• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性的教學(xué)研究與應(yīng)用*

    2021-10-25 13:00:48毛安民
    關(guān)鍵詞:反證法編著性質(zhì)

    毛安民

    (曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

    0 引 言

    在我國的高等教育課程體系中,數(shù)學(xué)專業(yè)課程《數(shù)學(xué)分析》是一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課和入門課程; 對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)研究一直是個很重要的研究課題,究其原因在于該類課題研究涉及到《數(shù)學(xué)分析》最基本、最核心的知識點,而且此類研究往往會激發(fā)很多富有智慧的數(shù)學(xué)思想,極具啟迪意義.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的有界性定理,就是連續(xù)函數(shù)的非常重要的一條性質(zhì),該性質(zhì)的證明涉及到函數(shù)連續(xù)性、函數(shù)極限、歸結(jié)原則和反證法等若干重要知識點和證明技巧的運用,故對該性質(zhì)的證明思路和技巧的掌握,是非常重要的教學(xué)目標(biāo).

    我們列舉兩個不同的連續(xù)函數(shù)有界性定理的證明,證明分別來自于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編著的數(shù)學(xué)分析教材[1]、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系伍勝健教授編著的數(shù)學(xué)分析教材[2],后者給出的證明與復(fù)旦大學(xué)陳紀(jì)修等編著的數(shù)學(xué)分析教材[3]給出的證明如出一轍.上述3種不同的數(shù)學(xué)分析教材是目前國內(nèi)諸多高校廣為采用的教材,極具代表性.

    定理1[1]設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

    證明若不然,不妨假設(shè)f在[a,b]上無上界.那么存在xn∈[a,b],使得

    f(xn)>n,n=1,2,3,…,

    a≤xnk≤b,

    利用極限的保不等式性質(zhì)推得

    a≤x0≤b,

    故由f在點x0連續(xù),結(jié)合歸結(jié)原則導(dǎo)出

    矛盾,故原結(jié)論成立.

    上述證明所用方法為反證法,結(jié)合致密性定理、數(shù)列極限保不等式性及歸結(jié)原則等重要知識點完成了證明.下面給出有界性定理的另一種證明,該證明來自北京大學(xué)數(shù)學(xué)系伍勝健編著的數(shù)學(xué)分析教材[2].

    定理2[2]設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

    證明倘若f在[a,b]上無界,則將[a,b]等分成兩個區(qū)間,f必在其中一個區(qū)間上無界,取定這樣的一個區(qū)間并將其設(shè)為[a1,b1].同理,再將[a1,b1]二等分,f必在其中一個子區(qū)間上無界,取定這樣的一個區(qū)間將其記為[a2,b2].如此進行下去,我們得到一個閉區(qū)間列{[an,bn]},滿足

    (1)[an,bn]?[an+1,bn+1];

    (3)f在每一個[an,bn]上都無界.

    于是,由閉區(qū)間套定理知,存在唯一的ξ∈[an,bn],n=1,2,3,….再由f∈C[a,b]和ξ∈[a,b]知,存在δ>0使得f在U(ξ,δ)∩[a,b]有界.而條件(2)又蘊含著,當(dāng)n充分大時,有[an,bn]?U(ξ,δ),從而f在[an,bn] 上有界.這與條件(3)矛盾,故原結(jié)論成立.

    復(fù)旦大學(xué)陳紀(jì)修等人編著的數(shù)學(xué)分析教材[3]中對有界性定理的證明和上述證明如出一轍,也是反證法,核心思想是利用閉區(qū)間套定理獲得矛盾.

    受以上工作的啟發(fā),本文我們將給出一個新的證明思路,該證明思路的核心是確界原理的應(yīng)用,當(dāng)然也涉及到確界的一些重要性質(zhì)的運用.作為進一步的研究,我們將此新的證明思路應(yīng)用于研究連續(xù)函數(shù)的其他性質(zhì),諸如相鄰的兩個最值點區(qū)間的確定、連續(xù)函數(shù)介值定理.

    1 研究成果及應(yīng)用舉例

    下面給出本文的研究成果,一個完全不同于上述教材的有界性定理的證明.

    定理3 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

    證明由于f∈C[a,b],故根據(jù)函數(shù)在一點處連續(xù)的局部有界性性質(zhì)知,存在δ>0使得f在[a,a+δ]?[a,b)上有界.令

    E={x∈[a,b]|f在區(qū)間[a,x]上有界},

    知a+δ∈E,故E≠?.由確界原理知集合E有上確界,設(shè)supE=β,則a<β≤b.下證β∈E.由于f在β點連續(xù),故存在δ′>0使得f在[β-δ′,β]有界.存在γ∈[β-δ′,β]使得f(x)在[a,γ]上有界,從而f(x)在[a,β]上有界,故β∈E.

    下證β=b.若不然,假設(shè)β0,滿足對任意x∈[a,β],|f(x)|≤M.又由f在β點連續(xù)性知,存在δ′>0,使得f在[β,β+δ′]?[a,b]上有界.至此,知f在[a,β+δ′]?[a,b]上有界,故β+δ′≤supE=β,矛盾.故原結(jié)論成立.

    從局部出發(fā)漸變到整體,將局部性質(zhì)推演為整體性質(zhì),是上述證明的出發(fā)點和入手點.利用這一思想,我們下面研究連續(xù)函數(shù)的相鄰的兩個最值點構(gòu)成的區(qū)間問題和連續(xù)函數(shù)的介值定理的證明.

    例1 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b],m,M分別是f的最小值和最大值.則存在α,β∈,滿足

    (1)[α,β]?[a,b];

    (2)α,β或是最大值點和最小值點,或是最小值點和最大值點;

    (3)任意x∈(α,β),m

    證明由f∈C[a,b]知,f存在最大值M和最小值m,及最大值點x1和最小值點x2,f(x1)=M,f(x2)=m.不妨設(shè)x1

    E1={x∈[a,b]|f(x)=m,x1

    知x2∈E1,E1?[a,b].故E1是非空有界集合.由確界原理知,E1有下確界,令β=infE1,從而存在數(shù)列{xn′}?E1,xn′→β,n→∞.由f的連續(xù)性和歸結(jié)原理得

    f(xn′)→f(β),n→∞,

    又{xn′}?E1,得f(xn′)=m, 故f(β)=m.根據(jù)x1≤β≤x2和f(x1)=M,知x1<β,而且(x1,β) 里面再無其他最小值點.

    下面尋找β左邊的相距最近的最大值點α.令

    E2={x∈[a,b]|f(x)=M,x<β},

    知x1∈E2,E2?[a,b].故E2是非空有界集合.由確界原理知,E2有上確界,令α=supE2,從而存在數(shù)列{xn″}?E2,xn″→α,n→∞.由f的連續(xù)性和歸結(jié)原理得

    f(xn″)→f(α),n→∞,

    又{xn″}?E2,得f(xn″)=M, 故f(α)=M.根據(jù)x1≤α≤β和f(β)=m,知α<β,而且(α,β) 里面再無其他最大值點.又 由(α,β)?(x1,β),可知(α,β)里面也無最小值點.

    綜上可知,(α,β)里面沒有最大值點和最小值點,故即為所求.

    采用同樣的思想,下面來證明連續(xù)函數(shù)的介值定理.

    例2 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b],f(a)≠f(b).若μ為介于f(a),f(b)之間的任何實數(shù)(f(a)<μμ>f(b)),則至少存在一個x0∈(a,b),使得f(x0)=μ.

    證明依題意,不妨設(shè)f(a)

    下面證明x0即為所求的點.首先,根據(jù)supE=x0知,存在數(shù)列{xn}?E,使得xn→x0(n→∞).根據(jù)函數(shù)f的連續(xù)性,得f(xn)→f(x0)(n→∞).由f(xn)<μ,利用數(shù)列極限的保不等式性質(zhì)知,f(x0)≤μ.其次,接下來用反證法證明f(x0)=μ.假設(shè)f(x0)<μ, 則由函數(shù)極限的保號性性質(zhì)知,存在x′∈(x0,b),f(x′)<μ,則x′∈E且x′≤supE=x0,矛盾! 故反證假設(shè)不成立,知f(x0)=μ.

    猜你喜歡
    反證法編著性質(zhì)
    米小圈笑園
    季進編著《另一種聲音:海外漢學(xué)訪談錄》(增訂版)書影
    反證法在平面幾何中的一些應(yīng)用
    隨機變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
    汕大高教所陳小紅教授編著的編著的《潘懋元先生與汕頭大學(xué)》出版
    完全平方數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
    九點圓的性質(zhì)和應(yīng)用
    厲害了,我的性質(zhì)
    反證法與高次費馬大定理
    巧用反證法證題
    婷婷亚洲欧美| 欧美日韩一级在线毛片| 性欧美人与动物交配| 在线播放国产精品三级| 小说图片视频综合网站| 亚洲美女视频黄频| 两个人视频免费观看高清| 午夜激情欧美在线| 国产成人精品久久二区二区免费| 欧美+亚洲+日韩+国产| 亚洲av美国av| 久9热在线精品视频| 观看免费一级毛片| 亚洲成人免费电影在线观看| 在线永久观看黄色视频| 国产成人精品无人区| x7x7x7水蜜桃| 中文字幕高清在线视频| 91字幕亚洲| 天堂√8在线中文| 国产精华一区二区三区| 精品一区二区三区av网在线观看| 麻豆久久精品国产亚洲av| 香蕉av资源在线| 日本 欧美在线| 色av中文字幕| 亚洲最大成人中文| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 偷拍熟女少妇极品色| 在线免费观看不下载黄p国产 | 国产一区二区在线观看日韩 | 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 精品午夜福利视频在线观看一区| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 久久久久九九精品影院| 日韩大尺度精品在线看网址| 一区二区三区激情视频| 免费高清视频大片| 久久久国产成人免费| 午夜精品一区二区三区免费看| 在线观看免费视频日本深夜| 亚洲av免费在线观看| 日韩高清综合在线| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 精品国产亚洲在线| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| e午夜精品久久久久久久| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 99热这里只有精品一区 | 老熟妇乱子伦视频在线观看| 亚洲国产精品合色在线| 神马国产精品三级电影在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 天天添夜夜摸| 欧美成人性av电影在线观看| 香蕉国产在线看| 成人亚洲精品av一区二区| 亚洲av成人一区二区三| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 一区二区三区高清视频在线| 在线观看一区二区三区| 淫秽高清视频在线观看| 俄罗斯特黄特色一大片| 日韩欧美免费精品| 黄色片一级片一级黄色片| 亚洲男人的天堂狠狠| 一区二区三区国产精品乱码| 国产视频一区二区在线看| www日本黄色视频网| 最近视频中文字幕2019在线8| 日本一二三区视频观看| 午夜精品久久久久久毛片777| 国产成人av教育| 日本三级黄在线观看| 午夜日韩欧美国产| av福利片在线观看| 亚洲成人精品中文字幕电影| 国产一区二区激情短视频| av视频在线观看入口| 日本一二三区视频观看| 国产精品久久电影中文字幕| 亚洲人成网站高清观看| 手机成人av网站| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国产精品九九99| 国产精品久久视频播放| 成熟少妇高潮喷水视频| 国产成+人综合+亚洲专区| 一区二区三区激情视频| 午夜福利欧美成人| 一个人免费在线观看的高清视频| 亚洲精品久久国产高清桃花| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 日本三级黄在线观看| 国产精品1区2区在线观看.| 熟女人妻精品中文字幕| 老司机午夜十八禁免费视频| 亚洲avbb在线观看| 美女被艹到高潮喷水动态| 免费无遮挡裸体视频| 国产一区在线观看成人免费| 制服丝袜大香蕉在线| 最新在线观看一区二区三区| 国产精品99久久99久久久不卡| 国产精品av视频在线免费观看| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 伦理电影免费视频| 亚洲电影在线观看av| 男女床上黄色一级片免费看| 国产麻豆成人av免费视频| 麻豆一二三区av精品| 国产三级中文精品| 狠狠狠狠99中文字幕| 人妻久久中文字幕网| 白带黄色成豆腐渣| 精品乱码久久久久久99久播| 两性夫妻黄色片| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 1000部很黄的大片| av在线天堂中文字幕| 亚洲一区高清亚洲精品| 婷婷精品国产亚洲av| 国产欧美日韩一区二区三| 高清毛片免费观看视频网站| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久久久久九九精品二区国产| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 免费在线观看成人毛片| 手机成人av网站| 91麻豆精品激情在线观看国产| 午夜精品在线福利| 一个人看视频在线观看www免费 | 欧美性猛交黑人性爽| av片东京热男人的天堂| 日本成人三级电影网站| a级毛片a级免费在线| 亚洲成a人片在线一区二区| 搡老熟女国产l中国老女人| 麻豆久久精品国产亚洲av| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 丰满人妻一区二区三区视频av | 性欧美人与动物交配| 国产激情久久老熟女| 欧美一级a爱片免费观看看| 欧美乱色亚洲激情| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 香蕉av资源在线| 欧美zozozo另类| 欧美3d第一页| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 九九在线视频观看精品| 美女午夜性视频免费| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 真人一进一出gif抽搐免费| 在线播放国产精品三级| 日韩精品中文字幕看吧| 午夜福利欧美成人| 岛国在线免费视频观看| 久久久国产成人精品二区| 国产亚洲精品av在线| 99re在线观看精品视频| 国产成人aa在线观看| 特级一级黄色大片| 国产av不卡久久| 国产精品亚洲av一区麻豆| 麻豆成人av在线观看| 长腿黑丝高跟| 欧美中文综合在线视频| 欧美又色又爽又黄视频| 中亚洲国语对白在线视频| 高潮久久久久久久久久久不卡| 2021天堂中文幕一二区在线观| 亚洲国产精品成人综合色| 99热这里只有是精品50| av中文乱码字幕在线| 老鸭窝网址在线观看| 成人一区二区视频在线观看| 丰满的人妻完整版| 久久草成人影院| 国产亚洲av高清不卡| 九九热线精品视视频播放| 婷婷丁香在线五月| 国产一级毛片七仙女欲春2| 嫩草影院精品99| 亚洲国产中文字幕在线视频| 人人妻人人澡欧美一区二区| 麻豆国产av国片精品| 搞女人的毛片| 床上黄色一级片| 精品久久蜜臀av无| 午夜福利高清视频| 男女视频在线观看网站免费| 国产午夜精品论理片| 91麻豆精品激情在线观看国产| 美女 人体艺术 gogo| 欧美不卡视频在线免费观看| 国产精品av久久久久免费| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 成人av一区二区三区在线看| 嫩草影院入口| 特级一级黄色大片| 色综合站精品国产| 亚洲国产精品久久男人天堂| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| bbb黄色大片| 婷婷亚洲欧美| 亚洲无线在线观看| 天堂网av新在线| 日韩成人在线观看一区二区三区| 久久九九热精品免费| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 最新中文字幕久久久久 | 一级黄色大片毛片| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 国产高清三级在线| 久久亚洲精品不卡| 国产单亲对白刺激| 嫩草影视91久久| 色精品久久人妻99蜜桃| 欧美乱色亚洲激情| 天堂√8在线中文| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 黄色 视频免费看| 久久中文字幕人妻熟女| 久久久久免费精品人妻一区二区| 久久香蕉国产精品| xxx96com| 九九久久精品国产亚洲av麻豆 | 亚洲电影在线观看av| 我要搜黄色片| 真人做人爱边吃奶动态| 97超视频在线观看视频| 亚洲avbb在线观看| 欧美av亚洲av综合av国产av| 99久久国产精品久久久| 老汉色∧v一级毛片| 99国产精品一区二区蜜桃av| 国产亚洲精品av在线| 日韩欧美三级三区| www.精华液| 久久欧美精品欧美久久欧美| 久久久色成人| 亚洲专区国产一区二区| а√天堂www在线а√下载| 国产探花在线观看一区二区| 国产精品久久久久久精品电影| 亚洲人成伊人成综合网2020| 黄色 视频免费看| 99久久无色码亚洲精品果冻| 国产免费男女视频| 成人特级av手机在线观看| 久久伊人香网站| 2021天堂中文幕一二区在线观| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 亚洲色图av天堂| 嫩草影院精品99| 亚洲av成人精品一区久久| 91av网一区二区| 女警被强在线播放| 12—13女人毛片做爰片一| 久久亚洲真实| 天天一区二区日本电影三级| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 国产伦精品一区二区三区四那| 国产欧美日韩一区二区三| 欧美中文日本在线观看视频| 男人舔奶头视频| 俺也久久电影网| 免费看光身美女| 亚洲无线在线观看| 看免费av毛片| 97超视频在线观看视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 精华霜和精华液先用哪个| 九九热线精品视视频播放| 国产亚洲精品久久久com| 久久久精品大字幕| 亚洲精品在线美女| 国产三级黄色录像| 亚洲人成网站高清观看| 国产精品,欧美在线| 欧美一级毛片孕妇| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 桃色一区二区三区在线观看| 男人舔奶头视频| 香蕉国产在线看| 国产精品99久久99久久久不卡| 制服丝袜大香蕉在线| 中文字幕高清在线视频| 久久久久久久午夜电影| 怎么达到女性高潮| www.999成人在线观看| 在线播放国产精品三级| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 性欧美人与动物交配| 91字幕亚洲| 香蕉国产在线看| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 母亲3免费完整高清在线观看| 成人永久免费在线观看视频| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 五月玫瑰六月丁香| 国产人伦9x9x在线观看| 亚洲美女视频黄频| 国产精品 欧美亚洲| 色在线成人网| 欧美中文日本在线观看视频| 亚洲自拍偷在线| 无人区码免费观看不卡| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 美女cb高潮喷水在线观看 | 日本一二三区视频观看| 亚洲中文字幕日韩| a在线观看视频网站| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 国产精品精品国产色婷婷| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 99精品欧美一区二区三区四区| 国产精品久久电影中文字幕| 日本 av在线| 国产v大片淫在线免费观看| 日本五十路高清| 99久久国产精品久久久| 久久欧美精品欧美久久欧美| 久久久久性生活片| 最好的美女福利视频网| 免费在线观看成人毛片| 亚洲精品一区av在线观看| 久99久视频精品免费| 亚洲精品在线美女| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 全区人妻精品视频| 男人的好看免费观看在线视频| 亚洲专区国产一区二区| 性色avwww在线观看| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 观看美女的网站| 在线观看舔阴道视频| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 久久久久久久久久黄片| 精品国产乱子伦一区二区三区| 91麻豆精品激情在线观看国产| 国产精品永久免费网站| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 国产成人啪精品午夜网站| 99re在线观看精品视频| 亚洲国产中文字幕在线视频| 黄色女人牲交| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 国产私拍福利视频在线观看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 老汉色av国产亚洲站长工具| 国产精品电影一区二区三区| 在线免费观看的www视频| 色综合欧美亚洲国产小说| 午夜视频精品福利| 午夜亚洲福利在线播放| 国产成人av激情在线播放| 亚洲自拍偷在线| 给我免费播放毛片高清在线观看| 老汉色∧v一级毛片| 欧美乱妇无乱码| 久久精品91蜜桃| 久久性视频一级片| 12—13女人毛片做爰片一| av女优亚洲男人天堂 | 老司机午夜十八禁免费视频| 久久欧美精品欧美久久欧美| 首页视频小说图片口味搜索| 丁香欧美五月| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 十八禁人妻一区二区| 国产亚洲av高清不卡| 十八禁人妻一区二区| 亚洲国产高清在线一区二区三| 美女cb高潮喷水在线观看 | 美女高潮的动态| 日本五十路高清| 夜夜夜夜夜久久久久| 国产野战对白在线观看| 成人三级做爰电影| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 国产精品av视频在线免费观看| svipshipincom国产片| 丰满的人妻完整版| 久久久精品大字幕| 国产精品日韩av在线免费观看| 国产成人精品久久二区二区免费| 欧美日韩乱码在线| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 久久久久九九精品影院| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 国产淫片久久久久久久久 | 色综合亚洲欧美另类图片| 久久伊人香网站| 午夜免费观看网址| 国产探花在线观看一区二区| 中文字幕熟女人妻在线| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲欧美日韩卡通动漫| av天堂中文字幕网| 后天国语完整版免费观看| 1000部很黄的大片| 久久久久性生活片| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 国产精品 欧美亚洲| 1024香蕉在线观看| 窝窝影院91人妻| 露出奶头的视频| 久久精品国产综合久久久| 叶爱在线成人免费视频播放| 欧美不卡视频在线免费观看| 美女cb高潮喷水在线观看 | 精品午夜福利视频在线观看一区| 日本 av在线| 欧美大码av| 一二三四社区在线视频社区8| 看片在线看免费视频| 国产精品精品国产色婷婷| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 欧美zozozo另类| 麻豆成人av在线观看| 久久午夜亚洲精品久久| 国产精品影院久久| 成熟少妇高潮喷水视频| 精品乱码久久久久久99久播| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 国产精品av久久久久免费| 757午夜福利合集在线观看| 国产精品久久视频播放| 悠悠久久av| 很黄的视频免费| 亚洲成人中文字幕在线播放| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 美女黄网站色视频| 中文字幕av在线有码专区| 久久久久免费精品人妻一区二区| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 十八禁人妻一区二区| av在线蜜桃| 久久这里只有精品19| 丁香欧美五月| 最新美女视频免费是黄的| 国产成人福利小说| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 日本 欧美在线| 国产一区二区三区视频了| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲国产欧美网| 两个人视频免费观看高清| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 后天国语完整版免费观看| 神马国产精品三级电影在线观看| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 欧美黄色片欧美黄色片| 少妇的逼水好多| 90打野战视频偷拍视频| 成人永久免费在线观看视频| 18禁美女被吸乳视频| 一个人看的www免费观看视频| 欧美黑人巨大hd| 在线a可以看的网站| 香蕉国产在线看| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 欧美极品一区二区三区四区| 天堂动漫精品| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| www.www免费av| 成人av一区二区三区在线看| 中出人妻视频一区二区| 国产91精品成人一区二区三区| 成人一区二区视频在线观看| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| bbb黄色大片| 美女午夜性视频免费| 男女那种视频在线观看| 露出奶头的视频| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 麻豆成人午夜福利视频| 美女免费视频网站| 国产成人av激情在线播放| 极品教师在线免费播放| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 久99久视频精品免费| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 两个人看的免费小视频| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 黄色成人免费大全| 三级毛片av免费| 一区福利在线观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 男女之事视频高清在线观看| 国产极品精品免费视频能看的| 两人在一起打扑克的视频| 婷婷六月久久综合丁香| 国产欧美日韩精品一区二区| 99国产精品一区二区蜜桃av| 国产高清视频在线播放一区| 成人亚洲精品av一区二区| www.999成人在线观看| 又黄又粗又硬又大视频| 国产成人影院久久av| 欧美又色又爽又黄视频| 精品久久久久久久久久久久久| 色综合站精品国产| 欧美乱色亚洲激情| 久久九九热精品免费| 亚洲美女黄片视频| 男女那种视频在线观看| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 九色国产91popny在线| 舔av片在线| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 一进一出抽搐动态| 久久这里只有精品中国| 免费一级毛片在线播放高清视频| 久久亚洲真实| 嫩草影视91久久| 日本在线视频免费播放| 噜噜噜噜噜久久久久久91| av天堂中文字幕网| 99久久精品国产亚洲精品| 久久久成人免费电影| 欧美高清成人免费视频www| 色精品久久人妻99蜜桃| 欧美又色又爽又黄视频| 中文在线观看免费www的网站| 露出奶头的视频| 女同久久另类99精品国产91| 国产亚洲欧美98| 亚洲av美国av| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 后天国语完整版免费观看| 五月伊人婷婷丁香| 可以在线观看毛片的网站| 欧美在线一区亚洲| 好男人电影高清在线观看| 亚洲国产精品久久男人天堂| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 99视频精品全部免费 在线 | 18禁国产床啪视频网站| 国产亚洲精品av在线| 久久久久九九精品影院| 亚洲国产精品999在线| 国产探花在线观看一区二区| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国产精品影院久久| 九色国产91popny在线| 国产伦人伦偷精品视频| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 国产激情久久老熟女| 综合色av麻豆| 成人特级黄色片久久久久久久| 美女高潮的动态| www.999成人在线观看| 国产精品国产高清国产av| 亚洲人与动物交配视频| 国产私拍福利视频在线观看| 老司机深夜福利视频在线观看| 香蕉国产在线看| 色噜噜av男人的天堂激情| 丁香六月欧美| 日韩高清综合在线| 91av网一区二区| 99久久精品一区二区三区| 久久亚洲真实| 男女午夜视频在线观看| 怎么达到女性高潮| 国产精品 国内视频| 免费看a级黄色片| 高潮久久久久久久久久久不卡| cao死你这个sao货| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 国产精品一区二区免费欧美| 国产成人精品久久二区二区91| 又粗又爽又猛毛片免费看| 最新美女视频免费是黄的| а√天堂www在线а√下载| 国产乱人视频| av黄色大香蕉| 免费观看人在逋| 国产爱豆传媒在线观看| 一本精品99久久精品77| 我要搜黄色片| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站 | 中文字幕熟女人妻在线| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 日韩人妻高清精品专区| 中文字幕最新亚洲高清| 亚洲七黄色美女视频| 18禁观看日本| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产成人精品久久二区二区91| 波多野结衣高清无吗| 亚洲在线观看片| 日本 欧美在线| 亚洲欧美日韩无卡精品| 国产1区2区3区精品| 日韩高清综合在线| 美女午夜性视频免费| 亚洲午夜理论影院| 1024手机看黄色片| 丰满的人妻完整版| 亚洲最大成人中文|