以“算”啟“思”，生長指向數(shù)學思維

郭興華

【摘 要】數(shù)的運算歷年來是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，培養(yǎng)和發(fā)展運算能力一直是小學數(shù)學教學的主要目標之一。整數(shù)除法筆算是小學階段數(shù)的運算中的一大難點，為了克服這一難點，筆者對比多種版本教材的編排，解析整數(shù)除法筆算的意義理解，并結(jié)合“首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”的教學實踐探索出促進學生學習整數(shù)除法筆算的教學策略，推動學生數(shù)學思維的積極發(fā)展。

【關鍵詞】除法筆算 教學策略 數(shù)學思維

數(shù)的運算教學，主要包括口算、筆算、估算和簡算的教學。而筆算是以口算為基礎的復合運算，它作為計算教學的一個內(nèi)容，不只是滿足于學生發(fā)現(xiàn)算法、理解算理，更重要的是使學生愿思維、會思考。在立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的今天，有結(jié)構、有系統(tǒng)、有目標地進行筆算教學，是培養(yǎng)學生運算能力素養(yǎng)的重要途徑。但在實際教學中，普遍存在著“重算法，輕算理;重計算，輕思維”等實際問題。本文將主要對小學階段整數(shù)除法筆算中的“首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”進行研究，深入挖掘除法筆算教學這一領域所蘊含的內(nèi)涵以及思維價值。

一、整數(shù)除法筆算的運算意義

進入21世紀，“數(shù)學課程標準（實驗稿）”把運算作為學生必須具備的數(shù)學應用技能之一，在課程目標中明確要求學生“掌握必要的運算技能”。而《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》更是進一步加強了數(shù)的運算地位，目標更加明確具體，內(nèi)容結(jié)構更加完善，明確指出“應當注重發(fā)展學生的運算能力”。運算能力的形成是建立在對運算對象的理解，對運算法則和運算律的理解、掌握與運用，以及對運算價值的體會的基礎上，其表征是正確地進行計算。運算能力的培養(yǎng)有助于學生理解運算的算理，發(fā)展思維能力。

整數(shù)除法筆算作為整數(shù)四則運算之一，它的運算意義不僅僅是讓學生掌握除法豎式計算的格式，更重要的是讓學生經(jīng)歷主動建構算法的過程，提升運算能力。在學習整數(shù)除法筆算之前，學生已經(jīng)有了口算表內(nèi)乘除法的知識經(jīng)驗和方法經(jīng)驗，這些計算經(jīng)驗都為整數(shù)除法筆算的學習做好了鋪墊。當學生無法利用原有計算經(jīng)驗解決問題時，就會產(chǎn)生尋求新的計算方法的需求。整數(shù)除法筆算的教學過程其實就是理解算理、構建算法的過程，起到幫助學生調(diào)度經(jīng)驗、啟發(fā)思維的作用。

二、整數(shù)除法筆算的編排特點

（一）蘇教版教材整數(shù)除法筆算教學的編排體系

筆算教學貫穿于整個小學數(shù)學教學的始終，它的重要性不言而喻。而整數(shù)除法筆算主要集中在低中年級。在蘇教版數(shù)學二年級下冊中，第一次安排“有余數(shù)的除法筆算”;隨后在蘇教版數(shù)學三年級上冊中，安排了“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”;最后在蘇教版數(shù)學四年級上冊中，則安排了“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算”。可以看出“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”在整數(shù)除法運算中具有重要的承上啟下的作用，它不僅是表內(nèi)除法的自然延伸，同時也是除數(shù)是兩位數(shù)乃至更多位數(shù)除法的基礎。

（二）不同版本教材的編寫對比

1.與人教版教材相比

人教版教材在教學除法筆算時，先通過例題教學首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)（42÷2）的筆算，然后通過例題教學首位不能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)（52÷2）的筆算，最后通過例題再教學三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算。蘇教版教材在基本計算方法的教學中，則先通過例題教學首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)（46÷2）的筆算，再通過隨后的“試一試”教學首位能整除的三位數(shù)除以一位數(shù)（246÷2）的筆算，最后再通過例題教學首位不能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)（52÷2）的筆算。不難看出，蘇教版教材這樣安排更有利于學生實現(xiàn)自主遷移，將已有的計算經(jīng)驗遷移到新知的學習中去，并逐步形成合理的認知結(jié)構，從而為學生進行探索性學習以及習得新的思維技能提供更多機會。

2.與舊版（實驗版）教材相比

舊版教材在本單元的第一課時主要教學首位能夠整除的整十數(shù)除以一位數(shù)的口算，以及首位能夠整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算。首先，列出算式“40÷2”解決第一個問題，讓學生理解基本算理，掌握首位能夠整除的整十數(shù)除以一位數(shù)的口算方法，為學生進一步探索首位能夠整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的計算方法打好基礎。然后再列出算式“46÷2”解決第二個問題，讓學生掌握首位能夠整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的計算方法，理解豎式計算的基本原理和程序。而新教材把上述內(nèi)容安排了兩課時進行教學，第一課時先教學整十、整百數(shù)除以一位數(shù)的口算，讓學生打好基礎，初步掌握算理和算法，然后在第二課時再教學首位或首兩位都能整除的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算。不難看出，新教材這樣安排不僅合理分解了教學目標，分散了教學難點，降低了學生學習的難度，而且給予學生充分的探索空間，幫助學生搭建思維階梯。

三、指向數(shù)學思維生長下整數(shù)除法筆算的教學策略

（一）創(chuàng)設開放性問題情境

創(chuàng)設開放的問題情境，其核心意義在于引導學生以問題解決為任務驅(qū)動，激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力并進行數(shù)學思考，同時引發(fā)學生的認知沖突，形成指向數(shù)學思維生長的動因。

以蘇教版教材中“首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”為例，教材中以10個羽毛球為一筒的4筒羽毛球和6個單個的羽毛球為題材創(chuàng)設了具體的問題情境，并提出問題：“平均分給2個班，每班分得多少個？”呈現(xiàn)了需要用兩位數(shù)除以一位數(shù)計算的實際問題。教師在課堂教學中引領學生列出除法算式后，讓學生利用已有除法運算的知識和經(jīng)驗嘗試算出得數(shù)。當學生利用現(xiàn)有知識和經(jīng)驗無法解決問題時，就產(chǎn)生了認知沖突，于是數(shù)學思維就產(chǎn)生了動因。此時，教師要借助情境的設置，用小棒代替羽毛球，在真實的情境中分小棒，帶動有條理的思考，幫助學生理解兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理與算法。所以，創(chuàng)設相對真實的問題情境，不但有助于喚醒學生已有的生活經(jīng)驗，而且有助于學生的數(shù)學思維在認知沖突中開始萌芽。

（二）設計挑戰(zhàn)性學習任務

在數(shù)學思維課堂教學中，要想培養(yǎng)學生自主解決問題的能力，設計挑戰(zhàn)性學習任務無疑是學生學習數(shù)學的助燃劑。它可以促使學生嘗試用現(xiàn)有知識和經(jīng)驗去解決有難度的問題，讓學生的數(shù)學思維看得見。思維可視化是指向數(shù)學思維生長的基礎。

在“首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”這節(jié)課中，當學生列出除法算式“46÷2”后，如果教師只是要求學生嘗試列豎式計算出得數(shù)，那么這樣的教學設計顯然就束縛了學生的思維，不僅不利于學生體驗解決問題方法的多樣性，而且也不利于學生自主探索、合作交流等能力的培養(yǎng)。因此，教師可以設計這樣的學習任務：（1）想一想：你打算用什么方法算出得數(shù)？如果需要的話，可以和組內(nèi)同學交流討論。（2）試一試：用你想到的辦法嘗試算出得數(shù)。（3）說一說：把你的想法在組內(nèi)和其他同學交流一下。當學生面對這樣一個富有挑戰(zhàn)性的學習任務后，教師沒有給予任何有關分析和思考問題的方法提示，而是放手讓學生動腦、動手操作，使學生的思維得到真正的磨礪。這樣的學習任務讓我們清晰地看到學生在自主探索與合作交流基礎上的真實、豐富的思維過程和思維成果，有效地促進了學生思維能力的提升。

（三）引導可視性思維表達

思維表達能力是學習能力的體現(xiàn)和反映。在數(shù)學思維課堂教學中，教師要引導學生通過可視化的思維表達，激活知識，將知識真正轉(zhuǎn)化、升華為能力，實現(xiàn)從掌握知識和能力到培養(yǎng)思維品質(zhì)和提升思維能力的轉(zhuǎn)向，這是指向數(shù)學思維生長的關鍵。

1.自主探索，呈現(xiàn)學生思維過程

在“首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”這節(jié)課中，教師在提出挑戰(zhàn)性學習任務后，讓學生想一想、試一試并說一說，用自己想到的方法來嘗試算出算式“46÷2”的得數(shù)。通過這些活動，引導學生積極動腦、獨立思考、自主探索，進而呈現(xiàn)出學生的思維過程，思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性在過程中不斷地被提升，學生的學習逐漸從表層學習走向深度學習。

2.互動交流，展現(xiàn)學生思維方法

當學生用自己的方法算出得數(shù)后，教師可以進行結(jié)構素材資源的捕捉，為接下來的互動交流、質(zhì)疑思辨埋下伏筆。有的學生會通過擺小棒尋找到分法，借助擺小棒的結(jié)果找到答案;有的學生會聯(lián)系生活經(jīng)驗，想到可以先把4筒羽毛球平均分成2份，每份2筒，再把6個羽毛球平均分成2份，每份3個，合起來是23個;有的學生會利用知識經(jīng)驗將操作過程抽象成分步計算，即先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后算20+3=23;還有的學生是通過列豎式算出得數(shù)。此時要引導學生比較不同的方法之間有沒有共同點，讓學生來進行評價，幫助學生從不同中找相同，在對比中層層深入。這樣學生既明晰了不同的思維方法，又領會到了不同方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，讓思維敞亮。

（四）組織系統(tǒng)性回顧反思

數(shù)學思維經(jīng)驗的積累是一個循序漸進的過程，學生在數(shù)學活動中的自我反思，對于提升和豐富數(shù)學思維經(jīng)驗是十分必要的。因此在課堂教學中，教師要組織學生對參與了的數(shù)學活動進行回顧與反思，反思自己思考了哪些問題，運用了哪些思維方法，有什么好的經(jīng)驗，進而從中回味思路，自我領悟，形成指向數(shù)學思維生長的保障。

在進行全課總結(jié)時，教師可以提問學生：“今天這節(jié)課我們學習了首位能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)，你是怎樣思考的？又是怎樣去研究的？筆算的過程為什么要分兩步除？筆算時還要注意什么？”然后讓學生在充分獨立思考、相互交流后進行回顧與反思，促使學生系統(tǒng)化、結(jié)構化地梳理知識，防止知識以及思維點狀化。同時鼓勵學生完整表述自己的觀點，以幫助學生完善認知結(jié)構，促使思維“清晰化”，讓較低級的數(shù)學思維經(jīng)驗上升到一個更高的水平，并逐步生成新的數(shù)學思維經(jīng)驗。

綜上，在整數(shù)除法筆算的教學中，教師不僅要重視學生對算理的理解和算法的掌握程度，更要進一步抓住思維的提升點，讓學生在深度思考的過程中積累數(shù)學思維經(jīng)驗，使整數(shù)除法筆算教學不僅成為提升學生運算能力的重要途徑，更是開啟學生思維發(fā)展的一把“金鑰匙”。

【參考文獻】

[1]王林.小學數(shù)學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[2]潘小福.小學數(shù)學教材的專業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

注：本文系江蘇省中小學教學研究2017年度第十二期課題“城郊接合部小規(guī)模學校小學數(shù)學學習的困難及對策研究”（編號：2017JK12L077）的階段性研究成果。