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    廣義書本圖的BC-子樹計數(shù)及漸近密度特性分析*

    2021-10-25 12:58:32李笑笑靳夢源孫道強
    關(guān)鍵詞:子樹正則書本

    李笑笑, 靳夢源, 孫道強, 李 昊, 楊 雨②

    (①平頂山學院軟件學院,467000,河南省平頂山市;②上海交通大學數(shù)學科學學院,200240,上海市)

    0 引 言

    圖的結(jié)構(gòu)和相關(guān)拓撲參數(shù)是眾多交叉領(lǐng)域?qū)W科的重要研究問題[1-5],網(wǎng)絡特性的分析、化合物同分異構(gòu)體的分辨、分子的物理化學性質(zhì)的預測、活性影響的定量研究、材料和藥物的合成等都依賴于圖的結(jié)構(gòu)和相關(guān)拓撲參數(shù).近幾十年來,不斷的有新的拓撲指標被提出并得到研究,如距離型的Wiener指標[6]、Hosoya[7]指標、ABC(原子鍵聯(lián)通度)指標[8]、Szeged指標[9]、以及結(jié)構(gòu)型的子樹數(shù)指標[10,11](一個圖的所有非空子樹的個數(shù))和BC-子樹數(shù)指標[12](一個圖的任意兩片葉子間的距離都是偶數(shù)的子樹的個數(shù))等,其中后兩個指標相對較新,但是它們可以從一個新的維度分析圖或者化合物的結(jié)構(gòu)拓撲新特性,因此引起了國內(nèi)外學者的關(guān)注和研究.2006年Mkrtchyan[13]證明了BC-樹中存在一個最大部分適當0-1染色使得染色為0的邊形成一個最大匹配,2016年Yang 等人[14]提出了一種關(guān)于樹、單圈圖和無公共邊的雙圈圖的BC-子樹計數(shù)算法,Yang[15]等人又進一步給出了化合物分子六元素環(huán)螺鏈圖和聚苯六角鏈圖的BC-子樹數(shù)的計算方法.

    書本圖是由多個環(huán)經(jīng)過同一條邊而形成的圖,三角形書本圖是線完美圖的一個關(guān)鍵構(gòu)建模塊[16],Barioli曾用書本圖表示由具有兩個共同頂點的多個子圖組成的圖[17],它的一些拓撲特性已經(jīng)得到了研究,如書本圖的完全正矩陣問題,書本圖與堆疊書本圖的拓撲刻畫[18],書本圖的子樹計數(shù)[19],書本圖的BC-子樹計數(shù)[20]等.本文給出了廣義書本圖GB(n)(n≥2)的定義,并基于生成函數(shù)、結(jié)構(gòu)分析和矩陣映射的方法,研究了GB(n)(n≥2)的BC-子樹計數(shù)問題以及一類特殊書本圖Bn,k的BC-子樹密度的漸進特性.

    1 符號和定義

    記G=(V(G),E(G);f,g)是頂點集|V(G)|=n,邊集|E(G)|=m的一個加權(quán)圖,f為其頂點生成函數(shù),g為其邊生成函數(shù).G的所有非空無環(huán)的子結(jié)構(gòu)叫做G的子樹,令T為G的一顆含至少兩個頂點的子樹,若T的任意兩片葉子間的距離都是偶數(shù),則T被稱為G的一顆BC-子樹.本文規(guī)定f:V(G)→R×R,g:E(G)→R(其中R是一個單位元為1的交換環(huán)),即,對于任何的v∈V(G),有f(v)=(f(v)o,f(v)e),這里,f(v)o和f(v)e分別代表頂點v的奇權(quán)重和偶權(quán)重.

    另記L(G)為G的葉子集合,SBC(G)為G的所有BC-子樹的集合,S(G;v)為G的含頂點v的子樹集合,ηBC(G)為G的BC-子樹的個數(shù),并記dG(u,v)(或d(u,v),若無歧義)為G的頂點對u和v間的距離.對于任意一個頂點v和一顆子樹T1∈S(G;v),記

    SO(T1)={u|u∈V(T1)∧dT1(v,u)≡1(mod 2)},

    SE(T1)={u|u∈V(T1)∧dT1(v,u)≡0(mod 2)}.

    則對于加權(quán)圖G的一顆BC-子樹T2,定義

    BOS(T2)={v|v∈V(T2)∧dT2(v,vl)≡1(mod 2)},

    BES(T2)={v|v∈V(T2)∧dT2(v,vl)≡0(mod 2)},

    為了方便敘述,令T=(V(T),E(T);f,g)是一顆含n(n>1)個頂點的加權(quán)樹,vi是T的根節(jié)點,u≠vi是T的葉子節(jié)點且e=(u,v)為對應的懸掛邊.構(gòu)造頂點數(shù)為n-1的加權(quán)樹T′=(V(T′),E(T′);f′,g′)如下

    其中V(T′)=V(T){u},E(T′)=E(T){e},且對于任意vk∈V(T′),g′(e)=g(e)(e∈E(T′)).

    引理1.1[21]由上述符號定義,可知

    (1)

    引理1.2[14]由上述符號定義,可得加權(quán)樹T的含頂點u,v的BC-子樹生成函數(shù).

    當l為奇數(shù)時,

    (2)

    當l為偶數(shù)時,

    (3)

    (4)

    其中vl為Ts的一個葉子節(jié)點,且Vo(Ts)={v|v∈V(Ts)∧dTs(v,vl)≡1(mod 2)},Ve(Ts)={v|v∈V(Ts)∧dTs(v,vl)≡0(mod 2)}.

    圖1 廣義星形樹 圖2 廣義書本圖GB(n)(n≥2)

    定義1.6 將n+1條頂點個數(shù)均為k+2(k≥0)的路徑的兩個端點分別相連到一起,則由此形成的圖稱之為正則書本圖,記為Bn,k(n≥2;k≥0).易知,正則書本圖有k(n+1)+2個頂點和(n+1)(k+1)條邊.

    2 廣義書本圖GB(n)(n≥2)的BC-子樹

    引理2.1[21]令Pn=(V(Pn),E(Pn);f,g)為含n(n≥3)個頂點的路徑樹,頂點和邊的權(quán)重函數(shù)分別為f(v)=(0,y)(v∈V(Pn))和g(e)=z(e∈E(Pn)),則有

    (5)

    由引理2.1,不難得出如下定理.

    (6)

    (7)

    因此廣義星形樹的BC-子樹生成函數(shù)為

    (8)

    定理2.3 令GB(n)=(V(GB(n)),E(GB(n));f,g)為定義1.5所述的加權(quán)廣義書本圖,頂點和邊的權(quán)重函數(shù)分別為f(v)=(0,y)(v∈V(GB(n)))和g(e)=z(e∈E(GB(n))),則廣義書本圖的BC-子樹生成函數(shù)為

    (9)

    其中

    (10)

    (11)

    (12)

    (13)

    證明將廣義書本圖GB(n)(n≥2)的BC-子樹分為以下4類:

    (1)含u點但不含v點的BC-子樹;

    (2)含v點但不含u點的BC-子樹;

    (3)u和v兩點都含的BC-子樹;

    (4)u和v兩點都不含的BC-子樹.

    易知類(1)和類(2),即廣義星形樹含中心點vs的BC-子樹,根據(jù)公式(8),則類(1)和類(2)的BC-子樹生成函數(shù)為

    (14)

    圖4 廣義書本圖GB(2)的一個組合S0所對應的情況

    圖5 廣義書本圖GB(2)的一個組合S0所對應情況的BK×I×J的存儲

    根據(jù)上述分析,再結(jié)合公式(10)~(13)可得類(3)的BC-子樹生成函數(shù)為

    (15)

    對于類(4),易知它是n+1條路徑,則通過公式(5)可得它的BC-子樹生成函數(shù)為

    (16)

    綜合公式(14)~(16),定理得證.

    將y=1,z=1代入公式(9)~(13)可得推論1.

    推論1 廣義書本圖GB(n)(n≥2)的BC-子樹數(shù)為

    ηBC(GB(n))=FBC(GB(n);(0,1),1)=

    結(jié)合定義1.6以及公式(9)~(13)可得推論2.

    推論2 正則書本圖Bn,k的BC-子樹數(shù)為

    ηBC(Bn,k)=FBC(Bn,k;(0,1),1)=

    (17)

    根據(jù)推論2正則書本圖Bn,k(n=2,3,…,17;k=1,2)的BC-子樹數(shù)如表1所示.

    表1 正則書本圖Bn,k(n=2,3,…,17;k=1,2)的BC-子樹數(shù)

    3 正則書本圖Bn,k(n≥2;k≥0)的BC-子樹密度

    這里我們分析正則書本圖Bn,k的BC-子樹密度.易知Bn,k的頂點個數(shù)為n(Bn,k)=k(n+1)+2.給每個頂點和邊分別賦權(quán)重(0,1)和z,由定理2.3可得Bn,k的BC-子樹的邊生成函數(shù)為

    根據(jù)BC-子樹的密度定義及公式(9)~(13)與(17),可知Bn,k的BC-子樹密度為

    因此可得表2和圖6.

    表2 正則書本圖Bn,k(n=2,3,…,7;k=1,2,3,4)的BC-子樹密度

    圖6 正則書本圖Bn,k(n=2,3,…,7;k=1,2,…,6)的BC-子樹密度DBC(Bn,k)

    由表2和圖6,可以觀察出來,對于任意n∈[2,7],Bn,k的BC-子樹密度DBC(Bn,k)在k=1時取得最大值;當n∈[2,7]且取定值時,DBC(Bn,k)隨著k的增大先驟然下降,然后整體呈現(xiàn)緩增趨勢.

    4 結(jié) 論

    本文利用生成函數(shù)、結(jié)構(gòu)分析及矩陣映射的方法,得到了廣義書本圖GB(n)(n≥2)的BC-子樹生成函數(shù)和BC-子樹數(shù)的公式,并簡要分析了正則書本圖Bn,k的BC-子樹密度DBC(Bn,k)的漸進特性.此研究為探索復雜圈圖和分子的新結(jié)構(gòu)特性提供了理論基礎(chǔ).

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