基于局部變形假定的錨固類結(jié)構(gòu)錨固段剪應(yīng)力分布研究

范俊奇 孔福利 石曉燕 賀永勝

（軍事科學院國防工程研究院，洛陽471023）

0 引 言

錨固類結(jié)構(gòu)是指基于錨固技術(shù)的錨桿、錨索和土釘一類巖土工程加固、支護結(jié)構(gòu)。為方便起見，本文將錨桿（索、釘）體表面與注漿體之間的界面稱為“第一界面”，將注漿體與孔壁之間的界面稱為“第二界面”［1，4，7-8］。對于錨桿為代表的錨固結(jié)構(gòu)，其第一、第二界面上的剪應(yīng)力是工程設(shè)計的基本依據(jù)和前提。但時至今日，我國有關(guān)錨固類結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范，采用的仍然是平均剪應(yīng)力的概念和方法，這與錨固技術(shù)的發(fā)展是不相適應(yīng)的。國內(nèi)外大量的研究表明［1-16］，剪應(yīng)力在錨固段并非是均勻分布，而是呈現(xiàn)出單峰或者指數(shù)函數(shù)的分布形式，但對于錨固段剪應(yīng)力的具體分布形式，目前仍存在著不同的觀點。文獻［7］通過模擬高、中、低三種強度的圍巖介質(zhì)錨桿模型拉拔試驗，對錨桿錨固段的軸應(yīng)變及錨固段剪應(yīng)力分布規(guī)律進行了研究，認為剪應(yīng)力在孔口處為零，在接近孔口處達到最大值，然后以負指數(shù)規(guī)律沿錨桿方向衰減。文獻［8］在Mindlin 位移解的基礎(chǔ)上，對全長粘結(jié)錨桿錨固段受力進行了理論研究，結(jié)果表明錨固段剪應(yīng)力在起點處最大，向后逐漸衰減并最終趨近于零；張季如等［9］建立了錨桿荷載傳遞的雙曲函數(shù)模型，蔣忠信［10］提出了用三參數(shù)的高斯曲線來描述錨固段剪應(yīng)力分布曲線；同時大量現(xiàn)場試驗研究表明［11-12］，剪應(yīng)力峰值并非出現(xiàn)在錨固段的起點，而是出現(xiàn)在錨固段中的某一處。

綜上所述，雖然國內(nèi)外關(guān)于錨固類結(jié)構(gòu)錨固段剪應(yīng)力的測量及試驗研究成果較為豐富，但這些研究大多是單獨進行的，缺乏系統(tǒng)性，存在理論分析假設(shè)與試驗和工程實際不相符的情況，因此，有必要對錨固段剪應(yīng)力的分布規(guī)律做進一步分析，以便尋求更加符合實際的結(jié)論。本文基于全長注漿錨桿的拉拔試驗，在“局部變形假定”的基礎(chǔ)上，對不同介質(zhì)類型中的全長注漿錨桿內(nèi)錨固段的軸力及界面剪應(yīng)力分布規(guī)律進行了較深入的研究，推導了穩(wěn)定介質(zhì)內(nèi)錨固段應(yīng)力、軸力及交界面剪應(yīng)力分布的理論公式，并將其與試驗結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明，理論解與試驗結(jié)果基本吻合。本文分析了以錨桿為代表的錨固類結(jié)構(gòu)第一、第二界面剪應(yīng)力分布，對工程實踐具有指導參考價值。

1 錨固段受力分布分析

1.1 基于“局部變形假定”計算錨固段應(yīng)力分布理論解

“局部變形假定”用一系列獨立作用的“切向彈簧”來描述“錨固體”（指錨桿或錨桿與注漿體的“復合體”）同圍巖之間的相互關(guān)系［13］，并假定注漿體處于彈性狀態(tài)。對于壓力型錨桿，由于錨桿體與注漿體之間沒有粘結(jié)作用，可以認為錨索荷載是通過端部的承壓板轉(zhuǎn)化為壓縮力而全部作用在注漿體上，依據(jù)局部變形假定，可以將注漿體與周圍介質(zhì)之間的相互關(guān)系簡化為一系列獨立作用的切向彈簧。若設(shè)錨桿錨固段長度為L，在距離錨固端口部（拉力型錨桿）或尾部承壓板（壓力型錨桿）為x的注漿體上取出一微段dx，其受力示意圖如圖1 所示，則該微段上的剪應(yīng)力（即粘結(jié)應(yīng)力）可由下式計算得到［4，13］：

圖1 錨固段受力分析示意圖Fig.1 Mechanical schematic of the internal anchorage section

式中：τ（x）為x處錨桿體或注漿體周邊粘結(jié)應(yīng)力（kPa）；W（x）為x處注漿體與孔壁或注漿體與桿體間的相對位移（mm）；ks為綜合切向剛度系數(shù)，文獻［13］中稱之為巖土層的反力系數(shù)（MPa）。

式中：Kr1為注漿體的剪切剛度；Kr2為圍巖體（介質(zhì)）的剪切剛度。

圖1 中，注漿體口部（拉力型）或底端（壓力型）（x＝0 處）受到一拉力（拉力型錨桿）或壓力（壓力型錨桿）P0的作用，在沿注漿體軸線方向并距離底端x處的一微段dx上，其周邊的粘結(jié)應(yīng)力為 τ（x），兩側(cè)所受的軸力分別為P（x）和P（x）-dP（x）。

由dx微段的軸向平衡條件∑x=0，可得微段上的軸力 dP（x）與剪應(yīng)力 τ（x）之間存在如下關(guān)系：

式中，d為桿體的直徑，對壓力型錨桿，d應(yīng)為注漿體直徑D。

在x處桿體（注漿體）的應(yīng)變ε（x）與其相對位移w（x）及軸力存在如下關(guān)系：

代入邊界條件：當x＝0時，P（x）=P0；x＝l時，P（x）=0。則有

代入式（5）可得出軸力的計算公式：

將式（6）的結(jié)果代入式（2）可以得：

同樣，根據(jù)式（3）可得：

在式（6）和式（7）中，關(guān)鍵是綜合切向剛度系數(shù)ks的確定。綜合切向剛度系數(shù)ks其實應(yīng)該包括兩部分，即由注漿體變形引起的組分kbond和由巖土體變形引起的組分kr：

kbond可根據(jù)彈性力學中的厚壁圓筒解求得：

式中：G、E和μ分別為注漿體的剪切模量、彈性模量和泊松比；d和D分別為錨桿（鋼筋）和注漿體的直徑。

對于巖石中錨桿，由于巖石的彈性模量遠大于注漿體的彈性模量，可忽略巖體的變形，將巖體視為絕對剛體，即ks＝kbond。同樣，而對于土中錨索，注漿體的彈性模量遠大于土體，可忽略桿體的變形，將桿體和注漿體組成的復合體作為錨固體，切向剛度系數(shù)主要由土體的變形特性確定，即ks＝kr。表1為文獻［13］建議的各類不同巖土體的綜合切向剛度kr的經(jīng)驗值。

1.2 第一、第二界面剪應(yīng)力公式的推導

由以上推導可知，依據(jù)局部變形假定推導的剪應(yīng)力計算公式只有一個。要使其結(jié)果能同時計算第一界面和第二界面的剪應(yīng)力，需對公式的適用性進行拓展分析討論。由式（7）的具體形式可知，計算界面的剪應(yīng)力時，關(guān)鍵在系數(shù)ks和a的確定，其中綜合切向剛度系數(shù)ks可參照表1 進行取值，其他參數(shù)取值如下：

表1 文獻［13］建議的各類巖土的切向剛度Table 1 The suggested shearing rigidity from document［13］

錨桿體：直徑d=0.018 m；彈性模量E=2.1×105MPa。

注漿體：直徑d=0.047 m；彈性模量E1=1.5×103MPa；泊松比μ1＝0.3。

高強介質(zhì)：彈性模量E2=2.8×103MPa；泊松比μ2＝0.3。

中強介質(zhì)：彈性模量E1=1.5×103MPa；泊松比μ1＝0.3。

低強介質(zhì)：彈性模量E3=5.0×102MPa，泊松比按堅硬的黏性土取值μ3＝0.25。

因此各介質(zhì)的切向剛度計算結(jié)果如下：高強介質(zhì)，kr=5 287.5 MPa；中強介質(zhì)，kr=3 776.8 MPa；低強介質(zhì)，kr=1 309.3 MPa。

計算中，第一、第二交界面的系數(shù)a分別記作a1、a2。在計算a1時，公式中的參數(shù)d、E分別取錨桿體的直徑和彈性模量；在計算a2時，公式中的參數(shù)d、E分別取注漿體的直徑D和錨桿與注漿體的“復合體”彈性模量Es，其算式為［13］

式中：E為錨桿體的彈性模量；E1為注漿體的彈性模量；A為鋼筋的截面積；A1為注漿體承壓面積。

則對式（7）中的綜合切向剛度系數(shù)ks及系數(shù)a的值可分別計算如下：

由于本文討論的錨桿是作用力接近使錨桿屈服時，即桿體上應(yīng)變接近為0 的錨桿長度，一般情況下，應(yīng)有l(wèi)≥50 mm。則式（6）中：

此時，式（6）-式（8）可分別簡化為

將計算出的a值分別代入式（9）-式（11）中，即可求出各類錨桿在不同的荷載下軸應(yīng)變與界面剪應(yīng)力值分布，計算中各參數(shù)取值如下：在計算桿體軸應(yīng)變以及第一交界面的剪應(yīng)力時，式中d取錨桿體的直徑d=0.018 m；在計算第二交界面的剪應(yīng)力時，式中d取注漿體的直徑D=0.047 m。圖2為依據(jù)上述公式分別計算所得的中強介質(zhì)錨桿桿體軸應(yīng)變與第一、第二交界面的剪應(yīng)力分布。

從圖2 可知，錨桿軸應(yīng)變及第一、第二交界面的剪應(yīng)力分布的共同特征為：

圖2 錨桿桿體軸應(yīng)變及剪應(yīng)力分布圖Fig.2 The strain&shear stress distribution under different stretching forces

（1）在桿端處（x/d=0），應(yīng)變、軸力為最大值，其后沿軸線方向按負指數(shù)規(guī)律迅速衰減。

（2）錨桿第一、第二交界面的剪應(yīng)力分布規(guī)律是相同的，只是剪應(yīng)力集度不同（計算結(jié)果相差約2.5 倍）。剪應(yīng)力在孔口處最大，然后以較快的速率按負指數(shù)規(guī)律沿錨桿方向衰減。

（3）由于軸力和剪應(yīng)力衰減很快，因此錨桿軸力和有效剪應(yīng)力值僅分布在桿體的有限長度范圍內(nèi)（約40d），錨桿的主要承力部位在其內(nèi)錨固段的前部大約40倍錨桿直徑，即在距離口部700 mm左右。

（4）錨固段剪應(yīng)力具有同步轉(zhuǎn)移特性，隨著拉拔荷載增大，其零值剪應(yīng)力向桿體深部的轉(zhuǎn)移，即剪應(yīng)力影響逐漸增大，這是由于砂漿體局部產(chǎn)生破損的結(jié)果。

2 不同類型介質(zhì)中錨固類結(jié)構(gòu)錨固段剪應(yīng)力的分布分析

錨桿錨固段的剪應(yīng)力分布區(qū)域直接決定著錨桿的有效錨固長度，從式（10）、式（11）可知，錨固段剪應(yīng)力的大小及分布受介質(zhì)性質(zhì)的影響，圖3分別列出了高強巖體介質(zhì)、風化巖體介質(zhì)和土體介質(zhì)三種不同強度介質(zhì)類型中錨桿錨固段剪應(yīng)力分布計算結(jié)果對比。

從圖3 可知，對于不同介質(zhì)類型中的錨桿，其剪應(yīng)力分布形態(tài)是相同的，只是其衰減速率和受力區(qū)域不同，高強巖體介質(zhì)中錨桿的受力區(qū)域為距孔口深度約30d的長度區(qū)域上；中強風化巖體介質(zhì)中錨桿的受力區(qū)域為距孔口深度約40d的長度區(qū)域上；低強土體介質(zhì)中錨桿的受力區(qū)域為距孔口深度約50d的長度區(qū)域上。由此可以得出：介質(zhì)強度越高錨桿所受的剪應(yīng)力、軸力越大，剪應(yīng)力軸力的分布范圍越小，越集中，錨桿的有效錨固長度也就越??；介質(zhì)強度越低，錨桿所受的剪應(yīng)力、軸力越小，剪應(yīng)力軸力的分布范圍越大、越均勻，錨桿的有效錨固長度也就越大。因此從某種意義上說，用全場粘結(jié)錨桿加固軟巖和土體的效果比加固硬巖更好。

圖3 不同介質(zhì)中錨桿剪應(yīng)力分布Fig.3 Variations of shear stress distribution of bolt in deference medium

3 理論分析解與試驗結(jié)果對比分析

為驗證理論結(jié)果的可靠性，特將理論結(jié)果與文獻［7］的試驗結(jié)果進行對比，文獻［7］的試驗中，用φ18 mm 的螺紋鋼筋制作錨桿，注漿體為水泥砂漿，其直徑為47 mm，28天強度為32.2 MPa；高、中、低三種強度圍巖介質(zhì)分別用28 天強度為53.2 MPa、32.2 MPa、7.2 MPa的水泥砂漿和水泥拌合土來模擬，通過WES-50B 型萬能材料試驗機對其進行拉拔試驗。圖4 為本文推導所得的當桿端拉力為40 kN 時中強介質(zhì)中錨桿體軸應(yīng)變和剪應(yīng)力分布結(jié)果與文獻［7］中相同條件下的試驗結(jié)果在同一坐標系的對比。

通過圖4 的對比可知，本文推導的理論解與試驗所得的桿體軸應(yīng)變的分布形態(tài)吻合較好，即桿體軸應(yīng)變在孔口最大，之后隨距孔口距離的增大按負指數(shù)規(guī)律迅速衰減，并很快趨于零，只是應(yīng)變的衰減速率不同。本文依據(jù)“局部變形假定”所推導的計算結(jié)果在錨固段前半部衰減較塊，在后半部衰減較慢，軸應(yīng)變分布區(qū)域較大。

圖4 理論解與根據(jù)試驗推導結(jié)果對比Fig.4 Comparisons between results of analytic solution and the experiment

理論解和試驗所得錨桿錨固段剪應(yīng)力分布形態(tài)也基本相同，僅在口部部位略有差異，即峰值剪應(yīng)力出現(xiàn)位置略有差別，根據(jù)“局部變形假定”所計算的峰值剪應(yīng)力位于孔口受力點（x/d=0）處，之后以較快的速率按負指數(shù)規(guī)律沿錨桿方向衰減。而依據(jù)試驗所得剪應(yīng)力在孔口處（x/d=0）為零，在非常接近孔口處達到最大值，然后以較快的速率按負指數(shù)規(guī)律沿錨桿方向衰減。不同的是，兩種結(jié)果所得的剪應(yīng)力峰值出現(xiàn)的位置不同，而其大小約為3 500 kPa，分布區(qū)域較大（約為40d）；而依據(jù)試驗所的結(jié)果在受力點處剪應(yīng)力為零，峰值剪應(yīng)力位于非常接近于受力點位置（在受力點后約2d處），大小為3 400 kPa，分布區(qū)域相對較小（約為35d）。

通過以上對比分析可知，本文基于“局部變形假定”得到的錨桿體軸應(yīng)變分布的結(jié)果與依據(jù)試驗測試所得結(jié)果基本吻合；所得到的桿體軸應(yīng)變及剪應(yīng)力的分布形態(tài)與試驗擬合結(jié)果較類似。僅在峰值剪應(yīng)力大小、出現(xiàn)位置和分布區(qū)域上略有差異，從結(jié)果來看基于“局部變形假定”所得結(jié)果略偏向于保守，但這對實際工程來說無疑是有利的。

4 結(jié) 論

本文基于“局部變形假定”對不同類型介質(zhì)中錨桿錨固段在理想狀態(tài)下的軸力及界面剪應(yīng)力分布規(guī)律進行研究分析，初步得到如下結(jié)論與認識：

（1）通過理論分析與試驗結(jié)果對比分析表明，本文基于“局部變形假定”所推導的錨桿內(nèi)錨固段剪應(yīng)力理論解，能較好地反映錨桿內(nèi)錨固段的實際受力情況，對分析實際工程中錨桿錨固力分布狀態(tài)、指導錨桿設(shè)計等都具有一定的參考價值。

（2）依據(jù)本文結(jié)果，以錨桿為代表的錨固類結(jié)構(gòu)錨固段第一、第二界面的剪應(yīng)力分布規(guī)律是相近的，只是剪應(yīng)力集度不同。其共同特征為：剪應(yīng)力在孔口處為最大值，然后以較快的速率衰減。因此有效剪應(yīng)力值分布在桿體的有限長度范圍內(nèi)，錨桿的主要承力部位在內(nèi)錨固段的前部。

（3）基于“局部變形假定”計算得到的桿體軸應(yīng)變與實測結(jié)果基本吻合。得出的錨固段剪應(yīng)力分布與試驗擬合結(jié)果也較類似，僅在形態(tài)上有微小差異，因此，本文所推導的理論解對于計算錨固類結(jié)構(gòu)內(nèi)錨固段的受力狀態(tài)、指導工程實踐均具有一定的理論和實用價值。