數(shù)學文化視域下數(shù)學教學設計及思考

陳一葉

【摘 要】從歷史的視角來看，人類創(chuàng)造的各種數(shù)學知識，究其本質(zhì)，就是一個廣泛的蘊含數(shù)學文化的知識體系。如何在小學數(shù)學設計中滲透數(shù)學文化，使學生不僅掌握數(shù)學知識，更能深刻領悟知識背后的思想和方法。教學設計要把握好三個策略：一是透視知識，充分發(fā)掘知識的文化內(nèi)涵;二是厘清知識脈絡，并將數(shù)學知識的相關歷史融入數(shù)學教學中;三是讓學生充分經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造過程，并在其中感悟知識的文化內(nèi)涵。

【關鍵詞】數(shù)學文化 教學設計 教學策略

從歷史的視角來看，人類創(chuàng)造的各種數(shù)學知識，究其本質(zhì)，就是一個廣泛的蘊含數(shù)學文化的知識體系。數(shù)學知識是人類以抽象的方式去把握世界客觀規(guī)律的結(jié)果。這一過程體現(xiàn)人類的智慧與理性，蘊含著數(shù)學知識從產(chǎn)生到發(fā)展的整個過程中人類的主動性與創(chuàng)造性。因此，數(shù)學符號作為數(shù)學知識的載體，蘊含著豐富的文化特征。數(shù)學教學中，學生如果忽略知識的文化背景，僅僅記憶一些數(shù)學知識，不僅不能感悟內(nèi)蘊于知識之中的文化內(nèi)涵，也必定不能深刻理解知識的本質(zhì)。

一、數(shù)學教學設計中滲透數(shù)學文化的基本策略

數(shù)學教學設計是教師對數(shù)學教學活動的預先規(guī)劃，對學生已有知識經(jīng)驗情況的預判。教學設計是上好課的前提條件。如何在數(shù)學教學設計中進行有效的數(shù)學文化滲透？筆者以為，首先在設計時要發(fā)掘數(shù)學知識的文化內(nèi)涵;其次要設計好數(shù)學知識的情境脈絡;最后要讓學生在知識的境脈中領悟知識的文化內(nèi)涵。

（一）透視知識，發(fā)掘文化內(nèi)涵

數(shù)學知識不是數(shù)學符號的堆積，數(shù)學學習也不單純是對數(shù)學概念、定理和公式的記憶。但實際教學呈現(xiàn)給師生的往往是靜態(tài)的知識結(jié)構，這些結(jié)構掩蓋了知識長期而曲折的形成和發(fā)展過程，這個過程包括了人類在探索知識過程中的精神、數(shù)學知識背后所體現(xiàn)的思想方法及數(shù)學知識對人們生活的影響等。因此，從文化的視角來探尋數(shù)學知識的發(fā)展，對于數(shù)學教學有十分重要的意義。

用文化的視角來理解數(shù)學知識，關鍵要發(fā)掘相關知識的數(shù)學文化史?？巳R因認為：歷史是教學的指南。弗賴登塔爾曾說過：“兒童應該重蹈歷史，盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史?！?/p>

以圓為例。圓是基本的平面圖形，看似簡單卻蘊含了極其豐富的內(nèi)涵。從歷史上看，人類對圓的認識是從圓的應用開始而逐步深入的，其中包括許多重大的發(fā)現(xiàn)，如圓周率、割圓術等。大約一萬八千年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再從另一面鉆。石器的尖是圓心，它寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個圓形的孔。

6000年前，半坡人就已經(jīng)會造圓形的房頂了。古人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來他們在搬運重物時，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省力得多。如古代金字塔的建造，古埃及人可能就是利用在巨石上裝上圓輪將巨石拉上坡的。大約在6000多年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子——圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車輛。

人類在生活生產(chǎn)中對圓的廣泛應用，實際是自覺和不自覺地在應用圓的許多特性，如許多瓷器都制成圓形，是因為同樣大的容積，圓形瓷器是最小的，而且相對容易制作。在2000多年前，我國的墨子給出了圓的定義：“一中同長也。”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義抽象出了圓最本質(zhì)的屬性，也可以理解為古人在大量實踐的基礎上逐漸形成了對圓的理性認識。

圓周率的發(fā)現(xiàn)可以說是人類認識圓的一個里程碑。據(jù)史料記載，古代許多偉大的思想家曾致力于尋求圓周率的精確值。在眾多對圓周率的探尋者中，阿基米德是第一個通過計算方法而不是測量方法得到圓周率的人。他發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)增加時，這個正多邊形的形狀就越來越接近圓，根據(jù)這個思路，圓就相當于一個由許多極其短的邊構成的正多邊形，這個想法提供了計算圓周率的新途徑（見圖1）。如果把正六邊形看作近似的圓，通過內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形可算得，圓周率是3<π<3.46，當正多邊形邊數(shù)增加到96時，就可得到3.1408<π<3.1429。我們可以發(fā)現(xiàn)，通過這種方法，當正多邊形邊數(shù)越多，算得的圓周率就越精確。

在這之后，劉徽的“割圓術”也是充分利用了內(nèi)接正多邊形計算出圓周率和圓面積。所謂“割圓術”，就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”。可見，人類在對圓逐步深入地認識的過程中，首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學證明，成為數(shù)學史中不朽的篇章。

發(fā)掘知識的數(shù)學史是滲透數(shù)學文化的前提，圓豐富的數(shù)學文化內(nèi)涵，不僅揭示了圓的相關知識的形成，更為實際的教學指明了方向。

（二）厘清脈絡，實現(xiàn)有效融合

對內(nèi)蘊于知識中的文化內(nèi)涵的感悟，必須建立在學習者對相關知識的境脈的深刻理解的基礎上。要讓學生深刻理解知識的境脈，教師的教學設計就必須把握好兩個方面：一是厘清知識的來龍去脈，明晰知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程;二是要根據(jù)知識脈絡進行有效的設計，使之成為適合學生學習的材料。

如何有效地設計，教師要關注三個方面：一是兒童的已有知識經(jīng)驗，如學習圓的認識，學生的已有知識是對由線段圍成的平面圖形的認識，經(jīng)驗是生活中觀察到的圓形物體;二是要關注兒童的生活，要將數(shù)學知識鑲嵌在學生熟悉的生活情境中;三是要關注數(shù)學知識的歷史，情境的設計要圍繞相關的數(shù)學史組成知識結(jié)構，使數(shù)學情境充盈著文化的積淀和歷史脈絡，為學生提供一種浸潤式的數(shù)學學習場域。圖2就是筆者在圓的認識的教學設計中的一種嘗試。

（三）經(jīng)歷過程，感悟文化內(nèi)涵

文化意義上的數(shù)學觀以包容、多元和整體的視角重新審視學生的數(shù)學學習。上面提到數(shù)學文化要通過感悟獲得，而要有感悟，就必須親歷過程，具體地說就是要經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程。弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學是系統(tǒng)化了的常識?！睌?shù)學設計通過情境引入學習活動，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋和應用的過程。在這種深切關注學生生命體驗的“再創(chuàng)造”過程中要注意三個方面的問題：一是正確對待差異，學生由于生活背景、知識經(jīng)驗及學習方式存在差異，他們對知識的探索、理解和領悟也會存在差異，教學中教師要用多元和寬容的眼光鼓勵學生個性化地學習;二是及時把握動態(tài)，學生對知識的探索和感悟是一個動態(tài)的過程，教師的教學要根據(jù)學生的動態(tài)變化及時調(diào)整和改進;三是關注多元表征，數(shù)學學習過程中對數(shù)學文化的領悟往往只能意會而不能言傳，這種理解和感悟往往可以通過不同的方式進行表征，肢體的、藝術的、言語的等，教師要關注每一個學生在數(shù)學學習中的各種反應。

二、“圓的認識”教學設計及思考

有關圓的知識歷來都是小學數(shù)學教材中“圖形與幾何”領域非常重要的內(nèi)容。從相關資料發(fā)現(xiàn)，對圓的認識，很多國家（包括我國）的數(shù)學課程標準都是這樣安排的：一、二年級直觀認識圓，三、四年級教學圓的特征，五、六年級教學圓的周長和面積。這是比較符合兒童的年齡特征和認知規(guī)律的。但如果從數(shù)學文化的層面，我們在教學“圓的認識”時應該有不同的意蘊。

（一）創(chuàng)設情境，初步感知

出示正方形花園，思考從哪一點走向四個角的距離相等？

操作：學生自己用正方形紙畫一畫。

出示正八邊形，想想這樣的路有幾條？正十六邊形呢？

想一想：這樣一直下去會是一個什么圖形，會有這樣的多少條路。

學生交流，揭示課題：圓的認識。

（二）動手操作，探究畫圓

我們已經(jīng)能想象出這樣一個圖形了，你能把它畫出來么？比比看誰畫得最好。學生畫完后全班進行交流，展示畫得比較好的圓，并說說你是如何畫的。

同學們剛才畫了這樣的圖形，能保證從中心點到邊上的距離都相等嗎？

小組討論：怎么畫才能確保中心點到各頂點的距離相等？

用圓規(guī)畫圓的同學介紹一次畫法后，其他同學學著用圓規(guī)畫一個圓。

設計意圖：這樣的設計不是簡單地教學生用圓規(guī)畫圓的技能，而是通過正多邊形的邊數(shù)無限增加，逐步逼近圓形，讓學生思考如何確保中心點到頂點距離一直保持不變，這實際就是圓規(guī)畫圓的本質(zhì)。

（三）自主探究，合作交流

1.認識圓心、半徑、直徑

出示正方形和圓，小組討論：比較它們的相同點和不同點。

相同點：都有一個中心點（圓的中心點為圓心），都是軸對稱圖形。

不同點：正方形是線段組成的，圓是曲線圖形;正方形的中心到四個頂點距離相等，圓的圓心到邊上的距離都相等;正方形有4條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

圓心到圓周上的距離就是圓的半徑r。

通過圓心，兩端都在圓周上的線段叫直徑d。

同一個圓，直徑是半徑的兩倍d=2r。

2.做一做

學生在自己畫的圓上分別畫出一條半徑和直徑，并標上相應的字母。

通過畫直徑和半徑，及時鞏固了所學的知識。

（四）教學思考

根據(jù)以上教學，我們可以體會到，融入數(shù)學史的教學設計，有三個基本特征：一是更準確地把握數(shù)學知識的本質(zhì);二是教和學的過程實現(xiàn)了“再創(chuàng)造”;三是教學目標指向深層次理解。

當然，基于數(shù)學文化視域的數(shù)學教學與新課標提倡的教學方式是完全吻合的，從知識目標上說，數(shù)學文化可以幫助學生理解數(shù)學;從過程與方法目標上說，數(shù)學文化提供了豐富的問題解決方法，可以拓寬學生的思維;從情感、態(tài)度和價值觀的目標上說，數(shù)學文化可以提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的學習動機，使數(shù)學變得更親和、 更令人愉悅、更激動人心，揭示出數(shù)學作為人類文化活動的本質(zhì)。