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    在數(shù)與形之間感悟數(shù)學(xué)思想

    2021-10-25 11:19裘一能裘迪波
    廣西教育·A版 2021年8期
    關(guān)鍵詞:數(shù)與形數(shù)學(xué)思想

    裘一能 裘迪波

    【摘要】本文以特級(jí)教師葉柱《數(shù)與形》教學(xué)片段賞析為例,論述引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形之間感悟數(shù)學(xué)思想的策略,將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題,從直觀的圖形表征中尋找計(jì)算方法;通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形都是表征問題的方式,由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。

    【關(guān)鍵詞】《數(shù)與形》 數(shù)學(xué)思想 教學(xué)片段

    【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

    【文章編號(hào)】0450-9889(2021)29-0082-02

    人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材將“數(shù)學(xué)廣角”中的《數(shù)與形》單獨(dú)列為一個(gè)主題單元,目的是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的直觀性,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理以及解決問題的能力。但在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,數(shù)是數(shù)、形是形,兩者難以和諧統(tǒng)一。如何將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題呢?教師應(yīng)當(dāng)從直觀的圖形表征中尋找計(jì)算方法,通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生從中體會(huì)數(shù)與形都是表征問題的方式,由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系,可促使學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化于心、外化于形,使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。下面,以特級(jí)教師葉柱執(zhí)教的六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)與形》為例,探索以“數(shù)形結(jié)合”為基石,讓學(xué)生在解決問題中真正體會(huì)到“寓數(shù)于形”“以形解數(shù)”“數(shù)形互補(bǔ)”的數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化,促使學(xué)生在數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換中,感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

    一、寓數(shù)于形

    師:“1”這個(gè)數(shù)可以用哪一種“形”來表示?

    生1:長(zhǎng)方形、三角形。

    生2:“1”可以表示一個(gè)圓形、正方形、平行四邊形等。

    師:你用了“等”字表示“1”,這表示還可以有很多不同的圖形,那我們就選擇其中一個(gè)代表吧,假如“1”用一個(gè)正方形來表示,那么“2”應(yīng)該怎么表示?“4”怎么表示?“99”呢?

    生3:“2”表示2個(gè)正方形,“4”表示4個(gè)正方形,“99”表示99個(gè)正方形。

    師:同學(xué)們都知道不同的數(shù)字可以表示不同個(gè)數(shù)的正方形,那么,“1+3+5”這個(gè)算式可以用什么圖形表示呢?請(qǐng)你將想到的圖形在本子上畫下來。

    (圖形展示如圖1、圖2、圖3)

    生4:我畫了1個(gè)加3個(gè)、加5個(gè)小正方形。(如圖1)

    生5:因?yàn)?+3+5是一個(gè)等差數(shù)列,我就想到了可以用“金字塔”的圖形。(如圖2)

    生6:我發(fā)現(xiàn)“1”是一個(gè)正方形,加上3個(gè)會(huì)組成一個(gè)更大的正方形,加上5個(gè)就會(huì)得到更大更大的一個(gè)正方形。(如圖3)

    師:從這三個(gè)圖形中,我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)固定的算式,如果采用形來表示,可以有多種不同的表示方法。圖3這樣組成的圖形與前面兩種比較,好處在哪里呢?

    生7:組成的圖形是一個(gè)大正方形,很容易知道一共有3×3=9個(gè),9=32。

    師:那如果是1+3呢?1+3+5+7呢?請(qǐng)直接說出答案。

    生8:1+3=4,1+3+5+7=16。

    師:這里只有1+3+5的圖形,你覺得加7,添上7個(gè)小正方形應(yīng)該添在哪里呢?

    [ ][ ][ ][ ][1=12][1+3=22][1+3+5=32][1+3+5+7=42]

    生9:我認(rèn)為上面加一排,右邊加一排,可以組成一個(gè)更大的正方形。

    生10:像他這樣拼,可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4×4的正方形。

    師:如果是1+3+5+7+9+11+13,請(qǐng)你計(jì)算一下答案。誰能用簡(jiǎn)潔的語言解釋一下為什么是這個(gè)答案?

    生11:答案是7的平方。因?yàn)榘凑者@樣的規(guī)律,2個(gè)數(shù)相加是2的平方,3個(gè)數(shù)相加是3的平方,以此類推,7個(gè)數(shù)相加就是7的平方。

    師:你還能聯(lián)系上面4×4的圖形,推理得出1+3+5+7+9+11+13的圖形嗎?

    【賞析】要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,就要完成從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,打通從數(shù)到形的“隔斷墻”。先通過簡(jiǎn)單的數(shù)字“1”引導(dǎo)學(xué)生思考用哪一個(gè)形來表示,還有2,4,99呢?學(xué)生初步感知數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。接著引導(dǎo)學(xué)生思考,并畫一畫1+3+5這個(gè)算式可以用怎樣的圖形來表示,讓學(xué)生構(gòu)造形,體會(huì)形雖然有多種,但數(shù)與形卻一一對(duì)應(yīng),感悟同樣的形可以產(chǎn)生不同的計(jì)算方法,用不同的方式計(jì)算同一個(gè)幾何量,達(dá)到用“數(shù)”來表示“形”,用“形”來理解“數(shù)”,感受數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化。最后,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系圖形推理1+3+5+7+9+11+13,想一想算式的結(jié)果和組成的圖形之間的聯(lián)系,進(jìn)一步激發(fā)他們探究規(guī)律的欲望。從數(shù)到式、從獨(dú)立的形到組合的形,從多樣化的形到呈正方形,層層遞進(jìn)、深入思考,學(xué)生體會(huì)到了“數(shù)中有形”,更加深入地感悟“形中有數(shù)”。

    二、以形解數(shù)

    師:這個(gè)“形”中還隱藏著其他的數(shù)的運(yùn)算規(guī)律嗎?(如下圖形所示)口算:42-32等于幾?

    [ ][42-32=7 (4+3)? 22-12=3 (2+1)

    32-22=5 (3+2)? 52-42=9 (5+4)]

    生1:42-32=7。

    師:請(qǐng)你對(duì)照?qǐng)D形觀察,4的平方,3的平方,7分別對(duì)應(yīng)什么圖形?

    生2:4的平方對(duì)應(yīng)整個(gè)大正方形的個(gè)數(shù),3的平方對(duì)應(yīng)除了外面一圈小正方形,里面所有小正方形的個(gè)數(shù),7指的是最外面一圈正方形的個(gè)數(shù)。

    師:請(qǐng)繼續(xù)計(jì)算:32-22,22-12。

    生3:32-22=5,22-12=3。

    師:那么52-42呢?請(qǐng)問這個(gè)圖上有“5的平方”和“4的平方”嗎?你能想象出算式與圖形之間的聯(lián)系嗎?

    生4(上臺(tái)手指圖形):增加了大正方形外面的一圈,正方形的個(gè)數(shù)表示5的平方;原來大正方形內(nèi)正方形的個(gè)數(shù),表示4的平方;外面一圈正方形個(gè)數(shù)表示9個(gè)。

    師:看看這四道算式,你有沒有發(fā)現(xiàn)其中存在著什么規(guī)律?

    生5:42-32=7,7=(4+3);32-22=5,5=(3+2);22-12=3,3=(2+1)。

    師:你能指一指4+3,3+2,2+1各表示哪里的圖形嗎?

    (生5上臺(tái)指4+3,3+2,2+1所表示的圖形,其余學(xué)生也用手書空比劃)

    師:根據(jù)這一規(guī)律,你能計(jì)算1002-992等于幾,并想象算式與圖形之間的聯(lián)系嗎?

    【賞析】要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,還要完成形對(duì)數(shù)的反哺,搭建從形到數(shù)的“玄關(guān)墻”。“數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生去探索規(guī)律,而“形”的出現(xiàn)提高了學(xué)生探索規(guī)律的效率。先讓學(xué)生計(jì)算42-32,32-22,22-12分別等于幾,并找一找所有數(shù)字分別對(duì)應(yīng)什么圖形,巧妙借助圖形幫助學(xué)生理解算式中數(shù)的含義,為探索“數(shù)”的規(guī)律做好“形”的鋪墊;接著學(xué)生找一找四道算式的規(guī)律,指一指“數(shù)”規(guī)律背后隱藏的圖形,借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)規(guī)律具體形象化,數(shù)形對(duì)照,算式與圖形一一對(duì)應(yīng),培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)與形的對(duì)應(yīng)能力。如此教學(xué),學(xué)生體會(huì)“數(shù)中思形”,更加深刻地感悟“以形解數(shù)”,再根據(jù)算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并用圖形來表達(dá)、驗(yàn)證規(guī)律,有利于學(xué)生反思建構(gòu),實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補(bǔ)、相輔相成。

    三、數(shù)形互補(bǔ)

    師:這個(gè)圖形的涂色部分占整個(gè)正方形的幾分之幾?請(qǐng)用算式表示。(出示圖4)

    生1:[12]+[14]=[34],涂色部分占整個(gè)正方形的[34]。

    師:這里通過簡(jiǎn)單的計(jì)算就能得出結(jié)果,如果再加一塊涂色部分呢?請(qǐng)你用一道算式來表示,并計(jì)算出結(jié)果。(出示圖5)

    生2:[12]+[14]+[18]=[78],涂色部分占整個(gè)正方形的[78]。

    師:這個(gè)[12]+[14]+[18],能通過計(jì)算得到[78],那么,你能聯(lián)系圖形,通過其他更簡(jiǎn)單的方法來說一說嗎?

    生3:將整個(gè)圖形設(shè)為“1”,這個(gè)空白部分表示[18],涂色部分也可以表示1-[18]=[78],因此:[12]+[14]+[18]=1-[18]=[78]。

    師:這位同學(xué)通過聯(lián)系圖形,從不同的視角解釋計(jì)算的結(jié)果,想法更加巧妙。如果這個(gè)圖形不斷增加,你能寫出一個(gè)算式,并很快得出計(jì)算結(jié)果嗎?請(qǐng)?jiān)囍鴮懸粚?。(出示圖6)

    生4:[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

    師:你是如何快速知道計(jì)算結(jié)果是[6364]?

    生4:因?yàn)樽詈蟮囊粔K空白部分為[164],那么,涂色部分只要1-[163]=[6364]就是各個(gè)涂色部分之和。

    【賞析】數(shù)的運(yùn)算離不開形的支撐,形的存在是讓學(xué)生更加理解數(shù)的規(guī)則與運(yùn)算方法。如果說“寓數(shù)于形”是順向思維,那么“以形解數(shù)”就是逆向思維。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中,學(xué)生通過觀察圖形列出算式并計(jì)算結(jié)果,即把形的直觀描述與數(shù)的精確刻畫相結(jié)合體現(xiàn)“形中有數(shù)”,再利用計(jì)算結(jié)果聯(lián)系圖形找到更簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法,發(fā)展到了“以數(shù)釋形”。通過圖形不斷增加,設(shè)置“你能寫出一個(gè)算式,并比較快地得到計(jì)算結(jié)果嗎?你是如何快速知道計(jì)算結(jié)果是[6364]”這幾個(gè)問題,讓學(xué)生反思數(shù)與形的關(guān)系,進(jìn)而在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中體會(huì)到:如果沒有直觀圖形作思考的載體,學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)和理解規(guī)律;只通過圖形,不借助算式也難以建立計(jì)算結(jié)果與算式之間的聯(lián)系,從而在形對(duì)數(shù)的直觀性、數(shù)對(duì)形的深刻性兩方面,構(gòu)筑起數(shù)形結(jié)合的“承重墻”,發(fā)揮了數(shù)形互補(bǔ)的作用。

    【作者簡(jiǎn)介】裘一能(2002— ),男,漢族,浙江嵊州人,現(xiàn)就讀于紹興文理學(xué)院,小教專業(yè);裘迪波(1977— ),男,漢族,浙江嵊州人,現(xiàn)就職于浙江省嵊州市教育體育局教研室。

    (責(zé)編 楊 春)

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