關(guān)注三角形“四心”與解幾的交匯題

安徽省巢湖市第六中學(xué) (238000) 何顯龍

關(guān)于三角形中的重心﹑垂心﹑內(nèi)心﹑外心等問(wèn)題在解析幾何中也經(jīng)常出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了平面幾何與解析幾何的相互交融，由于涉及的知識(shí)面廣，極富思考性和挑戰(zhàn)性，是各類(lèi)選拔性考試的選題對(duì)象.下面精選一些典型例題并予以分類(lèi)解析，旨在探索解析幾何中四心問(wèn)題的解題方法，希望能給讀者朋友有所幫助.

1.重心 即三角形三條中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍.在解析幾何中常用重心坐標(biāo)公式解題.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A,B滿足AO⊥OB.求△AOB的重心G的軌跡方程.

評(píng)注：三角形的重心坐標(biāo)公式是重心性質(zhì)在解析幾何中的重要體現(xiàn)，從而賦予此公式的在具體解題中所起的重要作用.

評(píng)注：根據(jù)重心的性質(zhì)容易確定弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再抓住點(diǎn)在橢圓上運(yùn)用“點(diǎn)差法”求出弦所在直線的斜率k，這樣就解決了問(wèn)題的核心部分.

2.垂心 即三角形三條高線的交點(diǎn)，在解題中常利用高與邊垂直確定直線的斜率關(guān)系.

例3 已知圓x2+y2-9x=0與頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若△AOB的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程.

評(píng)注：由于拋物線方程中只有一個(gè)待定參數(shù)，所以只要建立一個(gè)關(guān)于此參數(shù)的方程就能解決所求問(wèn)題，而通過(guò)垂心找垂直是很容易得到一個(gè)等式的.

評(píng)注：由題設(shè)中的垂心得到了一個(gè)向量的等量關(guān)系，它是建立軌跡方程的關(guān)鍵條件.

3.內(nèi)心 即三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心到三角形各邊的距離相等，解題時(shí)常用角平分線的有關(guān)性質(zhì)列式求解.

例5 在△ABC中，A(8，-1)，B(4，2)，內(nèi)心為M(5，0)，求BC邊所在的直線方程.

評(píng)注：由于已知到內(nèi)心的坐標(biāo)，所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離的問(wèn)題，此處應(yīng)注意：在設(shè)直線方程是需要分斜率存在與不存在的情況討論，否則易造成失根.

評(píng)注：將給出的內(nèi)心條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到各邊的距離相等，再利用已知的距離挖出了特殊角，很容易就可得到AP、AQ的斜率和直線PQ、AP方程了，下面問(wèn)題的解決就簡(jiǎn)單了.

4.外心 即三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

例7 在△ABC中，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，3)，BC邊的長(zhǎng)為2，且在x軸的區(qū)間[-3，3]上滑動(dòng)，求△ABC的外心M的軌跡方程.

評(píng)注：此法是求軌跡方程中的參數(shù)法，用參數(shù)表示B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)后，再求出三角形兩邊的垂直平分線方程，它們的交點(diǎn)就是外心了，這是從外心的定義角度分析求解的.

例8 設(shè)p>0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q(2p，0)的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A,B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H，試證H為△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的外心；并求以AB為直徑的圓面積最小時(shí)直線AB的方程.

評(píng)注：在挖掘出此三角形為直角三角形后，那么三角形的外心就是此三角形斜邊的中點(diǎn)，所以找出隱含條件并給予適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用就是成功解題的突破口.