一類1∶2共振的Hamilton系統(tǒng)在分段n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

曾 慧，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言與主要結(jié)果

正規(guī)形理論是研究非線性微分方程奇點(diǎn)附近軌線結(jié)構(gòu)的基本工具.在奇點(diǎn)處線性部分矩陣為非平凡冪零陣的平面微分系統(tǒng)的r階正規(guī)形為[1]

其中：ai、bi∈R相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)系統(tǒng)（1）的分岔問(wèn)題做了大量研究[2-7].文獻(xiàn)[2-4]研究了當(dāng)a2b2≠0時(shí)，系統(tǒng)（1）的余維2分岔.文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別研究了當(dāng)a2b2=0時(shí)，系統(tǒng)（1）的余維3和余維4的分岔.文獻(xiàn)[7]研究了當(dāng)a2=b2=0，a3b3≠0時(shí)，系統(tǒng)（1）為1∶2共振的余維2的退化系統(tǒng)x˙=y，y˙=a3x3+b3x2y，給出了其普適開(kāi)折

其中ε1、ε2為開(kāi)折參數(shù).當(dāng)ε1>0時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)某叨茸儞Q可將系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)化為

該系統(tǒng)可看作是Hamilton系統(tǒng)

的擾動(dòng)系統(tǒng).文獻(xiàn)[8]利用廣義Rolle定理證明了Hamilton函數(shù)是4次多項(xiàng)式）的平面Hamilton系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)7n+5.文獻(xiàn)[9]研究了具有“8字環(huán)”的Hamilton系統(tǒng)x˙=2y，y˙=λ+2x-4x3（λ∈在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù).文獻(xiàn)[10]研究了四次橢圓Hamilton向量場(chǎng)在三次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)的個(gè)數(shù).文獻(xiàn)[11]利用Petrov的復(fù)域方法證明了在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，向量場(chǎng)（3）-在周期閉軌族Γh（h∈（0，+∞））附近分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過(guò)n+1（實(shí)際上證明了不超過(guò)2[（n+1）/2]）.

近年來(lái)，受到力學(xué)、電器工程和自動(dòng)化控制中不連續(xù)現(xiàn)象的影響，相關(guān)學(xué)者對(duì)分段光滑的微分系統(tǒng)產(chǎn)生了濃厚的興趣.對(duì)于分段光滑微分系統(tǒng)，一個(gè)重要的問(wèn)題就是確定極限環(huán)的個(gè)數(shù).文獻(xiàn)[12-14]通過(guò)計(jì)算Lyapunov常數(shù)研究了分段開(kāi)關(guān)系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界.文獻(xiàn)[15-16]利用平均法研究了不連續(xù)分段系統(tǒng)的周期解.文獻(xiàn)[17-21]利用Melnikov函數(shù)法研究了分段近Hamilton系統(tǒng)周期解附近分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù).

本文利用Melnikov函數(shù)法并結(jié)合廣義Rolle定理討論當(dāng)平面分為左右2個(gè)區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)（3）-在分段n（≥2）次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù).考慮系統(tǒng)

其中：0<ε?1，且

當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)（4）0的Hamilton函數(shù)為

當(dāng)h∈（0，+∞）時(shí)，系統(tǒng)（4）0存在順時(shí)針走向的周期閉軌族Γh=Γh+∪Γh-，其中：

設(shè)Γh與x軸正半軸交于與x軸負(fù)半軸交于與y軸正半軸交于，與y軸負(fù)半軸交于其中

本文的主要結(jié)果如下：

定理對(duì)于h>0，系統(tǒng)（4）ε的周期閉軌族Γh在分段n（≥2）次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，當(dāng)Abel積分

不恒為零時(shí)，I（h）的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)2n+7[n/2]+1.

2 Abel積分的計(jì)算

由Γh的對(duì)稱性易得

引理1若k為偶數(shù)，則有

若k為奇數(shù)，則有

證明 利用數(shù)學(xué)歸納法證明.首先證明k為偶數(shù)的情形.由分部積分和式（5），當(dāng)s≥4時(shí)，有

變形得

顯然，當(dāng)k=0、2時(shí)，引理1成立.假設(shè)當(dāng)k≤2M-2（M≥2）時(shí)引理1成立，則當(dāng)k=2M時(shí)，有

其中：

從而有

因此，當(dāng)k=2M時(shí)，引理1成立.

下面證明k為奇數(shù)的情形.當(dāng)k=1時(shí)，引理1顯然成立.當(dāng)k=3時(shí)，有

其中：

從而有

因此，當(dāng)k=2M+1時(shí)，引理1成立.引理證畢.

命題系統(tǒng)（4）ε的Abel積分可以表示為

其中：

deg{u2（h）}≤α-1，deg{u3（h）}≤β+1

證明當(dāng)x≥0時(shí)，注意到

同理可得，當(dāng)x<0時(shí)，有

首先利用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的式（10）成立.

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

當(dāng)n=0時(shí)式（10）成立.

當(dāng)n=1時(shí)，式（10）成立.

假設(shè)當(dāng)n≤2k-1時(shí)式（10）成立，則當(dāng)n=2k時(shí)，結(jié)合引理1，式（10）新增加的項(xiàng)為

因此，當(dāng)n=2k時(shí)，有

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

即當(dāng)n=2k時(shí)式（10）成立.

當(dāng)n=2k+1時(shí)，結(jié)合引理1，式（10）新增加的項(xiàng)為

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

因此，當(dāng)n=2k+1時(shí)，有

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

即當(dāng)n=2k+1時(shí)式（10）成立.綜上可得式（10）成立.

結(jié)合式（9），類似于式（10）的證明可得

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

結(jié)合式（6）和式（8）~式（11）可得

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

命題證畢.

引理2滿足Picard-Fuchs方程組

證明由文獻(xiàn)[11]的引理3可知式（12a）和式（12c）成立.下證式（12b）成立.

對(duì)式（13）關(guān)于h求導(dǎo)，可得

另一方面，利用分部積分可得

變形得

結(jié)合式（7）可得

引理證畢.

推論1滿足Picard-Fuchs方程組

對(duì)式（14a）和式（14c）求導(dǎo)，可得推論2.

推論2滿足微分方程組

3 Abel積分孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)

引理3[22]設(shè)A（h）和B（h）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上分別有個(gè)和個(gè)零點(diǎn)（計(jì)重?cái)?shù)若方程A（h）·滿足：

（1）P（h）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)；

（2）A（h）與B（h）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（h，P）在[a，b]×[mP，MP]上連續(xù)，其中[mP，MP]是P（h）在[a，b]上的值域.

則函數(shù)P（h）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上至多有個(gè)零點(diǎn)（計(jì)重?cái)?shù)）.

引理4設(shè)且deg{v2（h）}≤deg{v0（h）}≤deg{v2（h）}+1，則

其中：k≥2，deg{v0，k（h）}≤deg{v0（h）}+k-1，deg{v2，k（h）}≤deg{v2（h）}+k-1.

證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=2時(shí)，對(duì)F（h）求二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合推論1和推論2可得

其中：

從而有

則當(dāng)k=2時(shí)，引理4成立.假設(shè)當(dāng)k=η≥2時(shí)引理4成立，則當(dāng)k=η+1時(shí)，結(jié)合推論1有

其中：

從而有

即當(dāng)k=h+1時(shí)引理4成立.引理證畢.

定理的證明當(dāng)n≥2時(shí)，由命題可知

對(duì)I*（h）關(guān)于h求導(dǎo)，并結(jié)合推論1可得

其中：

其中：

且deg{v0（h）}≤α+β+1，deg{v2（h）}≤α+β，deg{v3（h）}≤2β+2.

在引理4中，令k=（2β+2）+1=2β+3，可得

由文獻(xiàn)[11]的定理1可得

則有

結(jié)合式（15）和式（17）及引理3可得

定理證畢.