Banach空間中阻尼彈性系統(tǒng)正mild解的存在性

王倩倩

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

對阻尼彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究, 是結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點之一, 這不僅是因為它具有較高的理論價值, 而且還有著廣闊的應(yīng)用背景. 例如, 振動改進和控制在維持高性能與生產(chǎn)效率, 延長工業(yè)機械有效壽命方面起著關(guān)鍵性的作用. 自1982年以來, 國內(nèi)外許多學(xué)者對具有阻尼的彈性系統(tǒng)

u″(t)+Bu′(t)+Au(t)=0，

(1)

在Hilbert空間H中進行了卓有成效的研究, 就該系統(tǒng)相應(yīng)解半群的可微性、解析性及該系統(tǒng)的譜性質(zhì)獲得了一系列重要結(jié)果(見文獻[1-5]).

近年來, 文獻[6—9]在Banach空間框架下利用算子半群理論和不動點理論等工具, 研究了初值問題(1)相應(yīng)解半群的解析性與指數(shù)穩(wěn)定性、mild解的存在唯一性及全局mild解的漸近行為. 據(jù)我們所知, 鮮有文獻利用錐上的不動點定理研究初值問題(1)正mild解的存在性. 因此, 本文的結(jié)論在一定意義上豐富了阻尼彈性系統(tǒng)已有的工作.

(2)

正mild解的存在性, 其中ρ≥2是阻尼系數(shù),A:D(A)?X→X是閉線性算子, -A生成X上的C0-半群T(t) (t≥0),f:[0,a]×X→X為非線性映射,x0∈D(A),y0∈X.

1 預(yù)備知識

P1={u∈C(J,X)|u(t)≥0, ?t∈J},

則P1為C(J,X)中的一個錐, 其中0為X中的零元.

以下列出本文用到的主要定義和引理.

定義1[8]設(shè)X是實Banach空間, 若P是X中某非空凸閉集, 并且滿足下面2個條件:

(ⅰ)x∈P,λ≥0?λx∈P，

(ⅱ)x∈P, -x∈P?x=0,

則稱P是X中的一個錐.

由正規(guī)錐的定義可知, 若P是X中的正規(guī)錐,N為正規(guī)常數(shù), 則P1為C(J,X)中的正規(guī)錐, 且其正規(guī)常數(shù)為N.

定義3[9]設(shè)T(t) (t≥0)是X上的一個C0-半群, 若對于任意x>0 ,t>0均有T(t)x≥0成立, 則稱C0-半群T(t) (t≥0)是正的.

定義4[9]設(shè)T(t) (t≥0)是X上的一個C0-半群, 若對于任意t>0, 算子T(t):X→X是緊的, 則稱C0-半群T(t) (t≥0)是緊的.

引理1[6]設(shè)A:D(A)?X→X是閉線性算子, -A生成X上的C0-半群T(t) (t≥0),f:[0,a]×X→X為非線性映射, 則積分方程

(3)

的一個連續(xù)解稱為初值問題(2)的mild解, 其中S1(t) (t≥0)和S2(t) (t≥0)是由-σ1A和-σ2A分別生成的C0-半群，且滿足S1(t)=T(σ1t),S2(t)=T(σ2t),t≥0.這里σ1+σ2=ρ,σ1σ2=1,v0∶=y0+σ2Ax0.

Axx, ?x∈P∩?Ω2,
Axx, ?x∈P∩?Ω1，

(4)

2 主要結(jié)果

根據(jù)方程(3)定義算子Q:C(J,X)→C(J,X)，滿足

(Qu)(t)=

(5)

則初值問題(2)解的存在性轉(zhuǎn)化為算子Q在C(J,X)上不動點的存在性.

下面給出本文所需的假設(shè)：

(H1)-A生成的C0-半群T(t) (t≥0)是緊的且是正的；

(H2)f:J×P1→P1連續(xù), 且存在一個正的函數(shù)φ∈L∞(J,[0,+∞)), 使得

證明第一步,證明算子Q:P1→P1是連續(xù)的.

由C0-半群T(t) (t≥0)的強連續(xù)性和f的連續(xù)性可知(Qu)(t)關(guān)于t連續(xù). 由x0>0,v0>0及條件(H1)和(H2)可知

對于任意t∈J, 由f的連續(xù)性可知, 當n→∞時

所以,

第二步,證明算子Q:P1→P1是緊算子.

設(shè)有界集B?P1, 下證Q(B)是相對緊集. 對于任意u∈B,t∈J, 由(H2)可得

則Q(B)在J上一致有界.

對任意t1,t2∈J, 設(shè)t1

當t2→t1時, 由C0-半群按一致算子拓撲連續(xù)可知

所以,Q(B)在J上等度連續(xù).

當t=0時,Q(B)(0)=x0為單點集; 當0

(Qεu)(t)=

因為

由S2(ε)的緊性可知, 對于任意t∈J,X中的相對緊集{(Qεu)(t):u∈B}無限逼近于集{(Qu)(t):u∈B}, 所以Q(B)(t)是相對緊的.

第三步,驗證算子Q滿足引理2中(4)式.

由定義3、(H1)和(H2)知

?t∈J.

(ⅱ)取實數(shù)

由錐P的正規(guī)性知

即

這與β2的取法矛盾, 從而對于任意u∈?P1β2,Qu