帶跳模型下提前違約的貸款保險定價研究*

雷子琦，周 清

（北京郵電大學理學院，北京 100876）

0 引言

自2015年國內引入存款保險制度后，貸款保險的研究也隨之進行.近年來，國家信貸條件使得商業(yè)貸款不平衡，許多貸款企業(yè)出現(xiàn)破產或違約的狀況，增加了大多數(shù)國內商業(yè)銀行貸款風險，商業(yè)銀行的企業(yè)不良貸款數(shù)額逐年增加，銀行的貸款違約概率也在逐年增大，嚴重影響銀行的穩(wěn)定與發(fā)展.同時宏觀經濟的波動，重要政策的信息和公告的發(fā)布等因素，都對市場造成了一定的沖擊.

基于期權的貸款保險定價方法，根據(jù)貸款保險與看跌期權之間的同構關系，將貸款保險看作一個看跌期權，將期權定價的方法應用在貸款保險定價中.Black 和Scholes［1］提出了期權定價公式，在金融領域得 到了廣泛的應 用；Merton［2］利用Black 和Scholes 的歐式看跌期權定價公式提出了存款保險和貸款擔保的定價公式；Ronn 和Verma［3］研究了監(jiān)管容忍現(xiàn)象，證實監(jiān)管寬容會對存款保險定價產生影響；Lee［4］以及Zhang 和Shi［5-6］引入違約點，提高了模型預測違約現(xiàn)象的準確性；胡斌等［7］進一步將貸款保險作為研究對象，建立起貸款保險期權定價模型；在普通歐式期權的基礎上，史本山和張耀杰［8］及胡斌等［9］進一步考慮借款人的違約點、債務結構及其清償順序，對傳統(tǒng)的貸款保險定價模型進行改進，從而得到更加合理的貸款保險定價模型；此外，張耀杰等［10］進一步將保證貸款作為貸款保險的對象，同時考慮了借款人和保證人之間的資產相關性，利用期權定價和微積分等工具構建了針對保證貸款的貸款保險定價模型；Zhang 等［11］進一步考慮資產收益率可能服從非對數(shù)正態(tài)分布的情況，根據(jù)Gram?Charlier 期權定價方法構建了新的貸款保險定價模型；張耀杰等［12］考慮企業(yè)破產或違約的情況時有發(fā)生，在到期違約貸款保險定價模型的基礎上，提出了提前違約下的貸款保險定價模型，由于模型是在單純的幾何布朗運動下提出的，只能描述企業(yè)資產價值的連續(xù)變化行為.

通常金融資產（主要是股票和外匯產品）的交易價格被認定為是“暫時的連續(xù)性”，因而其收益序列應該保持穩(wěn)定.但宏觀經濟的不穩(wěn)定、重要政策信息的表露和一些公告，如合并和收購，都可能導致金融資產的收益率在幾乎連續(xù)的時間內出現(xiàn)重大波動.這種由信息流和信息聚合引起的對資產價格的影響被稱為“跳躍”.資產價格的巨幅波動直接影響估計和預測金融資產收益率波動的準確性，這對資產分配和風險管理產生重要影響.

本文在張耀杰等［12］建立的提前違約的貸款保險定價模型的基礎之上，鑒于貸款保險與看跌期權的同構關系，將貸款保險看作一種看跌期權，從而將期權定價中的跳擴散方法創(chuàng)新應用在貸款保險定價研究中，提出了跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型，并選取中國證券市場實際數(shù)據(jù)進行實證分析.

1 資產價值帶跳模型

1.1 模型介紹

張耀杰等［12］提前違約下的貸款保險定價模型，給出了具有平穩(wěn)性特征的貸款保險費率公式.考慮到信息流和信息聚合對資產價格的影響，本文將跳擴散的方法創(chuàng)新應用在貸款保險定價研究中.貸款保險可視為一種看跌期權，在這個看跌期權中，標的為企業(yè)總資產價值（S）、執(zhí)行價格為企業(yè)總負債（D）、期權的到期日（T）.

根據(jù)以往對公司資產分布的理論研究［13-14］，假設企業(yè)的資產價值遵從如下的對數(shù)正態(tài)分布過程

式中r為風險中性世界的無風險利率；σS為資產的波動率；St為t時刻企業(yè)的資產價值；ln(St) 為St的對數(shù)形式；W為標準的一維布朗運動.

引入違約點DP模擬監(jiān)管容忍現(xiàn)象：在償還貸款的日期，僅當資產的價值小于設定的違約點DP而不是D的總額時，企業(yè)才會違約或者破產.當資產價值ST

提前違約是在到期日之前發(fā)生違約，提前出現(xiàn)St

依據(jù)伊藤展開公式，具有有限跳躍的Levy 過程，可以表示為帶有漂移項的布朗運動與有限數(shù)量獨立泊松過程相互疊加的形式.在貸款保險定價中，加入有限跳躍Levy 過程項后的資產價值的運動過程可以被表示為：

式中W(t)為一維標準布朗過程；dJ(t)為J(t)在t時刻發(fā)生的跳躍幅度，如果發(fā)生1 次跳躍，跳躍幅度為Yj?1，如果不發(fā)生跳躍，跳躍相對幅度為0.假設相對跳躍幅度遵從對數(shù)正態(tài)分布資產價值跳擴散下提前違約貸款保險的蒙特卡羅表達式為

式中Si為在時間點iΔt上的資產價值，i={1，2，…，K}，Δt=T/K；?t為一個標準正態(tài)分布的隨機序列.以下為利用蒙特卡羅模擬計算帶跳下提前違約的貸款保險費率IP1的步驟：

1）產生一系列服從標準正態(tài)分布的隨機序列?t；

2）隨機生成服從參數(shù)為λΔt的泊松分布的變量N；若N=0，則令M=0，并直接到第4 步；

3）產生服從對數(shù)正態(tài)分布的Yi，即ln(Y1)，ln(Y2)，…，ln(YN)，并且令

產生企業(yè)資產價值變化路徑{S1，…，SK}；

5）按照序列的產生順序作出相應的判斷：若Si

6）反復執(zhí)行步驟4 和步驟5Q次，從而獲得貸款違約的模擬樣本Q個；

7）Q個違約損失的樣本求平均值，再除以公司的總負債（D），得到帶跳下提前違約的貸款保險費率IP1.

1.2 跳躍項參數(shù)估計

在t=0 前，取n+1 個時刻t0

又設[t0，tn]之間標的資產有m次跳躍，時刻分別為記：

式中Yi?1 為在時刻處跳躍的相對高度，1 ≤i≤m.

記X=ln(Y)，設X～N(μ，σ2)，使用極大似然法得到似然函數(shù)為

似然函數(shù)l(θ)取對數(shù)為

從而解得

已知泊松過程(Nt)t≥0具有獨立性，可以判定N1，N2，…，Nn獨立同 分布于NΔt=Nti+1?Nti，而NΔt服從參數(shù)為λΔt的泊松分布，N1，N2，…，Nn是一組取自NΔt的樣本，運用極大似然估計，有

于是，λ的估計值為

1.3 期初的S 及σs 估計

將跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型應用于實際的金融市場中，還需要知道初期的S和σs.

企業(yè)的股權可以看作為一類簡單的歐式看漲期權，根據(jù)伊藤跳躍公式，得到標的資產價格跳擴散下的定價公式為

借款人股權價值的波動率σV和σS滿足

式中σV可以用歷史波動率進行求解：設定一年內的股票交易天數(shù)為n，則σV與股票收益率的日標準差σd存在關系

綜上構建了一個非線性方程組求解S和σs，之后便可將貸款保險定價模型應用于實際金融市場中.

1.4 實證研究

1.4.1 數(shù)據(jù)選取及參數(shù)確定

在我國仍然處于正常交易狀態(tài)的上市公司中，隨機選擇某上市公司A 股指數(shù)（股票代碼000002），設定貸款保險期限從2013年1 月1 日至2014年12月31 日，從網(wǎng)站（www.iguuu.com/stock/000002/state?ment）搜集相關數(shù)據(jù).

為更好地對跳躍幅度的分布類型作出估計，選擇企業(yè)資產價值的跳躍幅度>0 的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù).依照搜集樣本數(shù)據(jù)的方法，會出現(xiàn)一些相對跳躍幅度過大的異常點，為了模擬的效果程度，去掉“異常點”數(shù)據(jù)值.各參數(shù)的估計值如下：初始時刻企業(yè)資產價值S0=3 788.02億元，D=2 966.63億元，DP=279.5億元，r=0.037 5，σS=0.456，

1.4.2 研究分析

為簡化分析采用定時間段方法進行動態(tài)調整，選擇時間段為365 d，即蒙特卡羅模擬選擇的時間期限為365，模擬產生100 條樣本路徑.企業(yè)資產價值的路徑如圖1 所示，分別報告了在幾何布朗運動和跳擴散2 種情況下企業(yè)資產價值的模擬路徑以及企業(yè)資產價值的實際變化曲線.不同的顏色代表不同次序的模擬路徑.企業(yè)的資產價值在短時間內會發(fā)生強烈的上下波動，說明突發(fā)事件會產生影響.跳擴散下的路徑圖，相比于幾何布朗運動假設來說，更符合企業(yè)價值實際變化情況，更能刻畫出“突發(fā)事件”造成的影響，也更具有合理性.

圖1 企業(yè)資產價值的路徑

此外，計算可得幾何布朗運動下的均值和方差為5.013 4×1054和3.130 0×10110，而跳擴散下的均值和方差為6.189 1×1054和1.398 1×10112.跳擴散下的模擬S值更接近于實際情況中的真實S值.而跳擴散下的方差則明顯大于幾何布朗運動假設下的方差，說明了資產價值在此期間產生了強烈的動蕩，這就是實際金融市場中突發(fā)性事件的表現(xiàn).均值和方差的對比情況進一步說明了資產價值帶跳模型下提前違約的貸款保險定價模型更加符合實際中的真實值變化情況，也更具有合理性.

另外，通過MATLAB 得到幾何布朗運動假設下的貸款保險費率為3.794 33，而跳擴散假設的貸款保險費率為3.054 4.跳擴散下貸款保險費率低于幾何布朗運動假設下的貸款保險費率，但二者相差不大，說明跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型是可行的.雖然前者的貸款保險費率略低于后者，但由于只檢驗了一家企業(yè)，對于單獨的企業(yè)來說，提前違約的貸款保險費率是存在高估還是低估的定價錯誤是不確定的.

綜上所述，跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型相比于幾何布朗運動下的模型，對于實際金融市場的刻畫更具有合理性.

2 隨機利率帶跳模型

2.1 模型介紹

動態(tài)利率期限結構模型的研究起源于1970年.Merton［15］在1976年提出 了一個 簡單的 單因素 模型，其后研究者逐漸認識到利率具有均值回復特性；Vasicek［16］設定利率均值、波動率所有參數(shù)都是不隨時間變化的常數(shù)，提出了第一個滿足均值回復特征的單因素模型（Vasicek 定價模型）；Cox 等［17］保留利率的均值回歸特性，進一步將利率的期限結構理論推廣至一般均衡模型之中.上述研究的單因素模型假設短期利率時間序列的樣本路徑是連續(xù)的，但金融市場的運行規(guī)律和一些預料不到的突發(fā)事件經常導致短期利率的連續(xù)性被破壞，只用描述連續(xù)樣本路徑的布朗運動對短期利率進行預測是不全面的，因而出現(xiàn)了各種跳躍模型.Das［18］使用美國的聯(lián)邦基金利率數(shù)據(jù)對跳躍模型進行研究，表明利率市場中存在一系列由市場特征引起的跳躍行為，如金融危機、貨幣政策的實施和股市崩盤等突發(fā)事件；Johannes［19］的研究表明一般的單因素擴散模型無法解釋短期利率存在的尖峰特征，而跳躍模型則可以有效地刻畫這一現(xiàn)象，從而創(chuàng)建了單因子跳躍擴散模型.為刻畫市場的突發(fā)事件產生的影響，本節(jié)將跳擴散下的Vasicek 模型創(chuàng)新應用在貸款保險定價研究中，提出了隨機利率跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型.

將期權定價中跳擴散方法應用在短期利率的純擴散過程中，公式為

式中rt為t時刻的市場利率；a為均值回復速度；b為長期均值；σr為利率波動率；a，b，σr都是常數(shù)；J為在t時刻的跳躍幅度，并設定J～N(μ，σ2)；N()t為強度為λ的泊松過程.假設在一個極短的時間[t，t+dt]內發(fā)生一次跳躍的概率為λ，當在時間[t，t+dt]內發(fā)生跳躍，那么dN(t)=1，否則dN(t)=0.

得到隨機利率跳擴散下，提前違約的貸款保險定價模型為

2.2 模型參數(shù)估計方法

Vasicek?JUMP 模型的離散化模型為

其中需要估計的參數(shù)向量θ=(a，b，σr，μ，σ，p).

規(guī)定在很短時間內跳躍發(fā)生次數(shù)為1 或者0，可見跳躍發(fā)生概率（p）使用泊松強度λ的估計是等價的，即p=λ.其中rt的條件概率密度為

似然函數(shù)l(θ)取對數(shù)

若p=0，則轉變?yōu)閂asicek 模型的條件概率密度函數(shù).

2.3 實證研究

2.3.1 數(shù)據(jù)選取及參數(shù)確定

本節(jié)選擇上海銀行間同業(yè)拆放利率的隔夜數(shù)據(jù)（2013年1 月4 日—2014年12 月31 日）進行參數(shù)估計，結果如下：在Vasicek 模型中，a=0.131 0，b=2.734 8，σr=1.589 6.在Vasicek?JUMP 模型中a=0.074 1，b=1.573 9，σr=0.213 8，p=0.236 1，μ=0.368 5，σ2=10.543 9.

2.3.2 研究分析

市場隨機利率的路徑如圖2 所示，分別報告了在幾何布朗運動和跳擴散2 種情況下，隨機利率的模擬路徑以及隨機利率的實際變化曲線.不同的顏色代表不同次序的模擬路徑.市場的隨機利率在短時間內會發(fā)生強烈的上下波動，說明突發(fā)事件會產生影響.相比于幾何布朗運動假設來說，跳擴散下的路徑圖更符合隨機利率實際變化情況，更能刻畫出“突發(fā)事件”造成的影響，也更具有合理性.

圖2 隨機利率的路徑

此外，通過MATLAB 可得幾何布朗運動和跳擴散下的貸款保險費率分別為310.013 8 和310.938 9.跳擴散下的貸款保險費率高于幾何布朗運動假設下的貸款保險費率，但二者相差不大，說明跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型是可行的.

3 其他影響因素研究

3.1 違約點與貸款保險定價

違約點反映真實金融市場中出現(xiàn)的“監(jiān)管寬容”現(xiàn)象.違約點的高低反映了影響貸款保險價格的許多客觀因素，如企業(yè)的融資能力、償付能力、財務狀況和管理水平等.Lee［4］的研究結果表明違約點也會因國家或地區(qū)而異.

采用1 節(jié)數(shù)據(jù)，設置K=365.當設定負債比例從0.4 變化到1.0 時，企業(yè)一年期的貸款保險費率變化情況（為簡化研究，此節(jié)主要對資產價值跳擴散下提前違約的貸款保險費率情況進行詳細研究）描繪在圖3 中.提前違約下，當違約點越來越大時，其貸款保險費率并不是呈現(xiàn)一味增長的趨勢，而是先上升后下降、再上升再下降，呈現(xiàn)一個波動的趨勢，但大致為先上升后下降的周期.提前違約下的貸款違約損失可理解為發(fā)生提前違約的概率乘以違約時的貸款損失.一方面，違約點越高說明企業(yè)的信用等級越差，那么企業(yè)發(fā)生違約的概率就越高；另一方面，隨著違約點DP的增大，違約時的貸款損失也就越接近于D?DP，也說明貸款損失越小.從這個角度分析，在提前違約的情況下，貸款違約損失呈現(xiàn)出此消彼長的態(tài)勢：當違約點較小時，提前違約的概率較低，但是在發(fā)生違約的情況下，貸款損失卻較大；從數(shù)學角度分析，極值會在提前違約下的貸款違約變動情況中出現(xiàn).另外，由于發(fā)生違約的概率數(shù)值較小，違約時的貸款損失數(shù)值較大，說明存在極大值.此外，由于資產價值變量存在服從對數(shù)正態(tài)分布的跳躍項，資產價值存在一定的突變值（可能突然很小，可能突然很大），這就導致了波動效應的出現(xiàn).這就解釋了隨著違約點的增大，提前違約的貸款保險費率呈現(xiàn)出波動趨勢的原因.

圖3 跳擴散下負債比例與貸款保險費率

3.2 σs 與貸款保險定價

貸款的違約風險主要表現(xiàn)在σs和資產的負債比2 個方面.資產波動率越大，表明企業(yè)具有較大的不確定性，未來違約的概率也會增加.沿用1 節(jié)數(shù)據(jù)探究σs對跳擴散下提前違約的貸款保險定價的影響，考慮一年期的貸款保險定價情況，如圖4 所示：在一定范圍內，σs的增大會使貸款保險費率增大，但超過一定值之后，貸款保險費率會急劇下降；達到一定值后會再次呈上升趨勢，并且存在一些極值點.通過對σS求導，發(fā)現(xiàn)存在使其導數(shù)為0 的點σS，說明極值點存在的合理性.

圖4 資產波動率與貸款保險費率

當σs較大時，貸款保險將具有較大的時間價值，企業(yè)的違約概率也會較大.加上跳躍項因素變化幅度的影響，隨著σs的增大，貸款保險費率總體上升，但會存在一些極值點.同時跳躍突變情況反映為圖形的波動效應，但總體還是呈現(xiàn)上升趨勢.此外，對隨機利率跳擴散下提前違約的貸款保險費率模型進行同樣的因素研究，可知，這些因素對貸款保險費率也會產生影響.

4 結束語

本文以提前違約的貸款保險定價模型為基礎，將跳擴散方法創(chuàng)新應用在貸款保險定價中.實證研究表明，資產價值跳擴散下，提前違約的貸款保險定價模型能更合理刻畫中國實際金融市場的變動情況.同時，隨著違約點的增大，貸款保險費率會呈現(xiàn)出波動的趨勢，大致為一個先上升后下降的周期.資產波動率越大說明企業(yè)具有較大的不確定性，企業(yè)未來違約的概率也會加大.此外，跳擴散下標的資產價格變化會存在一些極值點和波動情況.將加入有限跳躍過程的Vasicek?JUMP 模型創(chuàng)新性地應用在貸款保險定價研究中，構成隨機利率跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型.研究表明，跳擴散下提前違約的貸款保險定價模型能更合理地刻畫中國實際金融市場的變動情況.