倍的認(rèn)識(shí)：用“幾個(gè)幾”的視角看世界

周曉林

【摘 要】“倍的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵課，具有重要的研究意義和研究價(jià)值。本文基于關(guān)鍵問題進(jìn)行教材研讀，通過教材脈絡(luò)的梳理和分析比較，確定了以“倍的認(rèn)識(shí)”構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵問題是“如何用‘幾個(gè)幾的視角去構(gòu)建兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系”，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)關(guān)鍵問題進(jìn)行破解，構(gòu)建課堂教學(xué)的基本框架。

【關(guān)鍵詞】倍的認(rèn)識(shí) 幾個(gè)幾 關(guān)鍵問題

“倍的認(rèn)識(shí)”作為一節(jié)典型課，小學(xué)數(shù)學(xué)教師都很熟悉。這節(jié)課之所以重要，是因?yàn)樗菍W(xué)生構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和關(guān)鍵課。在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是加法結(jié)構(gòu)，是數(shù)量的合并與分解、多與少的比較，未曾學(xué)習(xí)兩個(gè)量之間的比例關(guān)系。學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)“乘法初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)上還是數(shù)量的合并，是同一類量的“等合”，也就是“等量組的聚”，并沒有涉及兩個(gè)量之間的比例關(guān)系的研究。

對(duì)兩個(gè)量或多個(gè)量之間的比例關(guān)系問題的真正理解需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起乘法結(jié)構(gòu)，而“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的伊始，因此“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課具有非常重要的研究意義和研究價(jià)值。

一、教材研讀，理脈絡(luò)

教材首先出示的是一幅主題圖（如圖1），讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，可以看到圖中有兔子和蘿卜，再進(jìn)一步，可以觀察到兔子中有不同數(shù)量的灰兔、白兔和黑兔，蘿卜中也有不同數(shù)量的白蘿卜、胡蘿卜和紅蘿卜。

根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以進(jìn)行梳理和歸類，把兔子和蘿卜進(jìn)行分門別類，記錄各自品類的數(shù)量：

蘿卜：胡蘿卜2根、紅蘿卜6根、白蘿卜10根。

兔子：小黑兔1只，小灰兔2只，小白兔3只。

從這份材料里，學(xué)生可以進(jìn)行合計(jì)，計(jì)算出蘿卜和兔子的總數(shù)量，或者進(jìn)行比較，計(jì)算彼此之間的數(shù)量差，這些都是學(xué)生已有的關(guān)于“加法結(jié)構(gòu)”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

乘法結(jié)構(gòu)則是一個(gè)概念體系，涉及乘法與除法，以及與之相關(guān)的倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運(yùn)算律，甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。學(xué)生已經(jīng)具備了乘法和除法的相關(guān)知識(shí)，有了比較兩個(gè)量的比例關(guān)系的知識(shí)和能力基礎(chǔ)。教材隨之出現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料（如圖2）就是在引導(dǎo)學(xué)生探究用“乘法結(jié)構(gòu)”來構(gòu)建兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

“胡蘿卜有2根，紅蘿卜有3個(gè)2根，我們說紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍?！苯滩囊耘e例的方式讓學(xué)生明白“3個(gè)2根”就是3倍。然后讓學(xué)生自己照樣子去描述白蘿卜和胡蘿卜的關(guān)系（如圖3）。

從上面兩份材料，我們可以看出“倍的認(rèn)識(shí)”作為學(xué)生構(gòu)建“乘法結(jié)構(gòu)”的起始課，其知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)是“幾個(gè)幾”。學(xué)生在學(xué)習(xí)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，已經(jīng)感受到了“幾個(gè)幾”這樣的結(jié)構(gòu)。

圖4是“乘法的初步認(rèn)識(shí)”一課，教材中的一幅配圖，對(duì)比圖2與圖4我們可以很清楚地發(fā)現(xiàn)兩者的不同：“乘法的初步認(rèn)識(shí)”是基于同一類東西的“等合”;“倍的認(rèn)識(shí)”是兩個(gè)量之間的比例關(guān)系。我們?cè)谟?jì)算小火車上小朋友的總數(shù)和比較胡蘿卜、紅蘿卜兩者關(guān)系時(shí)，視角都是“幾個(gè)幾”。但是計(jì)算小朋友的總數(shù)時(shí)，“幾個(gè)幾”可以隨著數(shù)數(shù)方式的不同而有變化;比較胡蘿卜、紅蘿卜兩者關(guān)系時(shí)，“幾個(gè)幾”則相對(duì)固定，以胡蘿卜的數(shù)量2根為標(biāo)準(zhǔn)去度量紅蘿卜的數(shù)量，得出有幾個(gè)2根。

二、厘清脈絡(luò)，找關(guān)鍵

從前面教材脈絡(luò)的梳理和分析比較中，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是用“幾個(gè)幾”的視角去對(duì)比兩個(gè)量之間的關(guān)系。因此，這節(jié)課的關(guān)鍵問題是“如何用‘幾個(gè)幾的視角去構(gòu)建兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系”。

用“幾個(gè)幾”的視角去觀察兩個(gè)量，構(gòu)建兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，就需要找到標(biāo)準(zhǔn)量，也就是以什么量為標(biāo)準(zhǔn)去刻畫和度量另一個(gè)量，這本質(zhì)上和度量物體是一致的，具有相同的結(jié)構(gòu)。

有了這種度量的意識(shí)和視角，除了整數(shù)倍之外，相應(yīng)的幾倍多幾和幾倍少幾都可以蘊(yùn)含其中，與學(xué)生已有的度量經(jīng)驗(yàn)和思想方法溝通融合。

梳理相關(guān)“倍的認(rèn)識(shí)”的課例，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師在上課的時(shí)候，著重讓學(xué)生觀察兩個(gè)量，思考兩個(gè)量之間有怎樣的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生說出了“甲是乙的2倍”后，立刻設(shè)置學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生用自己的方式去表達(dá)為什么是2倍，描述2倍在哪里。例如，“畫一幅圖表示：△的個(gè)數(shù)是□的2倍?！?/p>

這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)可以讓學(xué)生體會(huì)到兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，但是缺乏生長性，會(huì)局限于具體的兩個(gè)量，難以將知識(shí)遷移，難以去理解其他的各種各樣的量的關(guān)系，這也是學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的根源所在。

我們都知道，要建立“倍”的概念，其關(guān)鍵是讓學(xué)生體會(huì)“關(guān)系”與“標(biāo)準(zhǔn)”的意義。那么如何讓學(xué)生體會(huì)這種標(biāo)準(zhǔn)的構(gòu)建呢？如何基于關(guān)鍵問題引導(dǎo)學(xué)生建立和體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)呢？

三、基于關(guān)鍵，研學(xué)情

那么，基于這樣的關(guān)鍵問題，學(xué)生自主構(gòu)建兩個(gè)量之間的關(guān)系時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們就此展開了學(xué)生的學(xué)情研究，設(shè)計(jì)了如圖5所示的學(xué)情研究單。

胡蘿卜的根數(shù)可以直接用數(shù)2來表示，紅蘿卜的根數(shù)當(dāng)然也可以用數(shù)6來表示，學(xué)習(xí)活動(dòng)提出的要求是不直接用數(shù)來表示，你會(huì)怎么說紅蘿卜的根數(shù)呢？那么學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)怎樣的描述呢？我們來看學(xué)生的表現(xiàn)：

（1）用乘法：3×2=6，2×3=6，或1×6=6。

（2）用描述：2根分一組，2×3=6;左邊3根，右邊3根。

（3）畫圖表達(dá)：和畫的圖一樣多○○○○○○、△△△△△△。

（4）圈一圈：兩個(gè)圈一組，圈3組。

（5）加法表示：3+3=6，2+2+2=6。

（6）和胡蘿卜聯(lián)系：比胡蘿卜多4根。

（7）用倍表達(dá)：紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍，胡蘿卜=1包，紅蘿卜=3包，1包=2根，2+2+2=6根。

下面是學(xué)生的兩份學(xué)習(xí)作品（如圖6和圖7）：

可以看出，上面的兩個(gè)學(xué)生都能基于“2根”的視角去看紅蘿卜的數(shù)量，圖6所示的作品是加法結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)：2+4=6（根）。當(dāng)然也有2+2+2=6（根）和1+1+1+1+1+1=6（根）兩種形式，凸顯了“等量組的聚”的特征。

圖7所示的作品呈現(xiàn)了乘法結(jié)構(gòu)的特征：2個(gè)一組圈在一起，圈了3組，恰好是2×3=6;他還畫圖表示出3個(gè)一組和2個(gè)一組的不同方式來描述紅蘿卜的根數(shù)。

通過學(xué)情研究，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠用加法、乘法、圈一圈、畫一畫等方式來描述紅蘿卜的根數(shù)，但是沒有凸顯基于胡蘿卜的根數(shù)去表達(dá)紅蘿卜的根數(shù)。學(xué)習(xí)活動(dòng)的任務(wù)不能很好地驅(qū)動(dòng)學(xué)生去自主構(gòu)建兩個(gè)量之間的內(nèi)在的乘法結(jié)構(gòu)。

四、基于關(guān)鍵，設(shè)活動(dòng)

基于關(guān)鍵問題“如何用‘幾個(gè)幾的視角去構(gòu)建兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系”和前面的學(xué)情研究，為了凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中要基于一個(gè)量去構(gòu)建和另一個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖8所示的學(xué)習(xí)活動(dòng)單。

學(xué)習(xí)活動(dòng)采用了度量的形式，驅(qū)動(dòng)學(xué)生用“□□”去度量○的個(gè)數(shù)。兩個(gè)□在這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中組成了一把尺子，一把用來度量○個(gè)數(shù)的尺子。那么，學(xué)生對(duì)于度量結(jié)果會(huì)有怎樣的表達(dá)和描述呢？我們來看看學(xué)生的作品。

第一類作品（如圖9和圖10）：

圖9清楚地表示出從量2塊，到4塊，再到6塊的過程，用分隔線和類似線段圖的方式表示量了3次，所以就有了對(duì)應(yīng)的算式：2×3=6（塊）和2+2+2=6（塊）。

圖10則有所區(qū)別，它更突出地表達(dá)了度量的次數(shù)“一次、二次、三次”，所以就會(huì)得到度量結(jié)果“3個(gè)2”。

第二類作品（如圖11和12）：

上面兩幅圖生動(dòng)地再現(xiàn)了用2個(gè)□去度量6個(gè)○的過程，2個(gè)2個(gè)地量，量了3次，所以有這樣的3組，有2×3=6。

第三類作品（如圖13和圖14）：

和前面的有所不同，這兩幅圖用對(duì)應(yīng)的方式表示○里有“3組相應(yīng)的2”，把2個(gè)□和2個(gè)○一一對(duì)應(yīng)去描述。

第四類作品（如圖15和圖16）：

這兩幅圖相對(duì)更為簡(jiǎn)潔，圖15用箭頭的方式表示量了3次，所以下面的○被圈成了3組。圖16則省略了這一過程，直接用圈一圈的方式表示度量的結(jié)果。

從學(xué)生的這些作品來看，因?yàn)椤岸攘俊钡娜蝿?wù)驅(qū)動(dòng)，量了3次，分了3組，有三個(gè)一一對(duì)應(yīng)的量，給學(xué)生留下了深刻的印象，他們都在用自己的方式去表達(dá)和描述“3個(gè)2”，這為接下來“倍的意義”的學(xué)習(xí)做好了充分的準(zhǔn)備。

五、梳理素材，設(shè)教學(xué)

根據(jù)基于關(guān)鍵問題的教材研讀和學(xué)生研究，在充分解讀學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)成果的基礎(chǔ)上，我們可以設(shè)計(jì)基于關(guān)鍵問題破解的教學(xué)方案，構(gòu)建課堂教學(xué)的框架。

面對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中展示的素材，我們?cè)谶M(jìn)行梳理和分析后，可以借助這些素材，組織學(xué)生分類、辨析和評(píng)價(jià)，在分析和比較中感受“你能用‘□□去‘量一量○的個(gè)數(shù)嗎”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的價(jià)值。

（一）問題引入

1.出示：□□

看到了什么？你能用一個(gè)數(shù)來表示□的個(gè)數(shù)嗎？

2.出示：○○○○○○

看到了什么？我們不直接用數(shù)來表示○的個(gè)數(shù)，如果把“□□”看成一把尺，你能用它來“量一量”○的個(gè)數(shù)嗎？

（二）學(xué)生活動(dòng)

1.出示學(xué)習(xí)活動(dòng)單（見圖8）：用你自己喜歡的方式表示你的度量結(jié)果。

2.學(xué)習(xí)活動(dòng)作品的分享和交流：思考他人是怎么度量的，是怎么表示度量結(jié)果的。

3.小結(jié)：這些作品度量的結(jié)果有什么共同特點(diǎn)？

（都表示出了○中有3個(gè)2）

（三）揭示概念

1.引出概念：通過剛才的學(xué)習(xí)活動(dòng)，我們知道了□有2個(gè)，○有這樣的3組2個(gè)，我們就可以說○的個(gè)數(shù)是2個(gè)的3倍。

2.想一想，“2個(gè)的3倍”還可以怎么說？

引出：正方形的3倍;圓形是正方形的3倍。

3.你能照樣子說一說□和△的關(guān)系嗎？

□? □

△? △? △ △? △ △? △ △? △ △

引導(dǎo)得出：5組2個(gè);2個(gè)的5倍，正方形的5倍，三角形是正方形的5倍。

4.概括總結(jié)：像這樣的圓形有3個(gè)2，三角形有5個(gè)2，我們就說圓形是正方形的3倍，三角形是正方形的5倍。我們一起來說一說。

引出：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——倍的認(rèn)識(shí)。

（四）練一練

1.圈一圈，填一填。

第二行的個(gè)數(shù)是第一行個(gè)數(shù)的（? ? ? ）倍。

第三行的個(gè)數(shù)是第一行個(gè)數(shù)的（? ? ? ）倍。

2.把原來的2個(gè)□變成3個(gè)□。

現(xiàn)在圓形是正方形的（? ? ?）倍。

3.畫一畫，填一填。

在學(xué)生以“幾個(gè)幾”的視角去觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言來描述世界，用數(shù)學(xué)模型來構(gòu)建2個(gè)□和6個(gè)○之間的關(guān)系，凸顯2×3的乘法結(jié)構(gòu)和“3個(gè)2”的圖示形式。當(dāng)學(xué)生明晰了概念，我們就可以讓學(xué)生用“倍”的結(jié)構(gòu)和方式去觀察學(xué)習(xí)素材，去表達(dá)自己看到的數(shù)學(xué)世界。至于如何用算式來描述和表達(dá)兩者的關(guān)系，這就是下一節(jié)課需要研究的內(nèi)容了。

總之，我們?cè)趯?duì)教材的梳理和研讀中尋找構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)，基于“倍”的概念的建立設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，以關(guān)鍵問題為切入口引領(lǐng)和組織學(xué)生展開自主探索、互動(dòng)交流和匯報(bào)討論，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中感受用數(shù)學(xué)的語言描述生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和思考世界。