L2空間至L2空間的算子刻畫

汪成詠，王序巖

（北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京 100044）

0 引言

向量值函數(shù)的相關(guān)問題討論是1957年由Hille和Phillips 在Functional Analysis and Semi?Groups［1］（泛函分析與半群）中首次提出，并進(jìn)行了簡單的推廣.之后的學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究確定了這個函數(shù)在n維空間中的構(gòu)成和基本特性，并證明了可積和可微性.但是由于這種函數(shù)的特殊性，導(dǎo)致很多性質(zhì)難以直接從特殊狀況推廣到一般狀況，如對于向量值函數(shù)奇異積分算子的有界性研究.所以對一些相對特殊的函數(shù)空間內(nèi)的有界線性算子的研究就顯得格外重要，這便是本文的核心研究意義.

向量值函數(shù)空間上的算子理論一直是泛函分析的一個重要課題，算子理論作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要分支，是函數(shù)論學(xué)者熱衷于研究的一個方向，并且形成了一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系.Stein 和Weiss曾經(jīng)在《歐式空間上的Fourier 分析引論》［2］中討論過廣義函數(shù)情況下L2空間至L2空間上的算子結(jié)構(gòu)，卻尚未有人給出向量值函數(shù)空間下的相關(guān)算子結(jié)構(gòu)，本文討論了相關(guān)問題，并給出了具體結(jié)構(gòu)及證明.

1 預(yù)備知識

設(shè)?1與?2是2 個可分Hilb ert 空 間，以B(?1，?2)表示從?1到?2的有界線性算子的全體構(gòu)成的完備賦范線性空間.K是從Rn到B(?1，?2)的算子值函數(shù)，假定K是強(qiáng)可測的.f(x)是從Rn到?1的強(qiáng)可測函數(shù)，則K(x?y)f(y)是Rn× Rn=R2n到?2的強(qiáng)可測函數(shù).

2 主要結(jié)果

3 結(jié)束語

本文對向量值函數(shù)空間上的一類有界線性算子進(jìn)行了刻畫，得到了向量值函數(shù)的奇異積分里的一個新的算子方面的結(jié)論.向量值函數(shù)空間上的有界線性算子，隨著空間維數(shù)的降低，其性質(zhì)和結(jié)構(gòu)會越來越復(fù)雜，本文給出的是L2()Rn空間上的有界線性算子，并希望未來可以給出L1()Rn空間上的有界線性算子的具體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)及其證明.文章主要不足之處在于雖然很確定最終的結(jié)論是正確的，但是中間的證明過程略顯冗雜，理論上應(yīng)該有更加簡便一點(diǎn)的證明方法，希望可以給出更好的證明過程.