對稱遲后-超前校正的一體化設(shè)計方法

張 穎，吳愛國，董瑞琦，黃 芩

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳），深圳518055）

0 引言

在單輸入單輸出系統(tǒng)的頻率設(shè)計方法中，遲后-超前校正設(shè)計是最復(fù)雜的。在頻率設(shè)計方法中，單位增益遲后校正環(huán)節(jié)主要作用于未校正系統(tǒng)的低頻段，利用遲后環(huán)節(jié)的高頻衰減功能降低系統(tǒng)剪切頻率，進而通過自身的相位儲備提高系統(tǒng)的相角裕度；而帶有增益的遲后環(huán)節(jié)則可增大系統(tǒng)的開環(huán)增益；超前環(huán)節(jié)主要作用于未校正系統(tǒng)的中頻段，通過校正環(huán)節(jié)在其高頻段的正相角提高系統(tǒng)的相角裕度［1］。由于遲后環(huán)節(jié)和超前環(huán)節(jié)作用的頻段不同，設(shè)計參數(shù)之間的影響很小，在校正設(shè)計時可以對它們分開設(shè)計?；谶@樣一種思想，很多教材在通過遲后-超前環(huán)節(jié)對系統(tǒng)校正時，都是將遲后環(huán)節(jié)和超前環(huán)節(jié)分開設(shè)計的。比較有代表性的是文獻［2］和文獻［3］。在文獻［2］中，先采用遲后校正使系統(tǒng)的剪切頻率略小于設(shè)計要求，再對遲后校正后的系統(tǒng)進行超前校正設(shè)計。在文獻［3］中，先設(shè)計超前環(huán)節(jié)滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，再設(shè)計遲后環(huán)節(jié)滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。文獻［3］在進行超前環(huán)節(jié)設(shè)計時，需要將未校正系統(tǒng)的開環(huán)增益降低以滿足剪切頻率的要求。開環(huán)增益如何降低需要試探，如果選擇的開環(huán)增益不合適，就不能設(shè)計出滿足穩(wěn)態(tài)要求的超前環(huán)節(jié)。在采用這種遲后-設(shè)計方法時，經(jīng)常需要對這個開環(huán)增益進行糾正。文獻［4］和［5］所給出的遲后-超前校正設(shè)計方法，也是先設(shè)計超前-環(huán)節(jié)再設(shè)計遲后環(huán)節(jié)，但設(shè)計思想與文獻［3］不同。在文獻［4］和［5］的超前環(huán)節(jié)設(shè)計步驟中，超前環(huán)節(jié)用于提高目標剪切頻率處的相角，并沒有使用剪切頻率的概念。

可以看到，在前面的設(shè)計方法中，沒有把超前環(huán)節(jié)和遲后環(huán)節(jié)作為一個整體。設(shè)計的主要思路是利用這兩個環(huán)節(jié)的不同作用頻段分開設(shè)計兩個部分，設(shè)計過程所付出的工作量相當(dāng)于一個遲后校正和一個超前校正的整體工作量。而且在設(shè)計過程中也存在一些人為選擇的中間變量，如文獻［2］中遲后校正后系統(tǒng)的剪切頻率的選擇，文獻［3］中進行超前校正時的開環(huán)增益的選擇。這兩個量的選擇并沒有明確的標準，主要是靠設(shè)計者的經(jīng)驗進行大致的估計，并根據(jù)校正后系統(tǒng)的性能進行調(diào)整。一般來說，很難一次設(shè)計成功。本論文將把遲后環(huán)節(jié)和超前環(huán)節(jié)作為一個整體進行考慮，先給出對稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)的頻率特性，再根據(jù)頻率特性給出遲后-超前校正的一體化設(shè)計方法。

1 對稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)的頻率特性

本節(jié)討論如下遲后-超前環(huán)節(jié)的頻率特性

在使用時，其低頻特性和高頻特性完全分開，因此有αT＜t。在此條件下，遲后-超前環(huán)節(jié)（1）的漸近對數(shù)幅頻特性?為：

由此容易得到遲后-超前環(huán)節(jié)（1）的漸近頻率特性如圖1所示?？梢钥吹?，遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）的漸近幅頻特性曲線關(guān)于對稱。進一步，若ω1和ω2是關(guān)于對稱的兩個頻率點，即。對這兩個頻率有

于是有201g|Gc（jω2）|=201g|Gc（jω1）|。這說明遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）的精確對數(shù)幅頻特性曲線201g|Gc（jω）|也是關(guān)于對稱的。遲后-超前校正環(huán)節(jié)的相頻特性為

在低頻段，主要是遲后環(huán)節(jié)起作用，相角為負值；在高頻段，主要是超前環(huán)節(jié)起作用，相角為正值。由于相頻特性的連續(xù)性，一定會存在某頻率點遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）的相角為零。相頻特性（4）的半對數(shù)曲線如圖1所示。式（4）可等價地寫為

這說明遲后超前校正環(huán)節(jié)（1）的半對數(shù)相頻特性曲線是關(guān)于點中心對稱的。關(guān)于遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）頻率特性曲線的對稱性我們有如下命題。

命題1 對于遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1），如果頻率用對數(shù)表示，則幅頻特性曲線關(guān)于直線軸對稱，相頻特性曲線關(guān)于中心對稱的。

正是引用命題1中的結(jié)論，為方便起見，我們稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）稱為對稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)的原因。對于τ＞αT的遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1），其對數(shù)幅頻特性在整個頻段是負值；其相頻特性在低頻段表現(xiàn)為遲后特性，具有負相位，在高頻段表現(xiàn)為超前特性，具有正相位。在進行設(shè)計時，遲后-超前環(huán)節(jié)（1）的低頻段和高頻段離得足夠遠，在分析遲后-超前環(huán)節(jié)（1）的最大正相角時，可以認為遲后環(huán)節(jié)所產(chǎn)生的相角是常值-Δd，此時遲后-超前環(huán)節(jié)（1）在其高頻段的相頻特性可近似表示為附近，遲后-超前環(huán)節(jié)（1）最大相角為：

考慮到超前環(huán)節(jié)中的結(jié)論，在頻率

命題2 對于α＞1的遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1），定義

則有

進一步，如果時間常數(shù)τ滿足

則遲后-超前環(huán)節(jié)（1）的最大相角φm可在ω=ωm附近取得，且有

而Δd的取值在6°～12°之間。

2 對稱遲后-超前校正一體化設(shè)計原理

第1節(jié)給出了對稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)作為一個整體的頻率性質(zhì)，在遲后環(huán)節(jié)與超前環(huán)節(jié)所在頻段離得足夠遠的情形下，給出其最大相角和取得最大相角的頻率點。由命題2可知道，對稱遲后-超前環(huán)節(jié)在其高頻段與超前環(huán)節(jié)一樣，都能提供正相角。但對稱遲后-超前環(huán)節(jié)的幅頻特性與超前環(huán)節(jié)不一樣，其幅值在整個頻段都是衰減的。在給出具體設(shè)計步驟之前，需要提及遲后-超前校正主要用于這樣一種情形：所要求的剪切頻率小于未校正系統(tǒng)的剪切頻率，并且在所要求的剪切頻率處未校正系統(tǒng)自身的相位儲備達不到所要求的相位裕度。在進行遲后-超前校正設(shè)計時，既要利用超前校正環(huán)節(jié)的相位超前功能，也要利用未校正系統(tǒng)本身的相位儲備。

我們結(jié)合圖2給出相位裕度優(yōu)先的遲后-超前校正一體化設(shè)計方法的原理。細實線是未校正系統(tǒng)G0（s）的頻率特性曲線，所要求的剪切頻率ωc小于未校正系統(tǒng)的剪切頻率，所要求的剪切頻率ωc附近未校正系統(tǒng)的相位儲備又不夠。擬采用對稱遲后-超前環(huán)節(jié)（1）對系統(tǒng)G0（s）進行校正。為達到相位裕度為γ的要求，期望由未校正系統(tǒng)自身的相位儲備γ0c和校正環(huán)節(jié)的相角φp共同提供，于是有如下關(guān)系

圖2 對稱遲后-超前校正設(shè)計原理圖

對于最小相位系統(tǒng)，γ0c滿足γ0c＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL為所要求頻率的下界。由于校正環(huán)節(jié)最優(yōu)頻率與校正后系統(tǒng)剪切頻率不一致會帶來相角損失，需要對所要求的相位裕度附加一定的裕量Δ0，于是有

將式（8）代入上式可得

令：

則有

事實上，φm即為遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）超前部分提供的相角。為了讓遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）能提供最大的相角，其近似最優(yōu)頻率ωm應(yīng)該與要求的校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc一致。在此頻率處，未校正系統(tǒng)的幅值是201g|G0（jωc）|，該幅值需要由遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）的負幅值補償，使得校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性201g|G0（jω）Gc（jω）|在ω=ωc處穿過0 dB線。在圖2中，即為表示校正后系統(tǒng)幅頻特性曲線的粗實線在ω=ωc處與0 dB線相交。由命題2知，在該頻率處，遲后-超前校正環(huán)節(jié)（1）的幅值是-101gα，于是有201g|G0（jωc）|=101gα。由此即可確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率。

根據(jù)前面的論述可以給出相位裕度優(yōu)先的遲后-超前校正設(shè)計方法設(shè)計校正環(huán)節(jié)（1）的步驟。

設(shè)計方法1：相位裕度優(yōu)先遲后-超前校正設(shè)計

第1步.根據(jù)所要求的穩(wěn)態(tài)性能指標確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。

第2步.利用已知的開環(huán)增益，繪制未校正系統(tǒng)G0（s）的Bode圖，并計算未校正系統(tǒng)的剪切頻率ωc0，相角裕度γ0和幅值裕度Lg0。

第3步.根據(jù)相角裕度的要求確定超前-遲后校正環(huán)節(jié)的α。為使相角裕度達到要求值，計算超前環(huán)節(jié)所需提供的超前相角φm，即

式中γ為要求的相角裕度；γ0c是期望未校正系統(tǒng)提供的相位儲備，其滿足γ0c＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL為所要求頻率的下界；Δ為附加角。遲后-超前校正環(huán)節(jié)的參數(shù)α由下式確定

第4步.確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc。在校正后的剪切頻率處，未校正系統(tǒng)的正幅值由遲后-超前校正環(huán)節(jié)拉回到0dB線，因此校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc由下式確定

如果求得的剪切頻率滿足要求，則進行下一步；否則返回第3步調(diào)整Δ和γL。

第5步.確定超前校正環(huán)節(jié)。讓超前校正環(huán)節(jié)取得最大值的頻率對準校正后系統(tǒng)的剪切頻率，即ωm=ωc。根據(jù)確定校正裝置的轉(zhuǎn)時間常數(shù)，進而確定超前環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

第6步.確定遲后校正環(huán)節(jié)。為了減小串聯(lián)遲后校正對系統(tǒng)相位裕度的影響，要求校正環(huán)節(jié)在剪切頻率ωc處的遲后相移在6°～12°以下，應(yīng)進而確定超前環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

第7步.檢驗系統(tǒng)的性能指標，若不滿足要求，可增大Δ的值，從第3步起重新計算。

說明1：在上面的設(shè)計方法中，附加相角Δ是考慮到遲后環(huán)節(jié)的相位延遲Δd和校正裝置的近似最優(yōu)頻率與剪切頻率ωc不一致而產(chǎn)生的附件相角Δ0兩方面的因素。如果遲后環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率之間，相位延遲Δd在6°～12°。另外，由于校正后的剪切頻率ωc比未校正系統(tǒng)的剪切頻率ωc0小。一般來說，未校正系統(tǒng)在剪切頻率ωc附近不會產(chǎn)生大的相位衰減，附加相角Δ0不用太大，甚至是0都可以。綜合兩方面的因素，附加相角Δ一般取10°～15°即可。如果選擇，可選取Δ=10°。

3 算例

以下通過一個例子說明說明該設(shè)計方法。

例1 某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求滿足下列性能指標：

（1）單位斜坡輸入r（t）=t時的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤

（2）相角裕度γ≥35°；

（3）剪切頻率ωc≥20 rad/s。

試用頻率法設(shè)計對稱遲后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)G0（s）。

第2步.在K=126的情形下，未校正系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性為

令201g|G0（jωc）|=0可以確定未校正系統(tǒng)的剪切頻率

相角裕度為

未校正系統(tǒng)是最小相位的，而且相角裕度小于零，因此是不穩(wěn)定的。

第3步.根據(jù)設(shè)計要求，校正后系統(tǒng)的剪切頻率的下界是ωcL=20rad/s，在此頻率處相位儲備為180°+∠G0（jωcL）=8.2°。取期望未校正系統(tǒng)提供的相位儲備γ0c=7°。另外，取裕量Δ=10°。為使校正后系統(tǒng)的相角裕度達到要求，超前環(huán)節(jié)應(yīng)提供的超前相角為

φm=γ+Δ-γ0c=35°+10°-7°=38°

因此遲后-超前校正環(huán)節(jié)的參數(shù)α為

第4步.按下式確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc

101gα=201g|G0（jωc）|

采用漸近幅頻特性簡單求解得ωc=24.80rad/s。滿足設(shè)計要求ωc≥20rad/s。

第5步.取ωm=ωc進行設(shè)計，超前校正環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率為

滿足設(shè)計要求。對校正前后的系統(tǒng)特性進行仿真驗證，所得到的Bode圖如圖3所示，由圖3可知加入所設(shè)計的遲后-超前校正裝置后能使原系統(tǒng)的剪切頻率減小，相位裕度增加，達到了設(shè)計要求。

圖3 相位裕度優(yōu)先對稱遲后-超前校正前后系統(tǒng)Bode圖

設(shè)計方法1是優(yōu)先考慮校正后系統(tǒng)相角裕度的要求。類似于超前校正的設(shè)計方法，也可以先考慮校正后系統(tǒng)剪切頻率的要求。這就是以下設(shè)計方法。

設(shè)計方法2：剪切頻率優(yōu)先遲后-超前校正設(shè)計

第1步.根據(jù)所要求的穩(wěn)態(tài)性能指標確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。

第2步.利用已知的開環(huán)增益，繪制未校正系統(tǒng)G0（s）的Bode圖，并計算未校正系統(tǒng)的剪切頻率ω0c，相角裕度γ0和幅值裕度Lg0。

第3步.根據(jù)設(shè)計要求確定校正后系統(tǒng)的ωc，并讓超前校正環(huán)節(jié)取最大相角的頻率對準該剪切頻率，即ωm=ωc。

第4步.根據(jù)幅值補償確定遲后-超前環(huán)節(jié)的參數(shù)α。在校正后系統(tǒng)的剪切頻率處，未校正系統(tǒng)的正幅值由遲后-超前校正環(huán)節(jié)拉回到0 dB線，因此校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc由下式確定

為滿足相角裕度的要求，需要驗證確定在此α值下，超前環(huán)節(jié)是否能提供足夠的相角。按下式計算φm

如果

式中γ為要求的相角裕度；γL是期望未校正系統(tǒng)提供的相位儲備，其滿足γL＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL為所要求頻率的下界。Δ是附加相角，一般取Δ=10°～25°。

第5步.確定超前校正環(huán)節(jié)。由第3步和第4步確定的ωm和α，根據(jù)確定校正裝置的時間常數(shù)，進而確定超前環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

第6步.確定遲后校正環(huán)節(jié)。為了減小串聯(lián)遲后校正對系統(tǒng)相位裕度的影響，要求校正環(huán)節(jié)在剪切頻率ωc處的遲后相移在6°～12°以下，應(yīng)選擇

進而確定遲后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)。

第7步.檢驗系統(tǒng)的性能指標，若不滿足要求，可增大Δ的值，從第3步起重新計算。

以下對例1中的系統(tǒng)，按照剪切頻率優(yōu)先的方法再次設(shè)計遲后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)。

例2：再次考慮例1中的系統(tǒng)和設(shè)計指標要求，設(shè)計對稱遲后-超前校正裝置。

第1步和第2步同上述的設(shè)計方法1、2.

第3步.根據(jù)設(shè)計要求取校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc=23rad/s。

第4步.由式（18）計算α，得α=5.67

第5步.超前校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率為

則超前校正裝置為：

即

簡單求解該方程可得ωc=22.11rad/s。校正后系統(tǒng)的相位裕度為

滿足設(shè)計要求。對校正前后的系統(tǒng)特性進行仿真驗證，所得到的Bode圖如圖4所示，由圖4可知加入所設(shè)計的遲后-超前校正裝置后能使原系統(tǒng)的剪切頻率減小，相位裕度增加，達到了設(shè)計要求。

圖4 剪切頻率優(yōu)先對稱遲后-超前校正前后系統(tǒng)Bode圖

該例設(shè)計的校正環(huán)節(jié)與未校正系統(tǒng)產(chǎn)生了零極點對消。

4 結(jié)語

本文分析了一類具有對稱特性的遲后-超前校正環(huán)節(jié)的頻率特性，并由此提出了兩種一體化遲后-超前校正環(huán)節(jié)設(shè)計方法。在校正環(huán)節(jié)的參數(shù)滿足一定條件下，所提出的對稱遲后-超前校正環(huán)節(jié)能在超前環(huán)節(jié)作用的頻段內(nèi)提供正的相角和負的幅值。算例驗證了所提出的遲后-超前一體化設(shè)計方法的有效性。豐富了單輸入單輸出系統(tǒng)的頻率設(shè)計方法。