追根溯源 彰顯深意*
——以《尺規(guī)作圖》教學(xué)為例

周 楊 (江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校 211500)

尺規(guī)作圖不僅是一種畫圖操作，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究的一種過程以及知法明理的追溯．對(duì)于尺規(guī)作圖題，有意滲透逆推的方法，用目標(biāo)圖展開探索，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀先預(yù)測(cè)，通過邏輯分析，再進(jìn)行畫圖操作．通過作圖幫助學(xué)生打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

從各地中考的現(xiàn)實(shí)情況來看，尺規(guī)作圖的要求已經(jīng)悄然發(fā)生變化，不再是對(duì)作圖技法操作單一的考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)鏈接，實(shí)現(xiàn)思維實(shí)驗(yàn)與動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的合拍，邏輯推理與合情推理的牽手，可謂新意迭出、深意彰顯．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《課標(biāo)》)要求：“對(duì)于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實(shí)施這些步驟的理由．”[1]尺規(guī)作圖考查了學(xué)生在有限條件下，通過幾何推導(dǎo)解決問題的能力．雖然《課標(biāo)》已經(jīng)弱化尺規(guī)作圖，但是尺規(guī)作圖貫穿了知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了幾何的邏輯思維．且這與探究活動(dòng)的目標(biāo)是一致的，因此較適合作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中探究活動(dòng)的內(nèi)容．

1 內(nèi)容解析

尺規(guī)作圖包含以下5種基本作圖，即作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線，作一條線段的垂直平分線，過一點(diǎn)作已知直線的垂線．由于尺規(guī)作圖只能利用直線和圓弧，不能利用刻度，因此本質(zhì)上是在限定條件下，依據(jù)已有的幾何性質(zhì)，通過對(duì)已知條件的推導(dǎo)，作出特定圖形或完成特定目標(biāo)．尺規(guī)作圖作為解決幾何問題的輔助或證明手段，需要學(xué)生在已有的認(rèn)知與操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上加以熟悉與掌握．

2 目標(biāo)及目標(biāo)解析

2.1 目標(biāo)

本節(jié)課選自蘇科版八年級(jí)上冊(cè)期中復(fù)習(xí)課．教學(xué)目標(biāo)是：(1)能夠掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)；(2)會(huì)將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖，發(fā)展合情推理與演繹推理能力；(3)通過尺規(guī)作圖梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

2.2 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志是：在經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程中，掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)．

達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志是：能夠根據(jù)已知條件畫出草圖，根據(jù)草圖分析，轉(zhuǎn)化為基本作圖，利用尺規(guī)規(guī)范作圖，而后再證明，經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的思維過程，也是由幾何直觀到幾何推理的過程．

達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志是：通過尺規(guī)作圖自然聯(lián)想條件與結(jié)論中所涉及的知識(shí)，根據(jù)相關(guān)的知識(shí)產(chǎn)生更多的尺規(guī)作圖的方法，進(jìn)而回顧這些方法的共性，以打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，達(dá)到知識(shí)融會(huì)貫通的目的．

3 教學(xué)問題診斷

在尺規(guī)作圖的過程中，直尺的功能是作連接兩點(diǎn)之間的線段，或過兩點(diǎn)畫直線和射線；圓規(guī)的功能是用于畫圓或弧，或者截取一條線段等于已知線段．這種只限于用尺規(guī)作出符合一定條件的幾何圖形的要求，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和操作能力．《課標(biāo)》對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)提出如下要求：了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．就像證明要做到言必有據(jù)一樣，作圖也要做到有根有據(jù)，這種要求有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神．尺規(guī)作圖是基于演繹推理的一種作圖方法，每種基本作圖都可以用幾何推理驗(yàn)證其正確性，所以尺規(guī)作圖教學(xué)實(shí)為訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是能夠掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)，會(huì)將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖，發(fā)展合情推理與演繹推理能力；教學(xué)難點(diǎn)是通過尺規(guī)作圖梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1 問題探究

如圖1，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的角平分線．

圖1 圖2 圖3

問題1描述你的作法，標(biāo)注字母，并寫出這樣作圖的理由．

追問1 在作圖的過程中可以得到什么條件，你能根據(jù)得到的條件證明嗎？

追問2 由角平分線這個(gè)結(jié)論我們能想到什么？

追問3 你還能想到其他不同的作法嗎？

圖4 圖5 圖6

圖7 圖8

師生活動(dòng)教師提出問題并引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生嘗試作圖后，發(fā)現(xiàn)作圖過程可以產(chǎn)生一些條件，而這些條件可以作為證明的已知條件，進(jìn)而可以證明．教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生反過來想，由角平分線這個(gè)結(jié)論我們能想到什么，學(xué)生從角平分線的定義想到兩個(gè)角相等，基于已有的知識(shí)繼而想到全等三角形，構(gòu)造全等三角形；由角平分線的性質(zhì)想到角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，繼而想到構(gòu)造垂線；由角平分線的軸對(duì)稱性想到只要構(gòu)造軸對(duì)稱圖形．此時(shí)教師追問你還能想到哪些不同的作法，學(xué)生依照剛剛的想法，探究更多不同的作法(圖2～圖8)．最后教師引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生打通各個(gè)知識(shí)板塊的關(guān)聯(lián)．在引導(dǎo)學(xué)生思考期間，教師多次適時(shí)介入，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，讓學(xué)生的思維都能動(dòng)起來．

設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)作一個(gè)角的角平分線這個(gè)基本作圖，掌握作角平分線的步驟與依據(jù)，理解作法的合理性，繼而引導(dǎo)學(xué)生用此方式思考其他基本作圖的步驟與依據(jù)．從角平分線定義、性質(zhì)、軸對(duì)稱性出發(fā)，自然聯(lián)想到構(gòu)造三角形結(jié)構(gòu)的想法，產(chǎn)生更多的作圖方法，達(dá)到知識(shí)的融匯貫通．

4.2 解決問題

如圖9，在△ABC中，∠C=90°，在AC邊上作一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)．

圖9

問題1你是怎么想到的？

追問1 由距離相等這個(gè)結(jié)論我們能想到什么？

追問2 你還能想到其他不同的作法嗎？

追問3 尺規(guī)作圖的一般步驟是什么？[2]

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生思考，根據(jù)結(jié)論距離相等能夠想到什么，學(xué)生很容易想到角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等、垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，而題目要求是點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離，一個(gè)是點(diǎn)到線的距離，一個(gè)是點(diǎn)到點(diǎn)的距離.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化，學(xué)生根據(jù)∠C=90°想到點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離就是點(diǎn)D到BC的距離(圖10)，從而解決問題．教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，能不能把點(diǎn)到線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離呢？學(xué)生想到要作一條線段的垂直平分線，繼而思考如何確定這條線段，根據(jù)已知條件想到點(diǎn)E在AB上，且BE=BC，如 圖11，從而解決問題．

圖10 圖11

設(shè)計(jì)意圖通過例題掌握解決較為復(fù)雜的尺規(guī)作圖問題，通過回顧作圖的過程歸納尺規(guī)作圖的一般步驟，以突破尺規(guī)作圖的難點(diǎn)，為后續(xù)將復(fù)雜的尺規(guī)作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．怎么想永遠(yuǎn)比想得到重要得多，通過活動(dòng)滲透解題教學(xué)的一般步驟：弄清問題，擬定計(jì)劃，執(zhí)行計(jì)劃，回顧．

4.3 回顧反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)尺規(guī)作圖有什么新的認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖通過小結(jié)回顧本節(jié)課的重難點(diǎn)，進(jìn)一步掌握作圖的依據(jù)，理解尺規(guī)作圖步驟的合理性．通過尺規(guī)作圖梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

5 教學(xué)反思

幾何是研究變中不變的科學(xué)．就是在變中尋找不變的東西，也就是定量把握定性刻畫，一個(gè)是在宏觀上把握方向性的問題，一個(gè)是在微觀上研究刻畫它的數(shù)量關(guān)系．尺規(guī)作圖有五種基本作圖，是基于五個(gè)基本事實(shí)，這五個(gè)基本事實(shí)就相當(dāng)于幾何教學(xué)中的八個(gè)公理與定理，作圖時(shí)可以直接拿來用的．

5.1 預(yù)測(cè)推理，化解難點(diǎn)

作圖題是一個(gè)推理題，工具比較少，就相當(dāng)于幾何證明的公理與定理一樣，可用的比較少．一個(gè)完整的尺規(guī)作圖的思維過程是已知—求證—分析—作法—證明—討論，而一個(gè)完整的幾何推理只有已知—求證—分析—證明．所以作圖題難度很大，對(duì)學(xué)生的思維要求非常高．那作圖題怎么教呢？如本節(jié)課作一個(gè)角的平分線，假設(shè)已經(jīng)作出來，在這樣的圖形中可以構(gòu)成什么樣的結(jié)構(gòu)？目前是角平分線，由此想到角平分線的定義、性質(zhì)、軸對(duì)稱性.那么如何確定這條線呢？根據(jù)公理“兩點(diǎn)確定一條直線”，還需要一個(gè)點(diǎn)，還可以想到什么？構(gòu)造全等三角形，也就是構(gòu)造形結(jié)構(gòu)，圍繞這個(gè)思路去想．道生一、一生二、二生三、三生萬物，這是最基本的數(shù)學(xué)理念．所以，在尺規(guī)作圖的作法探究中，教師可以讓學(xué)生根據(jù)已知畫出草圖，根據(jù)草圖分析畫法，利用尺規(guī)規(guī)范作圖，而后再證明，這就經(jīng)歷了由合情推理到演繹推理的思維過程，也是由幾何直觀到幾何推理的過程．

5.2 運(yùn)用作圖，追根溯源

尺規(guī)作圖作為一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D方式，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的操作和思維能力，同時(shí)也是幾何證明不可或缺的步驟．一方面，作圖為幾何命題提供了直觀的圖形條件；另一方面，作圖有時(shí)也為證明提供了思路．尺規(guī)作圖有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，教學(xué)中要讓學(xué)生利用幾何原理解釋作圖步驟，在培養(yǎng)學(xué)生操作能力的同時(shí)，達(dá)到訓(xùn)練理性思維的目的．學(xué)生思考、作圖和證明的過程，正是《課標(biāo)》所提倡的“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程”，這一操作和推理活動(dòng)，既有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，促進(jìn)學(xué)生形成獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、反思質(zhì)疑的良好思維品質(zhì)．在指向教師如何教的教學(xué)示范或建議中，均是以學(xué)生的先行獨(dú)立嘗試開路，洞察學(xué)情，以學(xué)定教．因此，本設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)教知識(shí)技能的同時(shí)更關(guān)注啟迪學(xué)生思維，運(yùn)用作圖，追根溯源．

5.3 通透原理，彰顯深意

尺規(guī)作圖的教學(xué)不能僅停留在“作圖”這個(gè)層面，而要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)作圖，還要弄清楚為什么這樣作、對(duì)應(yīng)了哪些知識(shí)、理由又是什么．筆者認(rèn)為對(duì)于角平分線，學(xué)生可以從位置和數(shù)量兩個(gè)方面來理解，數(shù)量可以刻畫位置，位置因?yàn)閿?shù)量更加的精確．學(xué)生先聯(lián)想，再理解，最后運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)和方法來解決問題．教師應(yīng)該嘗試著創(chuàng)建一個(gè)給學(xué)生自由理解的課堂，聯(lián)想所有的知識(shí)點(diǎn)和模型，再運(yùn)用自已的知識(shí)和方法來解決問題這樣的套路．這節(jié)課啟發(fā)我們教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都應(yīng)從一個(gè)點(diǎn)通過聯(lián)想打通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)板塊之間的關(guān)聯(lián)，那么一道題就不僅僅是一道題，而是一節(jié)課，甚至是很多節(jié)課，這才是尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值所在．