始于猜想·行于探究·終于建模

【摘要】本文以人教版“雞兔同籠”問題教學(xué)為例，從三個(gè)層面溝通聯(lián)系，幫助學(xué)生提升思維能力，即溝通列表與假設(shè)的聯(lián)系，先假設(shè)全是雞或者全是兔，再比較調(diào)換;溝通畫圖與假設(shè)的聯(lián)系，借助直觀的圖示解釋抽象算式的算理;溝通三種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示其本質(zhì)上都是“假設(shè)—比較—調(diào)換”的思維方式，突出假設(shè)思想。

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠 溝通聯(lián)系 假設(shè)思想

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）29-0078-04

“雞兔同籠”問題出自《孫子算經(jīng)》，是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，長期以來被用作學(xué)生思維訓(xùn)練的經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容。課堂上，學(xué)生能仿照例題有序地分析，面對(duì)問題也能對(duì)答如流，但在解決問題時(shí)依然出現(xiàn)兩點(diǎn)尷尬。尷尬一：依靠記憶和模仿。比如假設(shè)是雞（兔），學(xué)生知道求出來的分別是兔（雞），只知套用算法而不知其因，不能遷移解決生活中的類似問題。尷尬二：知識(shí)理解缺乏深度。如學(xué)生沒有真正理解畫圖法、列表法、假設(shè)法三種方法的內(nèi)在聯(lián)系，知識(shí)呈碎片狀。面對(duì)這些尷尬，筆者不禁深思：問題究竟出在哪里？以下，筆者試圖從教材比較分析、學(xué)生認(rèn)知分析兩個(gè)緯度出發(fā)，從問題解決教學(xué)的角度，對(duì)人教版“雞兔同籠”問題教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理與思考。

一、構(gòu)思：“雞兔同籠”教材比較的啟示

教材是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)的顯性載體，不僅承載了輸送基本知識(shí)和技能的任務(wù)，而且包含了一定的數(shù)學(xué)思想與方法。筆者嘗試從不同版本教材“雞兔同籠”問題的比較中，分析教材編排背后隱藏的理念與思考，以期為改進(jìn)“雞兔同籠”問題的教學(xué)預(yù)設(shè)提供理論支撐。

（一）多版本教材對(duì)比解讀

多版本研讀“雞兔同籠”問題的編排，主要有以下兩方面的變化。

1.教學(xué)內(nèi)容的編排順序存在明顯差異

從教材編排的順序看，《雞兔同籠》這一教學(xué)內(nèi)容被安排在不同的年級(jí)中（如表1）。從表1中可以看出，“雞兔同籠”內(nèi)容所涉及的教學(xué)對(duì)象中，年級(jí)最低的是二年級(jí)學(xué)生，最高的是六年級(jí)學(xué)生，年級(jí)跨度較大。

2.例題所滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性

各版本教材“雞兔同籠”例題中所滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性。從表1可以看出，由于教材編寫的年級(jí)不同，學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)不同，不同版本教材例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現(xiàn)出多樣性的特點(diǎn)。

（二）教材變與不變的啟示

1.教材編排求“同”存“異”

結(jié)合教材及比較表1，主要可以發(fā)現(xiàn)以下一些特點(diǎn)：

（1）思想一致。各版本教材基本都包括了“猜想—比較—推理—調(diào)整”的過程，采用“由簡單到一般，具體到抽象”的思維模型。

（2）策略聚焦?！傲斜矸ā笔歉靼姹窘滩亩疾捎玫慕鉀Q方法。

（3）方法互通。不同版本教材例題所要滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性，但各種方法之間互通，在教學(xué)中應(yīng)將“畫圖法與列表法”“列表法與假設(shè)法”等有機(jī)結(jié)合。

2.求“同”存“異”探教法

比較6種不同版本的教材可知：“雞兔同籠”這道古題適用于小學(xué)階段的各個(gè)年級(jí)，但由于各版教材的教學(xué)定位不同，解決問題的方法也不盡相同。由此引起筆者思考：學(xué)生的思維起點(diǎn)在哪里？如何確定某一種數(shù)學(xué)思想為教學(xué)的核心思想？怎樣讓“雞兔同籠”問題應(yīng)用于生活實(shí)際，構(gòu)建問題模型思想呢？

基于上述分析與思考，筆者設(shè)計(jì)如下實(shí)施路徑：以列表法為平臺(tái)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷猜測、比較的思維過程，感受規(guī)律;依照規(guī)律，小組合作探究假設(shè)法;結(jié)合畫圖進(jìn)一步幫助學(xué)生直觀理解數(shù)量變化規(guī)律及調(diào)整辦法;溝通三種方法的內(nèi)在聯(lián)系，建立問題模型。（如圖1，見下頁）

二、實(shí)踐：“雞兔同籠”課堂實(shí)踐的變革

“雞兔同籠”問題不僅存在知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，還存在著一定的知識(shí)“序列”，這種“序列”既有知識(shí)的邏輯之序，也有學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展之序。依循學(xué)生的認(rèn)知之“序”，筆者設(shè)計(jì)如下實(shí)施路徑。

（一）猜想——感悟化歸思想

一個(gè)“適當(dāng)?shù)膯栴}”能引領(lǐng)學(xué)生深入地思考。教材中編排了“雞兔同籠”這個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，不僅讓學(xué)生感受我國數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長，而且理解了“化繁為簡”的思想。

1.學(xué)習(xí)古題，感受數(shù)學(xué)文化

【教學(xué)片段1】

教師用多媒體演繹主題圖（如圖2），學(xué)生模仿圖中孩子冥思苦想的畫面，有感情地朗讀：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各有幾何？”學(xué)生品讀文言文中“雉”“足”“幾何”所蘊(yùn)含的現(xiàn)代文意譯，還有每只兔、每只雞“腳數(shù)”的生活常識(shí)等。

教學(xué)運(yùn)用多媒體演繹主題圖中的生動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生模仿畫面有感情地朗讀，感受這段文言文的內(nèi)在含義、文言文之美，激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣。

2.經(jīng)歷猜想，體會(huì)化繁為簡

“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，對(duì)學(xué)生經(jīng)歷猜測、驗(yàn)證的過程提出了挑戰(zhàn)，經(jīng)過幾次簡單的猜測和數(shù)據(jù)調(diào)整，學(xué)生發(fā)現(xiàn)仍然不能得到正確的結(jié)果，體會(huì)從簡單問題入手的必要性，初步感受“化繁為簡”的思想。

【教學(xué)片段2】

（前面學(xué)生已經(jīng)理解了古題的意思，并獲取相關(guān)信息：雞和兔一共有35只，它們的腳一共有94只。）

師：這個(gè)問題你能解決嗎？你準(zhǔn)備怎樣解決？

生1（小聲）：猜一猜吧！

師：“猜一猜”也是一種方法。

生2：它們一共有35只。

生3：如果一共有94只腳，這樣就猜對(duì)了。

師：古人說，天下難事始于易。我們不妨從簡單的數(shù)據(jù)入手，尋找解決問題的方法。

教師順勢出示例1：

課件呈現(xiàn)：籠子里有若干只雞和兔，從上面看有8個(gè)頭，從下面數(shù)有26只腳，雞和兔各有幾只？

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，降低難度，把原題改為學(xué)生更容易理解的問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生從簡單的問題開始經(jīng)歷猜測結(jié)果、嘗試調(diào)整得到正確結(jié)論的過程，逐步掌握“化繁為簡”的方法?，F(xiàn)以示例1為例進(jìn)行講解。

（二）列舉——促進(jìn)邏輯思維

經(jīng)過初期猜想與調(diào)整，引發(fā)學(xué)生思考“怎樣讓猜想更有序”，找到逐一列舉的方法，跳躍列舉或取中列舉，直到頭和腳的總數(shù)符合題目信息，讓學(xué)生學(xué)會(huì)有序思考，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性和邏輯性。

1.借助列表，學(xué)會(huì)有序思考

學(xué)生從最初的隨機(jī)猜測中，對(duì)頭數(shù)與腳數(shù)的對(duì)應(yīng)變化有了一些感悟，但因猜測的無序性容易重復(fù)或遺漏，從而順勢推出列表法，讓猜測從“無序”走向“有序”。

【教學(xué)片段3】

師：剛才同學(xué)們有各種猜法，聽起來比較混亂，也不知道是否重復(fù)和遺漏。該怎么猜呢？你們可以和同桌合作，把想法有序地填在下表中嗎？（學(xué)生合作完成表格2，匯報(bào)。）

生1：我們從“一共有8只雞”開始猜起，當(dāng)有8只雞時(shí)，兔有0只，腳有16只。接下來雞變成7只，兔有1只，合起來是8只，腿有18只，依次是……

師：觀察這張表格，你們還有什么問題嗎？

師（小結(jié)）：要有序地思考，就要把每一種情況都考慮到，雖然這種情況不太可能出現(xiàn)，但不能否定其存在的可能，像這樣把每一種情況都有序地列舉出來的方法，就叫列舉法。

2.探尋規(guī)律，鋪就假設(shè)推理

運(yùn)用有序列表的方法，可讓學(xué)生經(jīng)歷逐一調(diào)整數(shù)據(jù)變化的過程，掌握列表法的規(guī)律，為后面的探究假設(shè)法做好鋪墊。

【教學(xué)片段4】

師：再次觀察這張表格，有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)雞減少1只，兔子就增加1只，腳的只數(shù)會(huì)增加2只。

師：為什么每次腳的只數(shù)會(huì)增加2只呢？

生2：雞減少1只，少了2只腳，兔多了1只，多了4只腳，這樣總數(shù)就增加了2只腳。

生3：1只兔換成1只雞，腳就減少2只。

師：如果雞和兔腳的總只數(shù)比26少，那就要讓腳的只數(shù)多一些，并不斷地調(diào)整。

生4：把里面的雞換成兔。

生5：如果雞和兔腳的總只數(shù)比26多，要讓腳的只數(shù)少一些，可以把里面的兔換成雞。

生6：還可以全部猜成雞，然后根據(jù)規(guī)律把雞和兔換一換，讓腳的只數(shù)達(dá)到26只就可以了。

列表法讓學(xué)生不斷嘗試列舉各種情況，累積猜測和推理的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)有序思考的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)列表法的規(guī)律，為后面的探究假設(shè)法學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（三）假設(shè)——提升推理能力

假設(shè)法是解決“雞兔同籠”問題的一般方法，更具有思維的邏輯性和推理性，解題過程需要經(jīng)歷“假設(shè)—比較—推理—調(diào)整”的過程。

1.合作學(xué)習(xí)，打開思路

雖然學(xué)生有了列表法猜測和推理的經(jīng)驗(yàn)，基于四年級(jí)學(xué)生邏輯思維連貫性的不足，可以通過小組合作和“小錦囊”提示，幫助學(xué)生打開思路。

【教學(xué)片段5】

師：根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)同學(xué)們每四人小組合作猜測其中一種情況，然后調(diào)整腳的只數(shù)，再來解決這道題。當(dāng)你們遇到困難時(shí)，可以借助“小錦囊”的提示哦！

[小錦囊：

1.你猜測的是怎樣一種情況，腳共有多少只？

2.腳的總數(shù)和要求比起來多了還是少了？

3.你準(zhǔn)備怎樣調(diào)整？需要調(diào)整幾次？

4.調(diào)整后，雞、兔各有幾只？

5.能列出算式嗎？ ]

2.經(jīng)歷“假設(shè)”，培養(yǎng)推理能力

學(xué)生充分經(jīng)歷“假設(shè)—比較—推理—調(diào)整”的解答過程，不斷完善思路，能夠培養(yǎng)邏輯推理能力。

【教學(xué)片段6】

生1：我們這組猜測有4只雞、4只兔，一共有24只腳。跟26只腳比起來少了2只腳，就把其中一只雞換成兔，多了2只腳，剛好26只腳。這樣雞有3只，兔有5只。

師：能列出算式嗎？

生2：4×2+4×4=24（只），26-24=2（只），4-1=3（只），4+1=5（只）。

師：大家還有其他的方法嗎？

生3：我們假設(shè)全是雞。

假設(shè)全是雞：2×8=16（只） 26-16=10（只） 4-2=2（只）

兔的只數(shù)：10÷2=5（只）（差的10只腳要換5次，也就是放進(jìn)5只兔）

雞的只數(shù)：8-5=3（只）

生4：我們假設(shè)全是兔……

教師提供“小錦囊”幫助小組合作分析，學(xué)生遵循規(guī)律充分經(jīng)歷嘗試、分析、再嘗試的探索歷程，逐步掌握假設(shè)法。這不僅體現(xiàn)了新課標(biāo)要求合作學(xué)習(xí)、互動(dòng)交流、將課堂交給學(xué)生的理念，還揭示了列表法與假設(shè)法之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（四）求聯(lián)——突出假設(shè)推理

從列表法的規(guī)律探索到假設(shè)法的推理，揭示了列表法與假設(shè)法之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生借助畫圖直觀地理解“假設(shè)—比較—推理—調(diào)換”的思維過程，從假設(shè)的角度把三種方法融會(huì)貫通。

1.數(shù)形結(jié)合，直觀理解推理

實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合能讓學(xué)生的思考更為直觀，啟發(fā)學(xué)生用畫圖直觀地理解假設(shè)法的推理、調(diào)換過程，讓抽象算理更加形象、更易于理解。

【教學(xué)片段7】

師：誰能用畫圖法解決問題？

生1（邊畫邊講）：先畫出8只雞，每只雞有2只腳，一共16只腳，可實(shí)際上有26只腳，少了10只。接著就可以把雞換成兔，換一只兔就添上2只腳，10只腳就需要換成5只兔。（如圖3）

師：你剛才畫圖時(shí)，為什么先畫出8只雞呢？

生1：我也是假設(shè)全是雞。

師：可見，畫圖法和假設(shè)法盡管方法不同，但是道理是相通的。

2.反思求聯(lián)，聚焦假設(shè)方法

引導(dǎo)學(xué)生“比較”和“反思”列舉、假設(shè)、畫圖三種方法的“同與不同”，追溯每種方法的思考起點(diǎn)，溝通內(nèi)在聯(lián)系，揭示其本質(zhì)都是“假設(shè)—比較—調(diào)換”的思維方式。

【教學(xué)片段8】

師：同學(xué)們用列表、畫圖、假設(shè)三種方法解決了問題。那么，這三種方法之間有沒有區(qū)別與聯(lián)系呢？

生1：列舉法是從8只雞和0只兔開始列舉;假設(shè)法是從假設(shè)全是雞開始計(jì)算;畫圖法是從8只全是雞開始畫。

生2：我認(rèn)為列舉法和畫圖法也都是先假設(shè)的。

師：其實(shí)畫圖、列表、假設(shè)這三種方法本質(zhì)上是一致的，都是假設(shè)法的不同體現(xiàn)，都要經(jīng)歷“假設(shè)—比較—調(diào)換”這樣一種循環(huán)往復(fù)的思維過程。

溝通三種方法的內(nèi)在聯(lián)系，其實(shí)質(zhì)都是“假設(shè)—比較—調(diào)換”循環(huán)往復(fù)的思維過程。由此，引導(dǎo)學(xué)生把看似不相同的方法化歸為一般方法，通過對(duì)比、梳理，讓數(shù)學(xué)知識(shí)從“厚”到“薄”，更具系統(tǒng)性。

（五）遷移——建構(gòu)模型思想

“雞兔同籠”問題突出的思想就是假設(shè)推理，本質(zhì)上是“假設(shè)—比較—調(diào)換”的思維方式。教師可以將學(xué)生初步感悟的“雞兔同籠”問題數(shù)學(xué)模型，演繹到各種生活情境中，在解決新問題時(shí)實(shí)現(xiàn)自主遷移，進(jìn)一步促進(jìn)模型思維內(nèi)化。

1.模型演繹，解決具體問題

【教學(xué)片段9】

（1）解決古算題，重點(diǎn)追問“假設(shè)全是雞，為什么先求出的是兔的只數(shù)”和“假設(shè)全是兔，為什么先求出的是雞的只數(shù)”。

（2）“龜鶴算”問題。

師：“龜鶴”問題跟“雞兔”問題有聯(lián)系嗎？“龜鶴算”問題是從“雞兔同籠”問題演變來的。其實(shí)“雞兔同籠”只是這類問題的一個(gè)統(tǒng)稱，生活中有許多這類“雞兔同籠”的問題，也能用上今天學(xué)習(xí)的方法去解決。請(qǐng)看下面的問題：

①三輪車和自行車共10輛，共有23個(gè)輪子。三輪車和自行車分別有多少輛？

②光明小學(xué)“紅領(lǐng)巾”小分隊(duì)12人參加植樹活動(dòng)，共栽了32棵樹。男生每人栽3棵樹，女生每人栽2棵樹，男、女生各有幾人？

從“雞兔同籠”中感悟的問題模型，演繹到具體的實(shí)際問題情境中，進(jìn)一步明確“雞兔同籠”問題的實(shí)質(zhì)。

2.內(nèi)化模型，建立數(shù)學(xué)思想

教師引導(dǎo)學(xué)生將“雞兔同籠”問題模型，遷移到解決各種具體實(shí)際問題中，引領(lǐng)學(xué)生思維不斷走向深入。在解決問題的過程中，學(xué)生的思維進(jìn)一步發(fā)展，逐步從問題解決走向思維建構(gòu)。

三、追尋：“雞兔同籠”教學(xué)引發(fā)的思考

“雞兔同籠”問題的教學(xué)實(shí)踐與思考，序列建構(gòu)合理、方法各有側(cè)重，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（一）溝通聯(lián)系，思維融通，促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)

針對(duì)學(xué)生知識(shí)內(nèi)容碎片化，溝通畫圖、列表、假設(shè)三種方法的內(nèi)在聯(lián)系，從方法多樣走向方法互通，引導(dǎo)學(xué)生建立融通的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.學(xué)習(xí)內(nèi)容：從“孤立碎片”走向“聯(lián)系整合”

對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)是從點(diǎn)狀開始，當(dāng)學(xué)生完成一部分知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)之后，教師就要引導(dǎo)他們用聯(lián)系整合的觀點(diǎn)建構(gòu)知識(shí)。用畫圖、列表、假設(shè)三種不同的方法解決“雞兔同籠”問題，其方法樣態(tài)和方式有所不同，知識(shí)呈碎片狀。但假設(shè)法只是列表法中的特殊情況，假設(shè)全是雞或全是兔;畫圖法則是用直觀的方式呈現(xiàn)列表法、假設(shè)法的思考過程。對(duì)此，教師可以通過對(duì)知識(shí)梳理整合、建立聯(lián)系與融通，使教學(xué)從孤立碎片走向聯(lián)系整合，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.知識(shí)結(jié)構(gòu)：從“要素溝通”走向“模型建構(gòu)”

將“聯(lián)系”的觀點(diǎn)貫穿教學(xué)全過程，可以將各知識(shí)要素聯(lián)結(jié)起來，在聯(lián)系建構(gòu)中建立起數(shù)學(xué)模型。通過溝通畫圖、列表、假設(shè)三種方法的內(nèi)在聯(lián)系，感悟初步的問題模型;從初步感悟的數(shù)學(xué)模型演繹，再到具體的各種生活情境中解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主遷移，從而由要素溝通過渡到模型構(gòu)建。

（二）突出思維，問題解決，促進(jìn)思維建構(gòu)

針對(duì)學(xué)生不能遷移解決生活中類似“雞兔同籠”的問題，教師可以將問題模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問題情境中，借助解決生活中的實(shí)際問題強(qiáng)化模型思維，促進(jìn)思維建構(gòu)。

1.情境遷移：從“舉一反三”走向“舉三反一”

“舉三反一”是指問題解決后的理解、感悟、抽象、概括，形成某一種數(shù)學(xué)思想方法?！耙弧笔侵噶?xí)得問題解決的一種方法，“三”用習(xí)得的方法遷移到相似情境中解決一類問題。從雞兔同籠中習(xí)得的基本假設(shè)，用推理方法解決生活中各種“雞兔同籠”的問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。學(xué)生在解決各種問題的過程中完善方法，強(qiáng)化基本的問題模型。

2.認(rèn)知體驗(yàn)：從“問題解決”走向“思維建構(gòu)”

教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間之后會(huì)將知識(shí)遺忘，但運(yùn)用學(xué)習(xí)到的思想方法，對(duì)解決具體實(shí)際問題和提升思維品質(zhì)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義;同時(shí)通過解決生活中“雞兔同籠”這一類問題，在解決生活實(shí)際問題中內(nèi)化基本的數(shù)學(xué)模型，從而逐步從解決問題走向思維建構(gòu)。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)從教材比較分析、學(xué)生認(rèn)知分析兩個(gè)緯度出發(fā)，從問題解決教學(xué)模式的角度，對(duì)人教版“雞兔同籠”問題做了系統(tǒng)的梳理與思考，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)揮教育價(jià)值。

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【作者簡介】張燕萍（1970— ），浙江杭州人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于浙江省杭州市余杭區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 楊 春）