單向板在任意曲線荷載作用下的彎矩分布計(jì)算與配筋設(shè)計(jì)

劉 偉 于 越 李遇春

（同濟(jì)大學(xué)水利工程系，上海200092）

0 引 言

板是土木工程中常用的一種結(jié)構(gòu)形式。在實(shí)際工程中，在板結(jié)構(gòu)上常常作用有線荷載，板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要分析線荷載作用下薄板上彎矩分布。謝 子 洋［1］、曾 大 明［2］基 于 Navier 解 法［3］，結(jié) 合MATLAB［4］和 ANSYS［5］有限元軟件分析單向板主次方向彎矩分布關(guān)系。臧正義［6］采用基于最小勢(shì)能原理的 Rayleigh-Ritz 法［7］分析對(duì)邊簡(jiǎn)支板在線荷載作用下的彎矩。但該文分析的均為直線荷載作用下的單向板，而在實(shí)際工程中線荷載的形式復(fù)雜，甚至存在曲線形荷載。

當(dāng)板結(jié)構(gòu)上的線荷載為曲線荷載時(shí)，例如：鐵路涵洞頂板上的鐵路線為弧線時(shí)，樓板上砌筑曲線形的墻體時(shí)，板上的荷載均可以看成曲線荷載，在一般的結(jié)構(gòu)計(jì)算手冊(cè)以及常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)分析文獻(xiàn)上難以查到曲線荷載作用下的板內(nèi)彎矩計(jì)算公式，結(jié)構(gòu)工程師需要采用通用商業(yè)軟件來(lái)進(jìn)行板的抗彎計(jì)算，然而在結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算中，曲線荷載的輸入是一件相當(dāng)麻煩的事情，需要耗費(fèi)大量時(shí)間與精力。鑒于此，本文給出單向板在一般曲線荷載作用下的彎矩計(jì)算公式，編制簡(jiǎn)單易行的Matlab 程序，從而可迅速得到板結(jié)構(gòu)內(nèi)的彎矩分布，為結(jié)構(gòu)工程師設(shè)計(jì)此類板結(jié)構(gòu)提供參考。

1 任意曲線線荷載作用下單向板的彎矩計(jì)算公式

如圖1所示的四邊簡(jiǎn)支矩形板，當(dāng)長(zhǎng)邊b比短邊a大三倍時(shí)，可認(rèn)為矩形板為單向板。板上受到任意的曲線線荷載q（q=常數(shù)）如圖1所示，曲線形狀由函數(shù)y=f（x）確定。坐標(biāo)系建立如圖1所示。

圖1 四邊簡(jiǎn)支矩形板承受任意線荷載作用Fig.1 Four-side simply-supported slab under arbitrary line load

根據(jù)薄板理論［3，7］，當(dāng)簡(jiǎn)支矩形薄板上任意位置（x0，y0）作用有集中荷載P時(shí)，板內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）的彎矩為

對(duì)于任意曲線線荷載q而言，作用在曲線任意位置［ξ，f（ξ）］上微段 ds的集中荷載為 dP=dξ（見(jiàn)圖1），根據(jù)式（1），該集中荷載產(chǎn)生的彎矩如式（2）所示。

于是整條線荷載q在任意一點(diǎn)（x，y）所產(chǎn)生的彎矩，通過(guò)積分式（2）可得式（3）。

式中：ξ為選取的微元荷載在x方向上的坐標(biāo)；ν為單向板材料的泊松比，對(duì)于混凝土材料而言，ν=1/6；f′（x）為線荷載函數(shù)曲線y=f（x）的導(dǎo)數(shù)。

對(duì)于一般的曲線函數(shù)而言，式（3）的積分式難以得到解析解答，可通過(guò)數(shù)值積分得到解答。本文編制了數(shù)值計(jì)算MATLAB程序列于附錄。

2 算例分析

2.1 曲線線荷載作用下單向板的彎矩計(jì)算

單向板彎矩算例：某混凝土單向板，矩形板長(zhǎng)邊b=12 m，短邊a=3.6 m，厚度t=0.2 m，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比ν=1/6。板上作用有曲線荷載q=80 kN/m，曲線荷載函數(shù)為

板內(nèi)彎矩可以分別采用MATLAB 程序及ANSYS軟件計(jì)算。

將以上數(shù)據(jù)及曲線函數(shù)代入式（3）積分，根據(jù)附錄MATLAB 程序，計(jì)算得到板內(nèi)的彎矩分布如圖2 所示。曲線線荷載所產(chǎn)生的彎矩最大值均出現(xiàn)在線荷載作用的中心位置。主方向彎矩最大值（Mx，max）=38.40 kN·m，次方向彎矩最大值（My，max）=26.70 kN·m。

圖2 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布（MATLAB）Fig.2 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load（MATLAB）

在ANSYS 軟件中，根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立相同的計(jì)算模型，彎矩計(jì)算結(jié)果如圖3 所示，主次方向彎矩最大值分別為38.70 kN·m，25.83 kN·m。根據(jù)圖2、圖3 結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)本文MATLAB 程序計(jì)算結(jié)果與ANSYS 結(jié)果很吻合，表明本文MATLAB 計(jì)算方法和程序可靠，對(duì)于曲線線荷載作用下的彎矩計(jì)算結(jié)果足夠精確。

2.2 單向板次方向配筋分析

在單向板設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)工程師一般主要關(guān)注短跨（主方向）上的配筋計(jì)算，通常按計(jì)算最大彎矩（Mx，max）進(jìn)行配筋計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算的配筋在全跨布置受力鋼筋。本文對(duì)于主跨方向的配筋設(shè)計(jì)不再贅述。

實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)工程師容易忽視長(zhǎng)跨（次方向）的彎矩分布與配筋計(jì)算，長(zhǎng)跨方向常常可能采用構(gòu)造配筋。由圖2、圖3 可以看出，主次方向最大彎矩位置接近，大小也接近，所以根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范［8］，在次方向按構(gòu)造布置的分布鋼筋一般難以滿足最大彎矩的承載力要求，會(huì)導(dǎo)致荷載裂縫，危及結(jié)構(gòu)安全。因此考慮在單向板次方向最大彎矩處布置一定長(zhǎng)度的附加短鋼筋，保證次方向滿足板的抗彎承載力要求。為了更直觀地觀察到次方向附加鋼筋的配筋要求，截取曲線荷載作用下單向板最大彎矩附近的幾個(gè)剖面進(jìn)行彎矩分布計(jì)算，由此進(jìn)行配筋分析，剖面位置分別為：x=1.2 m（1-1 剖面）、x=1.4 m（2-2 剖面）、x=1.6 m（3-3 剖面）、x=1.8 m（4-4 剖面）、x=2.0 m（5-5 剖面），如圖4所示。

圖3 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布圖（ANSYS）Fig.3 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load（ANSYS）

圖4 剖面位置Fig.4 Section position

各個(gè)剖面上的彎矩分布如圖5 所示，對(duì)于短跨的抗彎鋼筋，可以根據(jù)主方向最大彎矩Mx，max的配筋進(jìn)行通長(zhǎng)配置。對(duì)于次方向的彎矩，由圖5可以看出，在主方向最大彎矩處，次方向的彎矩遠(yuǎn)超出了分布鋼筋的抗彎能力（實(shí)際工程中分布鋼筋的配筋量一般要求取主方向鋼筋15%左右［8］），需要額外配置附加鋼筋，附加鋼筋配置如圖6所示。

由于構(gòu)造鋼筋的配筋量一般取主方向鋼筋的15%左右，所以為了不造成浪費(fèi)，附加鋼筋只需要配置在次方向彎矩大于15%Mx，max的部分就足以滿足承載力要求了，如圖6 所示，其中20d為鋼筋在影響范圍以外增加的錨固長(zhǎng)度［8］。

圖6 單向板附加鋼筋配筋簡(jiǎn)圖Fig.6 Reinforcement diagram of one-way plate with additional reinforcement

本文僅給出了板內(nèi)主次彎矩的計(jì)算大小和分布情況，具體配筋量計(jì)算可參照《混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）［8］執(zhí)行，相應(yīng)的構(gòu)造要求可參照規(guī)范及以上本文的要求辦理。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文給出的任意曲線荷載下板內(nèi)彎矩計(jì)算公式具有很好的計(jì)算精度，給出的Mablab 計(jì)算程序可為結(jié)構(gòu)工程師處理此類復(fù)雜曲線荷載問(wèn)題的配筋計(jì)算提供參考。附錄中的MATLAB 程序在針對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，只需要修改單向板尺寸（a，b），曲線荷載線荷載大小以及函數(shù)形式（q，load），就可以得到需要的彎矩分布。