基于能量的振型優(yōu)化減振分析方法

彭子祥 焦 柯

（廣東省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，廣州510010）

0 引 言

隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的發(fā)展，給建筑結(jié)構(gòu)提出了更高的要求，當(dāng)前城市建筑體系更加多樣，構(gòu)造更加復(fù)雜，外形更加美觀，也因此涌現(xiàn)了大量的超高層、大跨度結(jié)構(gòu)，其中不乏各城市的地標(biāo)建筑。與此同時(shí)，這也給結(jié)構(gòu)工程師帶來(lái)了極大的考驗(yàn)，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系無(wú)疑將加大結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的難度，尤其是結(jié)構(gòu)的抗震問(wèn)題很多情況都是控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素。而保證結(jié)構(gòu)在滿(mǎn)足規(guī)范設(shè)計(jì)要求的前提下，改善經(jīng)濟(jì)成本效益，便是優(yōu)化需要解決的問(wèn)題。目前以BESO［1］雙向漸進(jìn)法為思想開(kāi)發(fā)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化軟件可在僅確定結(jié)構(gòu)荷載作用及其大體尺寸的條件下，通過(guò)迭代在方案階段搜尋受力傳力效率最高的結(jié)構(gòu)形式、體系及尺寸，但這種方式出來(lái)的方案通常不能直接用于設(shè)計(jì)，模型還需進(jìn)一步處理簡(jiǎn)化；而在給定的結(jié)構(gòu)體系和布置下，例如 Optistruct［2］、GSOPT［3］可完成構(gòu)件敏感性分析優(yōu)化，但其優(yōu)化算法通常需要經(jīng)過(guò)多次迭代，對(duì)計(jì)算機(jī)資源及性能有一定要求，實(shí)際結(jié)構(gòu)工程應(yīng)用較少。

而本文所提出的優(yōu)化方法，旨在從能量的角度引導(dǎo)工程師對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性進(jìn)行深入認(rèn)識(shí)，理解結(jié)構(gòu)受力傳力規(guī)律，有針對(duì)性地進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。以結(jié)構(gòu)抗震為例，高層建筑的地震響應(yīng)通常會(huì)由多階振型控制，起控制作用的可能會(huì)是某一高階振型，本文提出的基于能量的振型優(yōu)化方法，可針對(duì)某一特定振型進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，找出對(duì)該階振型振動(dòng)影響最為敏感的構(gòu)件，以實(shí)現(xiàn)用最小的代價(jià)將該階振動(dòng)頻率調(diào)整至最優(yōu)值，改善結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，達(dá)到高效的減震效果。

1 基本原理

1.1 多自由度體系振型疊加法原理

有阻尼多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程［4-5］

假設(shè)體系的振型和自振頻率已預(yù)先求得，將位移向量用振型展開(kāi)：

進(jìn)而推得：

分別為第n階振型的廣義（振型）質(zhì)量、廣義（振型）阻尼、廣義（振型）剛度和廣義（振型）荷載。

式（6）可看作單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程，因此Mn和Kn的有如下關(guān)系：

將式（18）方程兩邊同時(shí)除以Mn

便得到了等效單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)方程，可用 Duhamel 積分、Fourier 變換等求得qn（t）后，用將N個(gè)振型反應(yīng)疊加即可得到多自由度體系在任一時(shí)刻的位移。

1.2 基于能量的振型優(yōu)化算法

由上節(jié)推導(dǎo)可知，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)可以拆分成多個(gè)等效單自由度體系的振動(dòng)再疊加而成，因此，如若能找到控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)的某一階或幾階振型，并通過(guò)一定方式降低該階振型的峰值響應(yīng)（如峰值加速度），便能快速減小結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)。對(duì)于給定的地震激勵(lì)，可計(jì)算得到其對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜，找到各階振型對(duì)應(yīng)的加速度峰值，從而確定對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)影響較大的振型。而本文提出的優(yōu)化算法，便是通過(guò)快速調(diào)整控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的某一階或幾階振型的周期頻率從而快速高效達(dá)到減振效果。從式（6）可知，等效單自由度體系振動(dòng)頻率主要由廣義振型質(zhì)量Mn和廣義振型剛度Kn決定，當(dāng)對(duì)振型進(jìn)行正則化后，廣義振型質(zhì)量Mn=1，且當(dāng)一個(gè)建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案大體確定后，其自重及附加恒載也基本可以隨之確定，整體沒(méi)有很大的變化，因而對(duì)于某一階振型的廣義質(zhì)量Mn而言，其可調(diào)節(jié)的空間有限，由此可以得出結(jié)構(gòu)在某階振型的廣義剛度Kn基本決定了該階振型的振動(dòng)頻率。回到式（5），若兩邊同時(shí)乘以一微小量δn，將變?yōu)?/p>

式中，帶橫線上標(biāo)的內(nèi)力項(xiàng)為結(jié)構(gòu)在強(qiáng)制節(jié)點(diǎn)變形為{φ}n所引起的，不帶橫線上標(biāo)的內(nèi)力為結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)外力為[K]{φ}n作用下所引起的，n為單元數(shù)，m為節(jié)點(diǎn)數(shù)，F(xiàn)i代表單元桿端力，di為桿端位移，下標(biāo)start 與end 分別代表單元的兩端節(jié)點(diǎn)，圖1 給出了單元桿端力和桿端位移的方向示意，Ni、Vi、Mi、Ti分別代表單元內(nèi)任一點(diǎn)軸力、剪力、彎矩和扭矩，F(xiàn)k代表節(jié)點(diǎn)外力，dk為第k個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，圖2給出了節(jié)點(diǎn)外力和節(jié)點(diǎn)位移的方向示意。

圖1 單元桿端力和桿端位移示意圖Fig.1 Schematic of element end force and element end displacement

圖2 節(jié)點(diǎn)外力和節(jié)點(diǎn)位移示意圖Fig.2 Schematic of node external force and node displacement

式（12）不僅適用于單元層次，亦適用于整體結(jié)構(gòu)求解，由此可以看出每個(gè)構(gòu)件的剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度等貢獻(xiàn)都可以獨(dú)立表達(dá)，結(jié)構(gòu)總外力虛功是由結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件的虛功所疊加而成。

其中，Esi為結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)外力為[K]{φ}n作用時(shí)第i個(gè)單元的應(yīng)變能，由此可以看到結(jié)構(gòu)在某階振型下的廣義剛度進(jìn)一步演變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)所有構(gòu)件應(yīng)變能之和的2 倍，構(gòu)件的應(yīng)變能占比越大，則對(duì)結(jié)構(gòu)的貢獻(xiàn)越大，說(shuō)明該構(gòu)件對(duì)結(jié)構(gòu)的廣義振型剛度Kn影響越大，因此調(diào)整此構(gòu)件的參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)在該階的振動(dòng)特性的影響最為顯著，這也是本文所提出優(yōu)化方法的核心思想，并基于該思路，采用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件SAP2000和ETABS開(kāi)放的API接口編制了結(jié)構(gòu)振型優(yōu)化分析軟件（圖3）。而計(jì)算構(gòu)件的應(yīng)變能，若采用式（13）中間部分的截面內(nèi)力沿長(zhǎng)度積分將涉及到較為復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，因此編制的程序采用上述表達(dá)式第三部分將構(gòu)件的應(yīng)變能最終映射到單元兩端節(jié)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)各單元的桿端力與節(jié)點(diǎn)位移相乘后進(jìn)行疊加而成。需要在有限元分析軟件中建立一個(gè)以某一階振型形狀{φ}n為節(jié)點(diǎn)強(qiáng)制位移的分析工況，求得各單元的桿端力，進(jìn)而計(jì)算得到各構(gòu)件的應(yīng)變能，量化各構(gòu)件對(duì)廣義剛度Kn的貢獻(xiàn)度，其中最為敏感的構(gòu)件便是可以在優(yōu)化中重點(diǎn)關(guān)注和調(diào)整的構(gòu)件。下文將通過(guò)某一螺旋鋼樓梯的優(yōu)化案例來(lái)驗(yàn)證該方法的可行性及其應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。

圖3 結(jié)構(gòu)振型優(yōu)化分析軟件操作界面Fig.3 Operation interface of structural dynamic modal optimization software

2 實(shí)際案例優(yōu)化分析

2.1 工程背景

本工程為某商業(yè)建筑大廳用樓梯，建筑美觀要求較高，因而對(duì)于樓梯構(gòu)造要求盡可能做到簡(jiǎn)潔開(kāi)敞，樓梯主體結(jié)構(gòu)布置如圖4 所示，內(nèi)部主要受力構(gòu)件材料采用Q235鋼材，外部裝飾采用大理石瓷磚。

圖4 優(yōu)化前樓梯主體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic of main structure before optimization

2.2 優(yōu)化前樓梯主要構(gòu)件尺寸

表1列出了樓梯主要構(gòu)件的截面尺寸。

表1 樓梯主要構(gòu)件的截面尺寸表Table 1 Section detail table of main components of the stairs

2.3 動(dòng)力特性分析

對(duì)樓梯進(jìn)行特征值分析，計(jì)算了樓梯的前10階振型，每階振型的周期、頻率以及三個(gè)平動(dòng)方向的振型參與質(zhì)量如表2所示。

表2 樓梯前10階振型信息匯總表Table 2 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs

由表2 可以看出，結(jié)構(gòu)第一階振型的周期為0.70 s，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)可判斷結(jié)構(gòu)剛度偏弱，將會(huì)導(dǎo)致人員在樓梯行走時(shí)能感受到明顯振動(dòng)，且第一階振型的結(jié)構(gòu)豎向參與質(zhì)量達(dá)到60%，可確定該振型為控制結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)響應(yīng)的主要振型，因此將重點(diǎn)研究?jī)?yōu)化該階振型的特性，圖5 為結(jié)構(gòu)第一階振型的形態(tài)，變形以豎向振動(dòng)為主。

圖5 結(jié)構(gòu)第一階振型變形Fig.5 First-order mode deformation of structure

2.4 樓梯優(yōu)化方案

從結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可知，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性主要由質(zhì)量和剛度控制，加大結(jié)構(gòu)的剛度主要有以下兩種方法：①添加額外的約束；②增加構(gòu)件的剛度。由于該樓梯處于酒店大堂里，對(duì)視覺(jué)效果要求較高，若增加額外的約束，比如增設(shè)支撐柱，則會(huì)影響到整體的空間美觀，因此本文擬考慮第二種途徑來(lái)解決樓梯的振動(dòng)問(wèn)題。增加構(gòu)件的剛度，最為直觀的便是加大截面的尺寸，但截面尺寸的增加也將帶來(lái)結(jié)構(gòu)自重的增大，最終對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響未必是有利的。本文采用了基于能量的振型優(yōu)化方法，通過(guò)增大對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響較大的構(gòu)件截面，減小對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響較小的構(gòu)件截面，實(shí)現(xiàn)用最經(jīng)濟(jì)的途徑達(dá)到最佳的的優(yōu)化效果，改善結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。采用自行開(kāi)發(fā)的優(yōu)化軟件對(duì)該模型進(jìn)行分析后得到了如下結(jié)果，圖6 列出了樓梯各構(gòu)件對(duì)第一階振型的敏感程度（或貢獻(xiàn)度），右側(cè)圖例中的顏色從淺色到深色分別代表了左側(cè)相應(yīng)顏色構(gòu)件的貢獻(xiàn)度從小到大的分布，圖中黑色構(gòu)件為對(duì)該階振型貢獻(xiàn)最大的構(gòu)件，說(shuō)明變動(dòng)該構(gòu)件的截面尺寸對(duì)該階振型的周期帶來(lái)的影響最為顯著，最終根據(jù)計(jì)算確定了6 根需要優(yōu)化的桿件，其余桿件仍保持原截面，如圖7 所示，給出了此次優(yōu)化構(gòu)件的空間定位并用引線加以標(biāo)注了優(yōu)化后采用的截面尺寸情況。

圖6 各構(gòu)件對(duì)第一階振型敏感度（貢獻(xiàn)度）分布Fig.6 The sensitivity（contribution）distribution of each component to the first-order mode

圖7 優(yōu)化后樓梯主體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 Schematic of main structure after optimization

對(duì)優(yōu)化后的模型進(jìn)行特征值分析，提取了結(jié)構(gòu)前10階的計(jì)算結(jié)果，如表3所示。

表3 優(yōu)化后樓梯前10階振型信息匯總表Table 3 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs after optimization

由表3 計(jì)算結(jié)果可知，優(yōu)化后的樓梯第一階振型的周期為0.53 s，相比于優(yōu)化前的0.70 s，僅有針對(duì)性地加大了其中6 根桿件的截面，將結(jié)構(gòu)的基本周期降低了25%，取得了顯著的優(yōu)化效果，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性有明顯改善。下一節(jié)將進(jìn)一步證實(shí)對(duì)比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

2.5 外部激勵(lì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比

為了進(jìn)一步證實(shí)對(duì)比優(yōu)化前后的動(dòng)力特性，采用模擬人跳動(dòng)的脈沖荷載激勵(lì)在樓梯懸臂最大位置處，計(jì)算兩個(gè)模型全過(guò)程動(dòng)態(tài)響應(yīng)，捕捉獲取該點(diǎn)處的最大加速度及振幅，以此作為評(píng)價(jià)優(yōu)化效果的一種指標(biāo)。如圖8 所示的脈沖荷載模擬了體重為62.5 kg的成人在樓梯上跳動(dòng)的過(guò)程。

圖8 豎向脈沖荷載時(shí)程曲線Fig.8 Time history curve of vertical impulse load

經(jīng)計(jì)算，提取了結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后模型激勵(lì)點(diǎn)處的加速度和位移時(shí)程曲線，分別如圖9 和圖10所示。

圖9 優(yōu)化前后加載點(diǎn)加速度時(shí)程曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of acceleration time history of loading point before and after optimization

圖10 優(yōu)化前后加載點(diǎn)豎向位移時(shí)程曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of vertical displacement time history of loading point before and after optimization

經(jīng)對(duì)比可知，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，加載點(diǎn)的峰值加速度由21.18 mm/s2降為11.46 mm/s2，降幅46%，最大位移由0.64 mm 降為0.29 mm，降幅55%，兩項(xiàng)指標(biāo)優(yōu)化效果較為明顯，結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題有很大程度改善。通過(guò)分析螺旋鋼梯的特點(diǎn)，可以看出樓梯內(nèi)圈主梁對(duì)結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)起著關(guān)鍵作用，因此僅通過(guò)調(diào)整內(nèi)圈幾根主梁截面，就能對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性有很大影響，該方法既能保證建筑美觀，又不增加過(guò)多的工程量，是可參考的方案之一。

3 結(jié) 論

本文提出的基于能量的振型優(yōu)化方法在計(jì)算上具有較高的效率，可快速確定控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的關(guān)鍵構(gòu)件，有針對(duì)性地改善結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，高效對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性進(jìn)行優(yōu)化，適用于各種類(lèi)型的力學(xué)結(jié)構(gòu)，尤其是大型超高層建筑結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì)更為明顯，不必多次迭代計(jì)算。

對(duì)于超高層建筑，設(shè)計(jì)中需要更多關(guān)注高階振型在地震激勵(lì)下的響應(yīng)，有意識(shí)地對(duì)其振型進(jìn)行控制和優(yōu)化，而該方法可進(jìn)一步引導(dǎo)工程師理解結(jié)構(gòu)體系的受力特點(diǎn)，進(jìn)行減震優(yōu)化提供思路。此外，振型優(yōu)化對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)具有重要作用：

（1）迅速定位和識(shí)別有效構(gòu)件，改善結(jié)構(gòu)剛度，提高材料受力傳力效率，文中以螺旋樓梯為例，通過(guò)該方法快速確定了內(nèi)圈主梁的部分構(gòu)件是控制結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)的關(guān)鍵構(gòu)件并有針對(duì)性進(jìn)行加強(qiáng)，取得了良好的減振效果；

（2）可有效快速調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性避開(kāi)敏感周期，最大程度避免共振效應(yīng)的產(chǎn)生。

（3）可以最小的代價(jià)調(diào)整結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)周期以滿(mǎn)足規(guī)范要求；

（4）有意識(shí)地提高高階振型的地震剪力貢獻(xiàn)以滿(mǎn)足規(guī)范對(duì)于結(jié)構(gòu)地震總剪力的要求；

（5）對(duì)于有多個(gè)加速度峰值的天然地震波譜，控制大震作用下結(jié)構(gòu)損傷后的振型周期避開(kāi)反應(yīng)譜波峰。