Bogoliubov譜的微擾法*

張 穎，胡 潔

（首都師范大學物理系，北京 100048）

0 引言

自從愛因斯坦預(yù)言的玻色?愛因斯坦凝聚態(tài)（Bose?Einstein condensation，BEC）于1995年首次在實驗室產(chǎn)生以來［1］，超冷玻色和費米氣體已成為當代物理學中熱門研究領(lǐng)域之一.超冷原子是保持在接近絕對零度下的原子，通常低于幾十μK.冷原子物理實驗系統(tǒng)為研究凝聚態(tài)物理問題，如BEC［2-4］和超流［5］等，提供了較為理想的平臺.超流性與BEC現(xiàn)象密切相關(guān).超流體可以流過狹窄的毛細管或狹縫而不耗散能量，其剪切粘度為0.1938年，Kapitza［6］與Allen 和Misener［7］分別發(fā) 現(xiàn)液體4He的超流 性.Landau 很快解釋了這一現(xiàn)象，如果基本激發(fā)譜滿足適當?shù)臉藴剩黧w的運動就不會引起耗散，其顯著特征是線性色散，這會發(fā)生超流［2］.在研究超流態(tài)時，為求解出準粒子的能譜，需要利用Bogoliubov 對體系的哈密頓量進行對角化［8］.由文獻［9］可知，對于玻色子系統(tǒng)，Bogoliubov 變換為雙曲變換，不再是幺正變換，這意味著對角化Bogoliubov 哈密頓量的問題，可以等價轉(zhuǎn)化成求解泡利矩陣σz乘以Bogoli?ubov 哈密頓量所對應(yīng)的本征值和本征態(tài)問題.對于簡單的能帶系統(tǒng)，如只有2 條能帶，能帶之間不存在耦合，Bogoliubov 哈密頓量的對角化等價于求解一個2×2 的非厄米矩陣的對角化問題，很容易求解.然而，當體系涉及多條能帶時，能帶之間相互耦合，Bogoliubov 哈密頓量矩陣的維度變得很高，計算變得非常困難.一般而言，無法利用解析的方法精確地對角化高維度的非厄米矩陣.因此，本文研究如何對多能帶玻色系統(tǒng)做Bogoliubov 變換.

1 玻色子哈密頓量

1.1 兩能帶玻色子哈密頓量

考慮一個簡單的兩能帶的玻色子體系，二次量子化后的哈密頓量為［8］

需要做Bogoliubov 變換以將體系的哈密頓量轉(zhuǎn)換至自身表象下表示.對于玻色子系統(tǒng)，準粒子需要滿足對易關(guān)系，對角化Bogoliubov 哈密頓量矩陣等價于求解σz Hk的本征值問題［9］.

對于2×2 的非厄米矩陣，可以通過求解其所對應(yīng)的久期方程，得到體系的能量本征值，得到超流能譜

設(shè)Ek，i對應(yīng)的本征態(tài)為ψi(k)=(ψk，ia，ψk，ib)T，其中i=1，2 分別表示體系的2 個本征態(tài).由文獻［9］可知，2 個本征態(tài)的形式分別為：

完成了Bogoliubov 哈密頓量矩陣的對角化，此時哈密頓量在自身表象中是對角矩陣，對角項為Bogoli?ubov 能量本征值，即準粒子能譜.

1.2 多能帶玻色子哈密頓量

當體系涉及更多能帶時，Bogoliubov 哈密頓量矩陣的維度也變得更高，此時對角化矩陣有一定難度.一般而言，無法解析求解出Bogoliubov 譜，在此，引入一種微擾的方法來求解Bogoliubov 譜.將非厄米的分為2 部分其中部分可以嚴格求解出相應(yīng)的本征態(tài)和本征值，對于而言，是小量，記作微擾［13］.因此，可以在的本征解的基礎(chǔ)上，將微擾的影響逐級考慮進去，從而可求得盡可能精確的近似能譜解.

式中En為體系的能量本征值分別為左右本征波函數(shù)，被稱為雙正交基，其正交性和完備性分別為

結(jié)合投影算符的性質(zhì)可進一步推出

該式被稱為譜分解定理［14］.

按照微擾論逐級展開的基本原理，令

并約定波函數(shù)的各高級近似解與零級近似解均正交，即

將等式（18）和（20）代入等式（9），可得

比較等式兩邊同量級項，可得出各級近似下的本征方程為：

將等式（17）分別代入等式（24）和（25）中，可得：

在此，求出了能量的各級修正.由此可知，Bogoli?ubov變換矩陣U由本征態(tài)組成，繼續(xù)求解哈密頓量對應(yīng)的本征態(tài)

利用投影算符的完備性，可將一級微擾近似波函數(shù)改寫為

將等式（30）代入式（31），可將一級近似微擾波函數(shù)表示為

將所求的一級近似微擾波函數(shù)，代入能量的二級修正表達式（29）中，并結(jié)合投影算符的性質(zhì)，可得出二級能量修正的簡化表示形式

綜上，準確到二級近似下，能量的本征值為

同理，可求出一級微擾近似下左本征波函數(shù)為

因此，在一級近似下，能量的左右本征波函數(shù)分別為：

得到能量En的本征態(tài)后，便可獲得Bogoliubov 變換矩陣U，進而確定玻色子場算符與準粒子算符之間的關(guān)系，將Bogoliubov 哈密頓量從玻色子場表象轉(zhuǎn)換至準粒子表象，完成Bogoliubov 變換，最終得到Bogoliubov 譜，即準粒子能譜.

在求解Bogoliubov 能譜時，對于式（1）體系的哈密頓量只保留了玻色子算符的二次項，因此，準粒子激發(fā)是具有良好定義的本征模式.在下一階計算中，只將4 個動量k1、k2、k3和k4中的任意1 個替換為零動量，得到

此時，Bogoliubov 準粒子存在相互作用，不再是具有良好定義的本征模式，將導(dǎo)致準粒子具有有限的壽命，即發(fā)生衰變.而通過對體系哈密頓量做Bogoliubov 變換得到的準粒子能譜，變換矩陣為計算準粒子的Beliaev 衰變和Landau 衰 變［15］等行為，提供了重要的物理參數(shù).

2 結(jié)論

本文研究了玻色子超流問題，當體系涉及多個能帶時，提出一種非厄米矩陣微擾的方法求解Bogoliubov 能譜，同時，由近似本征波函數(shù)構(gòu)成Bogoliubov 變換矩陣，完成玻色子場表象到準粒子表象的轉(zhuǎn)換，以實現(xiàn)對體系哈密頓量的Bogoliubov變換.當考慮到玻色子場算符高階項時，準粒子數(shù)不守恒，發(fā)生衰變.準粒子的壽命決定了量子多體系統(tǒng)的許多基本性質(zhì)，如輸運和熱化等，為進一步研究準粒子的其他物理性質(zhì)如衰變等，提供了盡可能精確的物理參數(shù).