經(jīng)歷模型生成 助力思維提升*
——“一線三等角相似”的教學(xué)設(shè)計及思考

許 彬 耿恒考 (江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校 215021)

1 緣起

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“任何問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)模型，就會立即顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光！”可見各種數(shù)學(xué)模型對解題起著舉足輕重的作用.許多教師在日常教學(xué)中熱衷于給學(xué)生歸納各種數(shù)學(xué)模型，并且只注重教授結(jié)論和應(yīng)用，這樣做主要是為了方便學(xué)生在解題時能夠熟練地套用模型，實現(xiàn)快速解題的目標(biāo)．但他們卻忽視了模型生成的過程，使提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的效果大打折扣，更直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的有效發(fā)展和提高．前不久，在蘇州市教育局直屬學(xué)校舉行的一次初三教學(xué)研討活動中，筆者有幸開設(shè)了一節(jié)示范課，主題是蘇科版九年級下冊第六章“相似三角形”中的“一線三等角相似”．筆者基于學(xué)情設(shè)計的問題層層遞進，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下經(jīng)歷模型的完整生成，并且在知識生長處有效訓(xùn)練，既發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，又高質(zhì)量地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此得到與會師生的一致好評．

2 教學(xué)設(shè)計與分析

九年級學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前已經(jīng)在八年級上冊“全等三角形”中接觸過用模型解決三角形全等的相關(guān)問題.該模型根據(jù)角的位置關(guān)系被稱為“一線三等角”，從形狀的角度看被稱為“K型圖”，解題時通常又被細(xì)分為同側(cè)、異側(cè)兩類，一線三直角、三銳角、三鈍角三種.

因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是通過問題引領(lǐng)學(xué)生形成一線三等角相似的模型體系，并在靈活運用模型解決問題的過程中有效提升數(shù)學(xué)思維；難點是通過教學(xué)活動促進知識生長，增強數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2.1 類比抽象，提取模型

(1)問題1：將含45°角的直角三角板的直角頂點放在坐標(biāo)系的原點(圖1)，已知點A(2，1),求點B的坐標(biāo)．

圖1 圖2

變式：將含30°角的直角三角板的直角頂點放在同樣位置(圖2)，若點A(2，1),求點B的坐標(biāo)．

教學(xué)分析首先，問題1以學(xué)生常見的等腰直角三角板為背景，如圖3，分別從點A，B向x軸作垂線，垂足分別是點C，D，在等腰直角△AOB中AO=OB，由一線三直角全等模型可得△AOC≌△OBD，則由點A坐標(biāo)知AC=OD=1，OC=BD=2，因為點B在第二象限，所以點B的坐標(biāo)為(-1，2).此題起點低，比較容易解答，目的是為了讓學(xué)生回顧全等模型．其次，由變式題類比問題1的解法，如圖4，分別由點A，B向x軸作垂線，

圖3 圖4

圖5

(2)變化角度，模型延伸

問題2：如果將圖5中的直角變?yōu)槿我饨?銳角或鈍角，如圖6、圖7)，結(jié)論還能成立嗎？請同學(xué)們交流并給出證明．

圖6 圖7

教學(xué)分析問題2用角度變化引導(dǎo)學(xué)生完善同側(cè)一線三等角模型(圖6、圖7)，讓學(xué)生尋求變化中的不變，即角度大小變化了，但一條直線上的三個等角沒變，所以三角形仍然相似，使學(xué)生學(xué)會以辯證的視角分析問題，形成辯證思維能力．課堂第一個環(huán)節(jié)通過平面直角坐標(biāo)系中的一副直角三角尺構(gòu)造的問題1和變式題，以一線三等角全等作為引題，用直觀類比的方式抽象出相似模型，再由問題2引導(dǎo)學(xué)生對一線三等角的同側(cè)模型予以完善，由此，學(xué)生通過學(xué)習(xí)在知識最近發(fā)展區(qū)內(nèi)形成新知和能力．

2.2 初步應(yīng)用，完備模型

(1)問題3：如圖8，正方形ABCD的邊長為5，點P，Q分別在直線CB，DC上(點P不與點C，B重合)，且∠APQ=90°，當(dāng)CQ=1時，求出線段BP的長.

圖8

問題分解(用PPT逐條呈現(xiàn))：

(1)請在直線CD上畫出CQ=1的所有可能情況(圖9)；

圖9 圖10

(2)當(dāng)∠APQ=90°時，請在直線BC上確定點P的所有位置(圖10)；

(3)根據(jù)所畫圖形，求出線段BP的長.

教學(xué)分析在一線三等角同側(cè)模型形成后，問題3可以實現(xiàn)兩個教學(xué)目標(biāo)：一是對已有模型進行鞏固和強化；二是為探究異側(cè)模型圖埋下伏筆．教學(xué)中教師為了降低探究難度，給教學(xué)重點預(yù)留時間，將問題3“拆解”成三個小題：題(1)是根據(jù)條件畫出點Q所有位置(圖9中的Q1，Q2)，說明點Q不唯一；題(2)根據(jù)∠APQ=90°找出所有符合條件的直角頂點P(即圖10中的P1～P4)的四個位置；題(3)在圖10的直觀條件下，利用三角形相似求出線段BP的長度．在解題的最后階段，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)∠AP3Q2=90°和∠AP4Q2=90°的情況抽象出一線三等角異側(cè)模型(圖11)．

圖11

(2)問題4：如果將直角(圖11)變?yōu)槿我饨?銳角(圖12)或鈍角(圖13))，結(jié)論還成立嗎？請寫出你的證明過程．

圖12 圖13

教學(xué)分析問題4是借勢將剛剛抽象出的模型圖11中直角變化成銳角、鈍角(圖12、圖13)，讓學(xué)生完成證明過程，至此完備了一線三等角相似模型的所有情況，提升學(xué)生思維能力的落腳點也得到固化．

2.3 應(yīng)用模型，提升思維

圖14 圖15

變式：如圖15，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，且∠MDN=∠B．

(1)請找出圖中所有的相似三角形；

2.4 歸納整合，構(gòu)建體系

問題6：同學(xué)們清楚本節(jié)課所有模型圖之間的關(guān)系嗎？請概括它們的關(guān)系及異同點．

教學(xué)分析問題6是為了引導(dǎo)學(xué)生建立完整的一線三等角相似模型體系，在問題效能的驅(qū)動下，學(xué)生們一起梳理、補充、整合分散著的模型圖譜；通過教師激勵，學(xué)生猜想、試錯、辨析等系列教學(xué)活動，最終架構(gòu)起一線三等角證明相似三角形的模型體系(圖16)．至此，學(xué)生經(jīng)歷了模型的產(chǎn)生、發(fā)展、完備、整合，在問題解決中形成模型體系，從數(shù)學(xué)知識到思維能力都在上升，也是為用模型解決綜合性問題蓄力．

圖16

2.5 綜合應(yīng)用，思維拔高

問題7：如圖17，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，將△AOB沿l1翻折，點O的對稱點為P．

圖17

(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)若直線l2過點P，且與直線l1的夾角是45°，求兩直線l1，l2的交點坐標(biāo)．

圖18 圖19

3 思考

本次教學(xué)通過問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷模型的抽象-延伸-完備-整合-創(chuàng)建-綜合應(yīng)用，問題從簡單到復(fù)雜，知識由具體到抽象，教學(xué)思路清晰明了，知識層層遞進，思維拾階而上[2]，學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)模型進行思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

3.1 用問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型生成

數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出這樣的觀點：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型……”，可見模型對學(xué)生學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的重要意義．基于此，教學(xué)中教師通過設(shè)計層層遞進的問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，使學(xué)生在探究中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，掌握建模方法，而不是直接給學(xué)生模型．本課教學(xué)伊始，教師通過問題1及變式讓學(xué)生既回顧全等模型，又用類比的方式抽象出直角相似模型，新知生成自然合理；再通過變直角為銳角、鈍角，形成同側(cè)模型，此環(huán)節(jié)并不是僅僅變角度，還引導(dǎo)學(xué)生說出相似依據(jù)，模型得到完美延伸；問題3的研究既可以實現(xiàn)運用已知模型解決問題，又能引申出異側(cè)模型，進而使模型得以完備，也讓學(xué)生明白研究異側(cè)模型的必要性．在學(xué)生經(jīng)歷了模型的抽象、延伸、完備之后，學(xué)生的學(xué)習(xí)探究活動并沒有戛然而止轉(zhuǎn)入解題訓(xùn)練環(huán)節(jié)，卻是用問題6引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)全部模型進行整合，構(gòu)建起本節(jié)課學(xué)習(xí)新知的體系，也是對本節(jié)課學(xué)習(xí)所得的總結(jié)，這對訓(xùn)練學(xué)生“四基”“四能”有強基固本的作用．

3.2 緊扣知識生長點，助力思維提升

數(shù)學(xué)是思維的體操，本課不能把學(xué)生單純會用模型解題作為教學(xué)活動的終點，教師應(yīng)注重通過解決螺旋上升的問題提升學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的品質(zhì)．由開始的問題1(放在平面直角坐標(biāo)系中的一副三角尺)抽象出模型，做為本課知識教學(xué)的生長基點；問題3在討論、探究中能看到模型的影子，還需要新的模型出現(xiàn)才能完整解決問題；問題5在強條件之下應(yīng)用模型解決問題，學(xué)生會直接感受到模型給解題帶來的好處；然后變式題將條件弱化，讓學(xué)生強烈感覺到學(xué)習(xí)模型的必要性；最后，問題7中的題(1)需要學(xué)生思考如何添加輔助線創(chuàng)建相似模型才能解決問題，而題(2)則要學(xué)生利用已知條件45°構(gòu)造出等腰直角三角形，并在此基礎(chǔ)上再次添加輔助線構(gòu)造模型證明全等才可以順利解決問題．這里所有的數(shù)學(xué)問題都是知識的延伸點和思維的外顯形式[3]，利用問題解決活動有效地提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度和深度．

本課并沒有將數(shù)學(xué)模型教學(xué)“模式化”地直接給出，而是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型生成及應(yīng)用，不僅注重知識的“生長點”還重視知識的“延伸點”[1]，強化學(xué)生對知識的整體把握和宏觀認(rèn)識，對提升數(shù)學(xué)思維和形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)是十分有效的．