一類廣義KdV-mKdV方程新的精確解

郭春曉，郭艷鳳

（1.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院，北京 100083；2.廣西科技大學(xué) 理學(xué)院，廣西 柳州 545006；3.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

在數(shù)學(xué)物理、大氣海洋和其他應(yīng)用科學(xué)的各個分支中，存在著許多由非線性偏微分方程描述的混沌現(xiàn)象。某些非線性偏微分方程精確解的表達(dá)形式對解釋相應(yīng)的混沌現(xiàn)象具有重要意義。到目前為止，已經(jīng)有一些有效方法可得到具體的精確解形式，例如Painleve分析法［1］、back lund變換法［2-3］、Hirota雙線性變換法［4］、逆散射法［5］、tanhcoth方法［6-7］、G′／G展開法［8-9］、擴(kuò)展的雙Darboux變換法［10］等。然而，這些方法在應(yīng)用中有著不同的限制條件，一般情況下沒有一個通用方法可以求解所有的非線性偏微分方程。通過改進(jìn)輔助的常微分方程和相應(yīng)的待定函數(shù)的表示形式推廣和改進(jìn)G′／G方法［11］，即擴(kuò)展的G′／G展開法，可以得到更多的精確解形式。本文主要利用擴(kuò)展的G′／G展開法討論廣義KdV-mKdV方程的精確解形式。

廣義KdV-mKdV方程［12］為

其中，α，β，γ，ε為實數(shù)。這個方程是物理學(xué)許多分支中重要的一類模型，描述了一維非線性晶格中部分有界波在簡諧力作用下的傳播，特別描述了等離子體物理中無Landau阻尼的小振幅離子聲波的傳播，它也被用來解釋固體物理中熱量通過氟化鈉單晶的傳播。近年來許多研究者對其進(jìn)行了研究［12-15］，并得到了豐富的精確行波解，包括雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解。在極限情況下，這些解退化為相應(yīng)的孤立波解和激波解。本文主要用擴(kuò)展的G′／G展開法研究廣義KdV-mKdV方程的混沌現(xiàn)象，并得到了一些新的精確解。

1 預(yù)備知識

通常情況下，以常微分方程

為基礎(chǔ)，其中，λ和μ為任意常數(shù)。利用G′／G展開法研究某些偏微分方程，得到了具有u（ξ）＝的行波解形式，其中aN≠0，見文獻(xiàn)［8］。進(jìn)一步地，行波解的表達(dá)式可以延伸為u（ξ）＝，其中a－N和aN至少一個不為0。

近年來，某些學(xué)者通過線性常微分方程（2）引入了一種求非線性偏微分方程更多新解的有效方法，即假設(shè)解具有形式u（ξ），其中a－N和aN至少一個不為0［8，11］。在此基礎(chǔ)上，再利用新的非線性常微分方程作為輔助方程，構(gòu)造了一些非線性偏微分方程更豐富的解［11］，該方法可以看作是原展開法的推廣。

這個新的非線性常微分方程可以寫成

其中，A，B，C，E為待定參數(shù)。令G′／G＝H（ξ），當(dāng)這些參數(shù)滿足不同條件時，可以得到非線性常微分方程（3）具體解的表達(dá)形式，參見文獻(xiàn)［11］。

記M＝A－C，Ω＝B2＋4EM，Δ＝EM，

根據(jù)H（ξ）在不同條件下的表達(dá)形式，通過擴(kuò)展的G′／G展開方法可以得到更多廣義KdVmKdV方程新的精確解形式。

2 廣義KdV-mKdV方程的精確解

式（1）中，γ＝1時，廣義KdV-mKdV方程為

進(jìn)一步地，式（10）兩邊關(guān)于ξ積分可得

其中，κ為積分常數(shù)。對非線性方程（11）中的最高階導(dǎo)數(shù)項uξξ和最高階非線性項u3運用齊次平衡法，待定表達(dá)式u（ξ）＝中的最高次數(shù)N滿足等式N＋2＝3N，解可得N＝1。

令H（ξ）＝G′／G，假設(shè)方程（11）具有如下形式的解，

其中，a0，a1，a2，d為待定參數(shù)。將式（3）和（12）代入式（11），通過Maple軟件進(jìn)行計算，方程可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于（d＋H（ξ））N（N＝0，±1，±2，…）的多項式。進(jìn)一步令d＋H（ξ）的不同次數(shù)冪的系數(shù)為0，可以得到包含相關(guān)參數(shù)的代數(shù)方程組。通過Maple軟件求解這些代數(shù)方程組，可以得到如下參數(shù)之間的關(guān)系。

情形1當(dāng)A≠0，βε＞0時，

此種情況下，將上面參數(shù)關(guān)系式代入式（12）中，可得如下新精確解的表達(dá)形式

其中，ξ＝x－mt，H（ξ）分別滿足式（4）～（8），Φ＝－Cd2＋Bd＋A－E，Ψ＝B2＋4C（A－E）。當(dāng)參數(shù)滿足式（4）～（8）的條件和關(guān)系時，上述解即為新精確解形式。

情形2當(dāng)A≠0，βε＞0，C≠0，d＝B

2C≠0時，

此種情況下，將上面參數(shù)關(guān)系式代入式（12）中，可得如下新精確解的表達(dá)形式

其中，ξ＝x－mt，H（ξ）分別滿足式（4）～（8），Φ＝－Cd2＋Bd＋A－E，Ψ＝B2＋4C（A－E）。當(dāng)參數(shù)滿足式（4）～（8）的條件和關(guān)系時，上述解即為新精確解形式。

特別地，在情形2中，當(dāng)C≠0，時，所得到的解是用擴(kuò)展的展開法得到的新精確解中的特例，可明顯看到新解形式中d可以取不為0的值。

情形3當(dāng)a2＝0，A≠0，C≠0，βε＞0，B－2Cd≠0，Φ≠0，α－3βa0≠0時，有

此種情況下，將上述關(guān)系式代入式（12），得到如下新的精確解表達(dá)形式

其中，ξ＝x－mt，H（ξ）分別滿足式（4）～（8），Ψ＝B2＋4C（A－E），a1由上面的關(guān)系式?jīng)Q定。

特別地，當(dāng)α－3βa0＞0，A＞0時，參數(shù)關(guān)系式可簡化為

3 結(jié)果分析

根據(jù)情形1中解的5種情況圖形分析解的主要結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。情形1中，如果可以得到如下具體解的形式。

當(dāng)B≠0，Ω＞0時，取

于是有

利用Map le可以得到解u11的圖形，如圖1所示。從圖1可以看出，短時間內(nèi)，廣義KdV-mKdV的孤波解主要出現(xiàn)在小的窄區(qū)域內(nèi)，可能會發(fā)生怪波的突變情況。從解的表達(dá)形式看，當(dāng)分母趨于0時，會出現(xiàn)爆破現(xiàn)象。

圖1 B≠0，Ω ＞0時u11的圖形Fig.1 Solution u11 when B≠0，Ω ＞0

類似地，當(dāng)自由參數(shù)為不同條件下的值時，都可以得到相應(yīng)解的具體形式。下文只給出相應(yīng)的參數(shù)取值情況，并描述相關(guān)圖形。

當(dāng)B≠0，Ω＜0時，取

ε＝β＝－1，A＝2，α＝B＝C＝E＝d＝C2＝1，Ω＝B2＋4E（A－C）＝－3＜0，C1＝利用Map le可以得到解u12的圖形，如圖2所示。從圖2可以看出，較短時間內(nèi)，廣義KdV-mKdV mKdV的周期解出現(xiàn)在比較大的區(qū)域內(nèi)。破壞特性在一定時期內(nèi)可能是漸近的、周期性的。而爆炸現(xiàn)象的出現(xiàn)和情形1原因相同。

圖2 B≠0，Ω ＜0時u12的圖形Fig.2 Solution u12 when B≠0，Ω ＜0

當(dāng)B≠0，Ω＝0時，取ε＝β＝－1，B＝C＝2，α＝A＝E＝C2＝1，d＝C1解u13的圖形參見圖3。從圖3可以看出，短時間內(nèi)，廣義KdV-mKdV的有理解在小區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)，怪波的破壞性發(fā)生很明顯，并且在整個區(qū)域內(nèi)以對稱形式不斷發(fā)生，引起爆破現(xiàn)象。

圖3 B≠0，Ω＝0時u13的圖形Fig.3 Solution u13 when B≠0，Ω＝0

當(dāng)B＝0，Δ＝E（A－C）＞0時，取ε＝β＝－1，A＝2，α＝C＝E＝C2＝1，d＝C1解u14的圖形見圖4。在此條件下，給出了廣義KdVmKdV在小區(qū)域內(nèi)的孤立波解，破壞性逐漸緩慢發(fā)生，與前面的爆破現(xiàn)象有所不同。

圖4 B＝0，Δ ＞0時u14的圖形Fig.4 Solution u14 when B＝0，Δ ＞0

當(dāng)B＝0，Δ＝E（A－C）＜0時，取ε＝β＝－1，A＝－2，α＝C＝E＝C2＝1，d＝C1解u15的圖形見圖5。廣義KdV-mKdV在區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)周期解的形式，破壞特性漸近出現(xiàn)，并具有一定的周期性。

圖5 B＝0，Δ ＜0時u15的圖形Fig.5 Solution u15 when B＝0，Δ ＜0

同樣，其他情況下自由參數(shù)給定后，根據(jù)參數(shù)之間的關(guān)系可以得到相應(yīng)解的圖形和性質(zhì)，本文不再贅述。從這些新精確解的性質(zhì)看，都具有一定的爆破現(xiàn)象，從而在自然現(xiàn)象中特殊條件下怪波現(xiàn)象的出現(xiàn)是有一定條件的。這些解的形式對理解自然界中的怪波現(xiàn)象具有重要意義。

4 結(jié)語

本文通過擴(kuò)展的G′／G展開法，得到了一類廣義KdV-mKdV方程新的精確解形式。情形1中當(dāng)C＝0時，方程（3）化為方程（2），得到通常意義下G′／G展開法所用到的線性常微分方程解的形式。而當(dāng)C≠0，d≠0時，可以借助非線性常微分方程得到擴(kuò)展的G′／G展開方法中的待定解形式。用擴(kuò)展的G′／G展開方法所得到的解在特殊情況下包含了一般情形下的解，除此之外還得到了一些新精確解的表達(dá)形式，并解釋了部分怪波的形成機(jī)理。理論和實際計算表明，擴(kuò)展的G′／G展開方法在研究非線性偏微分方程的新精確解和怪波現(xiàn)象方面具有重要意義。

當(dāng)α＝0或β＝0時，可以將KdV-mKdV方程分別轉(zhuǎn)化為mKdV方程或KdV方程。根據(jù)上述解的表達(dá)形式，當(dāng)β→0時，選取一些適當(dāng)?shù)膮?shù)值，可以進(jìn)一步考慮mKdV方程新的精確解形式。這種計算方法可以應(yīng)用于求解更多非線性系統(tǒng)的一些新精確解形式，具有一定推廣性。