，這些結(jié)果都是新的.

2 相關(guān)引理

定義1對于復(fù)值函數(shù)z(t)=zR(t)+izI(t)(zR(t)=Re(z(t)),zI(t)=Im(z(t)))，若zR(t),zI(t)都是概周期函數(shù)，則稱z(t)為概周期函數(shù).

考慮如下概周期實(shí)值系統(tǒng)

x′(t)=A(t)x(t),

(2)

和

x′(t)=A(t)x(t)+k(t),

(3)

這里A(t)是t的概周期矩陣函數(shù)，k(t)是t的概周期向量函數(shù).

定義2[14-15]如果存在投影P和正常數(shù)K,α,β使得系統(tǒng)(2)的基本解矩陣X(t)滿足

‖X(t)PX-1(s)‖≤Ke-α(t-s),(t≥s),

‖X(t)(I-P)X-1(s)‖≤Ke-β(s-t),(s≥t),

則稱系統(tǒng)(2)在R上滿足指數(shù)型二分性.

引理1[14-15]若系統(tǒng)(2)滿足指數(shù)型二分性，則系統(tǒng)(3)存在唯一的概周期解，它可表示為

對于復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)，做如下假設(shè)：

由假設(shè)1)和2)，系統(tǒng)(1)可化為如下實(shí)值系統(tǒng)

j=1,2,…,n,

(4)

因此，對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的概周期解的研究可轉(zhuǎn)化為對實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4)的概周期解的研究.

系統(tǒng)(4)的初始條件為

t0≥0,j=1,2,…,n,

‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t≥t0),

3 主要結(jié)果

對于實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4)，做如下假設(shè)：

這里v∈{R,I},k=1,2,…,n.

j=1,2,…,n,

j=1,2,…,n,

j,k=1,2,…,n,

j=1,2,…,n,

j=1,2,…,n,

j=1,2,…,n.

(5)

由條件(i)及引理1，引理2可知系統(tǒng)(5)存在唯一的概周期解

其中

(6)

因?yàn)閆φ(t)∈Ω，所以現(xiàn)在可定義映射Φ:Ω*→Ω為Φφ=Zφ,下面證明Zφ(t)∈Ω*.

由式(6)及條件(ii)(iii)可得

類似于上述的計(jì)算可得

下面我們證明映射Φ：Ω*→Ω*是一個(gè)壓縮映射.對任意的φ,φ∈Ω*,設(shè)

則

最后證明系統(tǒng)(4)的概周期解Z(t)是一致穩(wěn)定的.

j=1,2,…,n,

(7)

j=1,2,…,n,

j=1,2,…,n.

(8)

‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t≥t0)，

(9)

若不然，則一定存在t1>t0使得

‖Z(t)-Y(t)‖<ε,(t0

(10)

且

‖Z(t1)-Y(t1)‖=ε.

(11)

此時(shí)可由式(7)、(8)、(10)、(11)得

(1+λ)ε/2<ε,

這個(gè)矛盾說明了式(9)是成立的，故系統(tǒng)(4)的概周期解Z(t)是一致穩(wěn)定的.定理1證畢.

4 應(yīng)用舉例

考慮如下具有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(12)

其中

b12(t)=0.4sint+i0.2cost,

τ22(t)=|sin(5t)|/4,

計(jì)算可得