帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)研究

摘 要：帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高中物理的重要知識(shí)，解決這類問題需要綜合運(yùn)用力學(xué)和電磁學(xué)方面的知識(shí)，同時(shí)還需要用到一些數(shù)學(xué)知識(shí)。本文將從理論和計(jì)算機(jī)仿真模擬兩方面研究帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

關(guān)鍵詞：高中物理;復(fù)合場(chǎng);帶電粒子;數(shù)字教學(xué)資源;教育信息化

復(fù)合場(chǎng)是指重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的兩者或三者同時(shí)存在于同一個(gè)空間。帶電粒子經(jīng)過復(fù)合場(chǎng)時(shí)會(huì)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，其中重力和電場(chǎng)力具有相似的性質(zhì)，常常可以將重力和電場(chǎng)力等效為一個(gè)力。接下來我們將研究帶電粒子在圖1所示的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)帶電粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向豎直向下，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。

一、初速度方向水平向右

當(dāng)洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡時(shí)，即，帶電粒子將以速度水平向右勻速直線通過復(fù)合場(chǎng)。若帶電粒子射入復(fù)合場(chǎng)時(shí)的速度v大于v0，其所受的洛倫茲力大于電場(chǎng)力，這時(shí)問題就會(huì)變得很復(fù)雜。我們可以將物體所受的洛倫茲力進(jìn)行拆分（如圖2），一部分用于和電場(chǎng)力平衡，另一部分用于提供帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。那么帶電粒子復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)就可看作是沿水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，從而使問題得以解決。為此我們對(duì)帶電粒子的初速度v進(jìn)行拆分（如圖3）。

將v分解為v0和v相，v相=v-v0，其中v0對(duì)應(yīng)的洛倫茲力qv0B用于和電場(chǎng)力平衡，v相對(duì)應(yīng)的洛倫茲力qv相B使粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這樣帶電粒子一方面相對(duì)于復(fù)合場(chǎng)以速度v0向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，另一方面相對(duì)于圓心以速度v相為線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖4）。粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，相應(yīng)的角速度，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。設(shè)粒子在t=0時(shí)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，t時(shí)刻圓心走過的位移為v0t，粒子繞圓心轉(zhuǎn)過的角度。

t時(shí)刻帶電粒子的橫、縱坐標(biāo)分別為

整理以上各式，可得：

①

②

同理可以分析出，若帶電粒子射入復(fù)合場(chǎng)時(shí)的速度v小于時(shí)，帶電粒子受到的洛倫茲力小于電場(chǎng)力。將v分解為v0和v相，其中v0仍等于，方向水平向右，v相仍等于v-，但此時(shí)v相為負(fù)值，方向向左，圓周位于x軸下方。

通過上述分析，我們就能夠知道粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)于某一時(shí)刻粒子的位置就可以確定下來。但是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡如何？當(dāng)速度變化時(shí)對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？學(xué)生很難有直觀的感受。我們可以將上述理論分析過程借助數(shù)字教學(xué)資源，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真模擬。圖5展示了當(dāng)帶電粒子以不同的速度射入復(fù)合場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（圖5中的數(shù)據(jù)已略去了單位，且，下文中的其他圖像也是如此）

若改變帶電粒子的電荷量或質(zhì)量，通過數(shù)字教學(xué)資源進(jìn)行觀察，上述圖像形狀不變，只是圖像進(jìn)行縮放。

若大量粒子以不同的速度同時(shí)射入復(fù)合場(chǎng)中，利用數(shù)字教學(xué)資源進(jìn)行觀察可得到如圖6所示的運(yùn)動(dòng)軌跡。

帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過一段時(shí)間后會(huì)匯聚到同一點(diǎn)（如圖6中的A、B、C、D點(diǎn)），這提示我們速度選擇器的尺寸應(yīng)避開這樣的點(diǎn)，不然無論何種速度的帶電粒子可能都會(huì)射出速度選擇器，達(dá)不到篩選粒子速度的目的。

當(dāng)帶電粒子的入射速度等于3時(shí)粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒子的速度大于3時(shí)，v相為正值，圓周位于x軸上方，粒子在x軸上方運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒子的速度小于3時(shí)，v相為負(fù)值，圓周位于x軸下方，粒子在x軸下方運(yùn)動(dòng)。

t時(shí)刻粒子的速度v（t）等于v0與v相的合成。由圖4可知：

vx（t）=v0+v相cos（ωt） vy（t）=v相sin（ωt）

即：③

④

上述推導(dǎo)過程也可以通過分別對(duì)方程①和②進(jìn)行求導(dǎo)得出。利用數(shù)字教學(xué)資源即可實(shí)時(shí)觀察帶電粒子的速度隨時(shí)間的變化情況。

t時(shí)刻粒子的加速度a（t）可以看做圓心的加速度與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的合成。但圓心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圓心的加速度為零，所以粒子的加速度就等于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度。

即：⑤

⑥

上述推導(dǎo)過程也可以通過分別對(duì)方程③和④進(jìn)行求導(dǎo)得出。

二、初速度方向傾斜向上

當(dāng)粒子的入射方向與x軸正方向夾角為θ斜向上方時(shí)（如圖7），我們可以將速度v分解為vx和vy。其中vx=vcosθ，vy=vsinθ，再將vx分解為v0和vx-v0，將vx-v0與vy合成為v相，其大小為v相=，方向與x軸正方向夾角為φ，，。v0為圓周做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，v相為粒子繞圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度（如圖8），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為。設(shè)t=0時(shí)粒子位于坐標(biāo)原點(diǎn)O。

t時(shí)刻，粒子的橫、縱坐標(biāo)分別為：

以上各式聯(lián)立，可得：

⑦

⑧

借助高中物理數(shù)字教學(xué)資源進(jìn)行仿真分析，當(dāng)粒子的速度方向斜向右上與x軸正方向夾角為30°時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9所示。

t時(shí)刻粒子的速度v（t）等于v0與v相的合成。由圖8可知：

vx（t）=v0+v相cos（φ+ωt） vy（t）=v相sin（φ+ωt）

即：⑨

⑩

上述推導(dǎo)過程也可以分別對(duì)方程⑦和⑧進(jìn)行求導(dǎo)得出。利用數(shù)字教學(xué)資源即可實(shí)時(shí)觀察帶電粒子的速度隨時(shí)間的變化情況。

t時(shí)刻粒子的加速度a（t）可以看做圓心的加速度與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的合成。但圓心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圓心的加速度為零，所以粒子的加速度就等于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度。

即：

上述推導(dǎo)過程也可以通過分別對(duì)方程⑨和⑩進(jìn)行求導(dǎo)得出。

三、初速度方向?yàn)槠渌闆r

（一）當(dāng)帶電粒子的初速度方向豎直向上時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示。

（二）當(dāng)帶電粒子的初速度方向水平向左時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示。

（三）當(dāng)帶電粒子的初速度方向豎直向下時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12所示。

（四）當(dāng)帶電粒子的初速度方向不在xoy平面時(shí)，可將v分解為vx、vy和vz。其中Z軸垂直紙面向外。vx和vy的處理方法與前文一致，在Z軸方向上粒子不受力，粒子沿Z軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。通過高中物理數(shù)字教學(xué)資源進(jìn)行觀察可直觀看到粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡在三維空間的分布情況。

參考文獻(xiàn)

[1]王金聚.配速法巧解帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2018，47（13）：45-47.

[2]程稼夫，中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理講座[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2000.

作者簡介：初同喜（1983-），男，黑龍江齊齊哈爾人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：高中物理教學(xué)方法。

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育科學(xué)規(guī)劃2020年度教研專項(xiàng)課題“高中物理數(shù)字教學(xué)資源開發(fā)與應(yīng)用研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：JYB1320116）研究成果。