“高觀點(diǎn)”視角下“帶得走”的數(shù)學(xué)課

徐妍

[摘要] 特級教師周衛(wèi)東老師對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出“高觀點(diǎn)、低結(jié)構(gòu)、中溫度”的主張。文章結(jié)合周衛(wèi)東老師“平行四邊形的面積”課例，從大問題驅(qū)動、結(jié)構(gòu)化教學(xué)、思想性包攝三個維度理解“高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)新課堂，以期能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新提供思考。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);高觀點(diǎn);帶得走

“高觀點(diǎn)”下的學(xué)科內(nèi)容是通過大問題驅(qū)動，從縱深維度遷移到寬窄維度，進(jìn)而推及到思想的高低維度，而學(xué)習(xí)方式則是通過結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)、思想性包攝等方式，在兒童的身上留下數(shù)學(xué)的印記，提供能“帶得走”的數(shù)學(xué)課。這里，帶得走的是方法、思想和數(shù)學(xué)品格。筆者結(jié)合周衛(wèi)東老師“平行四邊形的面積”一課，談?wù)勅绾卫斫狻案哂^點(diǎn)”視角下“帶得走”的數(shù)學(xué)課。

一、大問題驅(qū)動，促思維發(fā)散：從“感覺”到“說明”的數(shù)學(xué)

“高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)首先體現(xiàn)為大概念統(tǒng)領(lǐng)、大問題驅(qū)動?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”一課從大概念教學(xué)開始，以大問題驅(qū)動開展，課堂中聚焦三個話題。

話題一：如何說明案例所示平行四邊形的面積就是24平方厘米？重點(diǎn)解決探索平行四邊形面積計算的公式。話題二：所有的平行四邊形的面積都可以用底乘高來計算嗎？從一個到一類，引發(fā)學(xué)生深度思考，著重解決數(shù)學(xué)中從一般到抽象的歸納。話題三：如何理解用鄰邊相乘這種算法？之前已確認(rèn)過平行四邊形的面積計算是底×高，現(xiàn)在為何又研究鄰邊相乘？引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么現(xiàn)在不能用鄰邊相乘算面積，以后就可以利用鄰邊相乘來解決？

每個話題的背后都蘊(yùn)含著特有的數(shù)學(xué)思想，通過具體的、可研究討論的話題形式引導(dǎo)學(xué)生思考、實踐、探索，通過大問題整合我們所學(xué)的知識，把數(shù)學(xué)知識像珍珠項鏈一樣串進(jìn)來，讓思維能夠落地行走。于是，通過簡單的學(xué)材和前測充分展示出學(xué)生的真實想法和實際經(jīng)驗，反映學(xué)生的思考過程和思考痕跡。

課堂上，教師逐一展示學(xué)生在前測中出現(xiàn)的三種方法，并沒有急于讓學(xué)生回答哪個是正確的，而是提醒學(xué)生：如果你想要證明哪一種結(jié)果是對的，就要說出你的方法來。而僅有結(jié)論是不夠的，還要說明原因，研究的視角從是什么轉(zhuǎn)向為什么，聚焦平行四邊形面積的計算過程。在面積的教學(xué)中，教師充分放手，讓學(xué)生通過“割、拼、數(shù)”的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，將操作、思考、理解、表述有機(jī)結(jié)合，從而讓學(xué)生體驗到非常直觀的“轉(zhuǎn)化”感受。三個話題是整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的連心鎖，賦予數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動整體性的關(guān)鍵，教師在其中不斷添加佐料，讓學(xué)生自主烹飪出這道美食。

二、結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促思維深入：從“一個”到“一類”的數(shù)學(xué)

所謂“學(xué)科”，并不是簡單的知識和概念的累加，實際上每個學(xué)科都有自己的學(xué)科本質(zhì)以及知識體系，學(xué)科知識、學(xué)科本質(zhì)之間有著不可分割的密切聯(lián)系。在引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形的面積時，教師先引導(dǎo)學(xué)生用“割補(bǔ)法”“數(shù)格子法”等方法去說明“一個”平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算?！皠偛盼覀兺ㄟ^一個具體的例子研究，得出平行四邊形的面積和它的底和高有關(guān)。是否所有的平行四邊形面積都可以用底乘高來進(jìn)行計算呢？”從“一個”出發(fā)，準(zhǔn)備走向“一類”。學(xué)生通過已有的感覺與經(jīng)驗判斷似乎是可以的，隨即教師出示不同大小、不同形狀的平行四邊形，通過不同的變式圖形讓學(xué)生觀察并思考。一石激起千層浪，學(xué)生的思維瞬間被打開了，在腦海中想象“說明”的過程，在手指間比劃“割—補(bǔ)”的過程，隨即說明“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算。由“個”到“類”的思維過程中，教師向?qū)W生滲透了不完全歸納的思想。通過結(jié)構(gòu)化的教學(xué)幫助學(xué)生將頭腦中的學(xué)科知識建立起點(diǎn)、線、面的立體結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，形成自我再生力的開放系統(tǒng)，挖掘?qū)W科本質(zhì)特有的功能。

課堂絕不能止步于此，教師直逼核心地提出兩個問題：轉(zhuǎn)化后的長方形與原來的平行四邊形有什么聯(lián)系？平行四邊形的面積為什么可以是“底×高”？這兩個問題促使學(xué)生在平行四邊形和長方形中找到聯(lián)系與區(qū)別，找到“變”與“不變”。在引領(lǐng)學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會推理歸納，厘清平行四邊形面積計算的本質(zhì)問題，即“沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成一個長方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變”，從而幫助學(xué)生理解長方形面積計算公式與平行四邊形面積計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系：根據(jù)長方形的面積=長×寬，推出平行四邊形的面積=底×高?？梢哉f，通過合理地設(shè)計教學(xué)，使前后內(nèi)容互相蘊(yùn)含、自然推演，在具體路徑上為學(xué)生提供一個具有生命力的處于運(yùn)動中的思維網(wǎng)絡(luò)，從而深刻領(lǐng)會各個概念的實質(zhì)，掌握蘊(yùn)含在各個概念相互關(guān)系中的各種推理思維模式。質(zhì)言之，在“底×高”正確方法的背后，凝練了豐富的數(shù)學(xué)思考，最后殊途同歸。

三、思想性包攝，促思維進(jìn)階：從“錯誤”到“正確”的數(shù)學(xué)

學(xué)科思想是學(xué)科知識中的隱性內(nèi)容，是對某學(xué)科性質(zhì)、特征、基本規(guī)律的高度概括和升華，是知識“背后”的知識，是學(xué)科內(nèi)容的精華和核心。課的最后，教師又提出了“鄰邊相乘”的錯誤方法，通過動畫演示的方式讓學(xué)生明白不能用鄰邊相乘的方法來計算平行四邊形的面積的原因。學(xué)生在動畫演示的過程中，進(jìn)一步明確了當(dāng)平行四邊形的底和周長不變時，隨著高的增加，面積越來越大，一直到轉(zhuǎn)化為一個長方形時，面積最大。這樣思維進(jìn)階的過程，通過動態(tài)演示把圖形的變化過程和對比結(jié)果自然地刻在學(xué)生的腦海中，幫助學(xué)生提高幾何直觀的能力，形成對平行四邊形面積計算的完整、清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

隨后，教師繼續(xù)追問：“小朋友們，鄰邊相乘有沒有一定的道理呢？”學(xué)生覺得很奇怪：明明這是一種錯誤方法，怎么又有道理了？“錯誤的背后，隱藏了一條正確的思路”，教師的這句提醒再一次激起學(xué)生的思維。教師放手讓學(xué)生表達(dá)自己不同的觀點(diǎn)，小辯論引發(fā)了學(xué)生經(jīng)驗的碰撞和沖突;學(xué)生在沖突中感受到經(jīng)驗的錯誤，主動修正思考方向和認(rèn)知方法。通過動畫視頻的演示，呈現(xiàn)出不斷變化的角度，讓學(xué)生從變化中發(fā)現(xiàn)，面積與相鄰兩邊的長短以及它們所夾的角度都有關(guān)，從而自發(fā)地產(chǎn)生了“知道了相鄰兩邊的長度和所夾的角度，又怎樣算出平行四邊形的面積”的疑問，進(jìn)而將初中將要學(xué)習(xí)的平行四邊形的計算公式向?qū)W生滲透，即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘夾角的正弦值。如果用字母a、b表示兩組的鄰邊長，α表示兩邊的夾角，S表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab×sinα。我們常說，學(xué)科思想基于學(xué)科知識，又高于學(xué)科知識，與學(xué)科知識具有不可分割的辯證關(guān)系。數(shù)學(xué)就是要幫助學(xué)生站在“學(xué)會思維”的立場上，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識問題，理解不同答案背后的思維方法，進(jìn)而科學(xué)地理解數(shù)學(xué)知識，理解他人的思維，反思自己的思維，形成整體的數(shù)學(xué)思維，這樣既習(xí)得知識，還發(fā)展思維，更涵養(yǎng)品格。

一節(jié)好課的味道遠(yuǎn)不止如此，推導(dǎo)公式過程中的“為什么沿著高切開？有何道理？”“不沿著高切開，行嗎？”變式練習(xí)中的“明明沒有標(biāo)注此處的高，3從哪里來？”每一個提問，每一個追問，都觸摸著思想、思考、思維?？梢哉f，一節(jié)好課，留下的是琢磨，帶走的是方法;看見的是行走，想象的是未來，它讓年輕教師看到美麗的風(fēng)景在遠(yuǎn)方、在深處、在高點(diǎn)。