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      二次矩陣方程異類約束1-3-7解的迭代算法

      2021-10-28 02:13:06陳世軍余勝斌
      寧夏大學學報(自然科學版) 2021年3期
      關(guān)鍵詞:異類共軛收斂性

      陳世軍, 余勝斌

      (陽光學院 基礎(chǔ)教研部,福建 福州 350015)

      在工程學、控制理論等領(lǐng)域中很多問題都可以歸結(jié)為求矩陣方程約束解.近年來,諸多學者對單變量二次矩陣方程進行了許多研究,取得了豐富的成果并建立了一些有效的算法[1—4].例如,崔學蓮[1]提出了二次矩陣方程X2+AX-B=O在矩陣區(qū)間[L,U]的約束解的迭代算法,并證明了該算法的收斂性;金繼承[2]提出了保結(jié)構(gòu)加倍算法,用于阻尼系統(tǒng)的二次方程的數(shù)值求解,并給出了算法的迭代格式和收斂性證明;李媛媛[4]利用固定點理論和矩陣范數(shù)的相關(guān)知識, 給出了二次矩陣方程X2+2AX+B=O有解的充要條件和有唯一解的判定定理.共軛梯度算法是求矩陣方程約束解的有效算法之一.近幾十年來,很多學者研究了基于共軛梯度算法的矩陣方程(組)的約束解.對于非線性矩陣方程求解,牛頓算法和共軛梯度算法是一種有效的算法[5—17].孫穎異[5]通過修正共軛梯度參數(shù),構(gòu)造新的搜索方向, 提出兩類修正的WYL共軛梯度法,證明了算法的全局收斂性; J.H.Long[6]等建立了求解二次矩陣方程的改進牛頓算法,且給出了算法的收斂性證明;張凱院[10]建立了雙矩陣變量Riccati矩陣方程AX1B+CX2D+X1E1X2+X2E2X1=E3對稱解的牛頓-MCG算法.對于多變量二次矩陣方程異類約束解,目前還沒有得到研究,因此本文基于牛頓算法和修正共軛梯度算法,建立了求多變量二次矩陣方程的異類約束解,這里的約束解是指對稱解、中心對稱解和自反解.

      本文研究三變量二次矩陣方程的異類約束解,矩陣方程形式如下:

      M1X1N1+M2X2N2+M3X3N3+

      X1H1X2+X2H2X3+X1H3X3+Q=O.

      (1)

      1 求矩陣方程(1)異類約束解的牛頓算法

      定義1劃分n階單位矩陣I=(e1,e2,…,en),稱S=(en,en-1,…,e1)為n階次單位矩陣.若矩陣X∈Rn×n滿足SXS=X,則稱X為中心對稱矩陣.

      定義2設(shè)P∈Rn×n滿足PT=P,P2=I,若X∈Rn×n滿足PXP=X,則稱X為關(guān)于矩陣P的自反矩陣.

      為了使表達式更簡潔,引進以下矩陣記號:

      對矩陣函數(shù)ψ(X+tY)在t=0處求導,得

      M1Y1N1+M2Y2N2+M3Y3N3+

      X1H1Y2+Y1H1X2+X2H2Y3+

      Y2H2X3+X1H3Y3+Y1H3X3.

      φX(Y)=φX(Y1,Y2,Y3)=

      M1Y1N1+M2Y2N2+M3Y3N3+

      X1H1Y2+Y1H1X2+X2H2Y3+

      Y2H2X3+X1H3Y3+Y1H3X3.

      γ(Y)=Y1H1Y2+Y2H2Y3+Y1H3Y3.

      因此可得

      ψ(X+Y)=ψ(X1+Y1,X2+Y2,X3+Y3)=

      ψ(X)+φX(Y)+γ(Y),

      (2)

      其中φX(Y)是指矩陣函數(shù)ψ(X)在“點X”處沿著“方向Y”的Frechet導數(shù).

      不妨假設(shè)(X1,X2,X3)∈Ω1-3-7是二次矩陣方程(1)的一組近似解,則求二次矩陣方程(1)的一組解(X1,X2,X3)等同于求一組校正值(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7使之滿足方程ψ(X+Y)=O,當(Y1,Y2,Y3)譜半徑均小于1時,由牛頓算法原理可以忽略矩陣(Y1,Y2,Y3)的高次項γ(Y),因而方程(2)可以近似為ψ(X+Y)≈ψ(X)+φX(Y).因此求解ψ(X+Y)=O可轉(zhuǎn)化為求(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7使之滿足線性矩陣方程

      φX(Y)=-ψ(X).

      (3)

      結(jié)合牛頓算法原理,建立求矩陣方程(1)異類約束1-3-7解的牛頓算法:

      φX(k)(Y(k))=-ψ(X(k)).

      Step 3 計算X(k+1)=X(k)+Y(k),令k∶=k+1,轉(zhuǎn)到Step 2.

      牛頓算法中有收斂性結(jié)論:假設(shè)矩陣X*是二次矩陣方程(1)的一個單根,并且初始矩陣X(1)能充分接近X*,則牛頓算法迭代所得矩陣序列{X(k)}能二次收斂于X*.

      2 問題的提出

      記A1=M1,B1=N1,C1=M2,D1=N2,E1=M3,F1=N3,A2=I,B2=H1X2,C2=X1H1,D2=I,E2=X2H2,F2=I,A3=I,B3=H3X3,C3=I,D3=H2X3,E3=X1H3,F3=I,G=-ψ(X).建立求線性矩陣方程(3)異類約束解的MCG算法,給出方程(3)的一般形式:

      (4)

      其中Ai,Bi,Ci,Di,Ei,Fi,G∈Rn×n(i=1,2,3).主要討論下面2個問題:

      問題1假設(shè)關(guān)于Y1,Y2,Y3的方程(4)有解,則求(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7,使方程(4)成立.

      問題2假如方程(4)無異類約束1-3-7解,則求(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7,使得

      3 求解問題1的MCG算法

      基于共軛梯度算法的基本思路,結(jié)合方程(4)中矩陣特點,修改有關(guān)矩陣的類型,建立求解問題1的MCG算法.先引入記號:

      算法1 (問題1的MCG算法)

      Step 2 若Rk=O,或者Rk≠O且Qk=O,則停止計算;否則,繼續(xù)計算

      Step 3 計算

      Rk+1=G-μ(Y(k+1)),

      Qk+1=

      Step 4 令k∶=k+1,轉(zhuǎn)Step 2計算.

      性質(zhì)2若k≥2,則算法1中得到的矩陣Ri和Qj滿足

      i≠j;i,j=1,2,…,k.

      4 求解問題2的MCG算法

      由定理1可知當Rk≠O而Qk=O時算法1中斷,即方程(4)無異類約束1-3-7解.因此,需要求方程(4)的最小二乘異類約束解,即求矩陣(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7使得

      下面通過將矩陣方程組按行拉直,構(gòu)造方程(4)的等價正規(guī)矩陣方程,將求解問題2轉(zhuǎn)化為求解等價矩陣方程異類約束1-3-7解的問題.然后參照算法1,建立求解問題2的MCG算法.

      引進記號:

      u(Y1,Y2,Y3)=

      v(Y1,Y2,Y3)=

      M=

      定理2求解問題2等價于求約束正規(guī)矩陣方程f(Y)=K的異類約束1-3-7解,且該正規(guī)矩陣方程一定有異類約束1-3-7解.

      證明求解問題2等價于求(Y1,Y2,Y3)∈Ω1-3-7,使得

      (5)

      下面證明求解極小值問題(5)等價于求矩陣方程f(Y)=K的異類約束解.將矩陣方程組

      (6)

      參照算法1以及MCG算法原理,建立求矩陣方程f(Y)=K異類約束解,即求解問題2的MCG算法如下:

      算法2(問題2的MCG算法)

      Step 2 若Rk=O,則停止算法2計算;否則,繼續(xù)計算

      Step 3 計算

      Step 4 令k∶=k+1,轉(zhuǎn)Step 2.

      5 數(shù)值算例

      下面給出算例1,在算例1中通過改變矩陣的階數(shù),說明文中建立的MCG算法1和MCG算法2是可行的,具有很高的效率,且能求出矩陣方程(1)異類約束1-3-7解或異類約束最小二乘解.這里計算時間(s)、系數(shù)矩陣的階數(shù)、MCG算法1、MCG算法2、MCG算法1中斷次數(shù)、實際誤差的F-范數(shù)分別用time、n、k1、k2、k12和error表示.結(jié)合牛頓算法以及MCG算法1、MCG算法2,采用如下步驟計算:

      Step 3 計算X(k+1)=X(k)+Y(k),置k∶=k+1,轉(zhuǎn)Step 2.

      例1用文中建立的牛頓-MCG雙迭代算法求矩陣方程(1)的一組異類約束1-3-7解和最小二乘解,方程(1)系數(shù)矩陣均為n階方陣,系數(shù)矩陣、終止準則ε如下:

      Mi=Ni=Hi=I(i=1,2,3),

      選取初始矩陣X1=1.3I,X2=0.94I,X3=1.05I,Y1=Y2=Y3=O,按計算步驟求得矩陣方程(1)的異類約束1-3-7解.結(jié)果見表1(MATLAB軟件2014版-PIV3.0 GHZ微機).

      表1 方程(1)的異類約束解計算結(jié)果

      當n=5時,可得矩陣方程(1)的異類約束1-3-7解為

      若選取初始矩陣為X1=2I,X2=0.2I,X3=3I,Y1=Y2=Y3=O,n=5,按計算步驟得到矩陣方程(1)的異類約束1-3-7解為

      從表1可以看出,本文建立的牛頓-MCG雙迭代算法可以求出矩陣方程(1)的一組異類約束1-3-7解,且有很高的計算效率.當n=5時,取不同的初始矩陣,得到了不同的異類約束1-3-7解,這說明矩陣方程(1)異類約束1-3-7解不唯一,這也是牛頓-MCG算法的特點,不要求方程解唯一,只要求方程(1)有解即可.

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