談基于數(shù)學(xué)寫(xiě)作的深度學(xué)習(xí)*

劉雪瑩 (江蘇省江陰高級(jí)中學(xué) 214443)

倉(cāng)萬(wàn)林 (江蘇省江陰市要塞中學(xué) 214432)

深度學(xué)習(xí)是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)之一．1976年，美國(guó)學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo根據(jù)學(xué)生閱讀的實(shí)驗(yàn)研究，首次提出深度學(xué)習(xí)(深層學(xué)習(xí))這一關(guān)于學(xué)習(xí)層次的概念，深度學(xué)習(xí)是相對(duì)于孤立記憶和非批判性接受知識(shí)的淺層學(xué)習(xí)而言的．深度學(xué)習(xí)的核心理念是“促使深度參與、培育高階能力、為遷移而學(xué)”．關(guān)于深度學(xué)習(xí)，2014年地平線報(bào)告(基礎(chǔ)教育版)指出，“越來(lái)越多的學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)開(kāi)始意識(shí)到它在正式學(xué)習(xí)環(huán)境中的價(jià)值”，“追求深度學(xué)習(xí)”已成為驅(qū)動(dòng)教育技術(shù)應(yīng)用的趨勢(shì)[1]．

1 數(shù)學(xué)寫(xiě)作是一種深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)寫(xiě)作與深度學(xué)習(xí)有著密切的關(guān)系．深度學(xué)習(xí)離不開(kāi)深度思考，數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)同樣也離不開(kāi)思考，這里的思考更加側(cè)重于深度思考．?dāng)?shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)在以下方面具備了深度學(xué)習(xí)的基本特征．

1.1 數(shù)學(xué)寫(xiě)作體現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的批判性理解

深度學(xué)習(xí)注重知識(shí)學(xué)習(xí)的批判性理解．深度學(xué)習(xí)是基于理解的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者批判性地學(xué)習(xí)新知識(shí)和思想，批判性地看待新知識(shí)并深入思考，與原有的知識(shí)體系融會(huì)貫通．在數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)中，批判性的閱讀和思考是寫(xiě)作的起點(diǎn)，寫(xiě)作的過(guò)程更是經(jīng)歷了不斷調(diào)整、優(yōu)化的考驗(yàn)，具備了深度學(xué)習(xí)中批判性理解的基本特征．

1.2 數(shù)學(xué)寫(xiě)作體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合．學(xué)習(xí)內(nèi)容的整合包括內(nèi)容本身的整合和學(xué)習(xí)過(guò)程的整合，內(nèi)容本身的整合既包括多種知識(shí)和信息間的聯(lián)接，也包括多學(xué)科知識(shí)融合及新舊知識(shí)聯(lián)系等．?dāng)?shù)學(xué)寫(xiě)作中的整合是常態(tài)，有文科和理科內(nèi)容的整合，也有研究方法和手段的整合，更有學(xué)科綜合能力的整合．

案例1[2]馬思琪《初探“順?lè)凑硵?shù)”》(節(jié)選)．

翻開(kāi)《新高考(高二版)》2017年第9期，看到刊首《閑人莫入》一文給出了以下一組神奇的等式，引起了我的興趣：

82-42=48，

682-342=3 468，

6682-3342=334 668，

6 6682-3 3342=33 346 668，

……

文中說(shuō)：“這樣的等式，可以一直寫(xiě)下去，直到無(wú)窮大，統(tǒng)統(tǒng)都是成立的”“迄今為止，這樣的一系列無(wú)窮等式，除此之處，別的地方再也沒(méi)有看到過(guò)，真正說(shuō)得上‘只此一家，別無(wú)分店’了！”

我想：這組等式長(zhǎng)得這么美，為什么會(huì)那么“孤獨(dú)”呢？是她太“高冷”了嗎？還是“曲高和寡”呢？難道沒(méi)有相似的同伴？

小作者用優(yōu)美的筆觸給出了解題過(guò)程中的風(fēng)景：(1)原題的證明；(2)原題的推廣，“反粘數(shù)”；(3)原題的類比，“順粘數(shù)”；(4)全新的發(fā)現(xiàn)．在命題探究過(guò)程中，除了文理學(xué)科的融合之外，作者將綜合法證明、反證法等方法靈活運(yùn)用，并借用電子表格Excel等進(jìn)行了命題的探究和優(yōu)化，較好地體現(xiàn)了新舊知識(shí)、技術(shù)手段的融合．該數(shù)學(xué)寫(xiě)作所研究的問(wèn)題，從知識(shí)層面上看，不超過(guò)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，但從數(shù)學(xué)思維角度看，已經(jīng)完整地包含了數(shù)學(xué)研究的基本要素：給所研究的“新伙伴”下一個(gè)精確的定義，其中的數(shù)論知識(shí)整合了較為豐富的內(nèi)容．在數(shù)學(xué)寫(xiě)作的過(guò)程中，作者已經(jīng)完整地經(jīng)歷了一次真實(shí)的“數(shù)學(xué)研究”過(guò)程．

1.3 數(shù)學(xué)寫(xiě)作體現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的建構(gòu)反思

深度學(xué)習(xí)注重學(xué)習(xí)過(guò)程的建構(gòu)反思．建構(gòu)反思是指學(xué)習(xí)者在知識(shí)整合的基礎(chǔ)上通過(guò)新、舊經(jīng)驗(yàn)的雙向相互作用實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化和順應(yīng)，調(diào)整原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并對(duì)建構(gòu)產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視、分析、調(diào)整的過(guò)程．成熟的數(shù)學(xué)寫(xiě)作作品的作者都有一定的數(shù)學(xué)閱讀的基礎(chǔ)，其寫(xiě)作過(guò)程經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的選題、寫(xiě)初稿、修改、教師指導(dǎo)反饋，以及再修改的歷程，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程中的建構(gòu)反思．

1.4 數(shù)學(xué)寫(xiě)作體現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移運(yùn)用和問(wèn)題解決

深度學(xué)習(xí)重視學(xué)習(xí)的遷移運(yùn)用和問(wèn)題解決．深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者深入理解學(xué)習(xí)情境，判斷和把握關(guān)鍵要素，在相似情境中能夠做到“舉一反三”，在新情境中分析判斷差異并能遷移運(yùn)用．?dāng)?shù)學(xué)寫(xiě)作突破了傳統(tǒng)課堂教學(xué)中時(shí)間和空間的限制，部分學(xué)生為了解決問(wèn)題采用了團(tuán)隊(duì)協(xié)作形式，主動(dòng)自學(xué)了大量超出課堂教學(xué)難度的內(nèi)容；有很多學(xué)生用幾周甚至幾個(gè)月的時(shí)間打磨一篇文章；還有部分學(xué)生為了解決某個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，采用技術(shù)手段或者軟件解決問(wèn)題，使得一些數(shù)學(xué)建?；蛘咛骄繂?wèn)題的解決方案得到了眾多專家的贊賞和肯定，達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的基本要求．

案例2[3]鄭逸凡《論簡(jiǎn)單估算數(shù)量級(jí)的數(shù)學(xué)方法》(節(jié)選)．

關(guān)注時(shí)事政治報(bào)道的人往往會(huì)遇到這樣的麻煩，在相關(guān)報(bào)道中不能夠及時(shí)地獲取需要的數(shù)據(jù)．比如說(shuō)，美國(guó)的第四輪量化寬松的數(shù)量級(jí)是每月400～500億美元，新聞報(bào)道中可以輕松獲取相對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值，從而對(duì)美國(guó)的經(jīng)濟(jì)狀況有進(jìn)一步的了解．但如果突然被問(wèn)到斐濟(jì)(一個(gè)南太平洋小國(guó))的工業(yè)產(chǎn)值幾何，這甚至在網(wǎng)上查詢都無(wú)法找到準(zhǔn)確信息，缺少了這一數(shù)據(jù)，對(duì)于了解該國(guó)的工業(yè)化水平也就無(wú)從下手．但事實(shí)上，這些難以查詢的數(shù)據(jù)，有時(shí)可以通過(guò)查詢一些相關(guān)數(shù)值并進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算得到．

該數(shù)學(xué)寫(xiě)作中的最大挑戰(zhàn)在于僅僅根據(jù)一個(gè)提問(wèn)的方向，需要主動(dòng)建構(gòu)模型，找到相應(yīng)的數(shù)據(jù)和理論支撐，創(chuàng)造性地尋找問(wèn)題并解決問(wèn)題，這和傳統(tǒng)意義上的難題有本質(zhì)區(qū)別.學(xué)生們可能刷了很多應(yīng)用題，但是絕大多數(shù)人依然沒(méi)有辦法解決問(wèn)題．

2 數(shù)學(xué)寫(xiě)作中的深度學(xué)習(xí)指導(dǎo)

深度學(xué)習(xí)體現(xiàn)了面向未來(lái)的現(xiàn)代學(xué)習(xí)理念，數(shù)學(xué)寫(xiě)作是深度學(xué)習(xí)的一種有效形式．真正的深度學(xué)習(xí)是與學(xué)科教學(xué)聯(lián)系在一起的，是具有思維深度的．深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)性的探究活動(dòng)，要求學(xué)習(xí)者用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，教師在其中扮演的角色是引導(dǎo)者和輔助者．

2017年5月，“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”學(xué)校聯(lián)盟成立，目前成員單位已經(jīng)覆蓋全國(guó)20多個(gè)省份的100多所學(xué)校．根據(jù)“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”學(xué)校聯(lián)盟成員學(xué)校的實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合日常教學(xué)，我們建議從以下兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)寫(xiě)作中的深度學(xué)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo)．

2.1 挖掘有價(jià)值的問(wèn)題，啟發(fā)思考

困惑是啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的一把鑰匙．正如美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯所言：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．”因此，課堂上發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問(wèn)題，并啟發(fā)學(xué)生們學(xué)會(huì)思考，是數(shù)學(xué)寫(xiě)作中教師指導(dǎo)的重要環(huán)節(jié)．這些有價(jià)值的問(wèn)題可以源自課本，也可以是教學(xué)或者解題中某個(gè)核心的環(huán)節(jié)或者關(guān)鍵點(diǎn)．

在數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)中，我們尤其要重視課本上典型問(wèn)題的挖掘，這是數(shù)學(xué)寫(xiě)作對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸本質(zhì)的一種引領(lǐng)作用．

案例3[4]顧玨《極值，你真的了解嗎？》(節(jié)選)．

極值的問(wèn)題我們做了不少，可我們真的理解極值的含義嗎?

對(duì)于函數(shù)的極值，我們通常的理解就是f′(x)=0，是的，函數(shù)極值一般用f′(x)=0來(lái)求，但很多時(shí)候我們并沒(méi)有理解問(wèn)題的本質(zhì)．

不妨看看如下兩種情況：

(1)函數(shù)在f′(x0)=0時(shí)，x=x0不是極值點(diǎn)．

例如f(x)=x3時(shí)，f′(x)=3x2=0，則x=0，但函數(shù)f(x)=x3在R上是單調(diào)增函數(shù)，無(wú)極值(圖1)．

圖1 圖2

(2)函數(shù)在x=x0處取極值，但其導(dǎo)數(shù)卻不存在．

因此我們得出結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在定義域中某一點(diǎn)x0取極值是f′(x0)=0成立的既不充分又不必要條件．是不是理解起來(lái)有點(diǎn)麻煩呢？結(jié)合圖形再好好看看吧．

該生的文章選題源于蘇教版選修2-2上的一個(gè)思考題[5]：試聯(lián)系函數(shù)y=x3思考：當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，能否肯定函數(shù)f(x)在x0取得極值？

極值概念的理解是學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)中常糾結(jié)的問(wèn)題之一．這篇文章從學(xué)生能夠理解的實(shí)際案例出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，從容解決問(wèn)題，也從實(shí)踐層面上解決了由于教材體系的原因(繞開(kāi)極限直接學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù))而產(chǎn)生的難題，體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)智慧.在這個(gè)過(guò)程中，教師的必要幫輔是一個(gè)重要的保障性條件，因而這既是學(xué)習(xí)的智慧，也是教學(xué)的智慧．

2.2 系統(tǒng)安排一次深度學(xué)習(xí)的研究過(guò)程

案例分析是數(shù)學(xué)寫(xiě)作中的重要環(huán)節(jié)，經(jīng)歷一次完整的基于數(shù)學(xué)寫(xiě)作的深度學(xué)習(xí)探究過(guò)程，對(duì)參與活動(dòng)的學(xué)生及其他學(xué)生均有重要的指導(dǎo)意義．教師在指導(dǎo)時(shí)，以一個(gè)學(xué)期為周期，可以系統(tǒng)性地集中安排，也可以穿插到2～3節(jié)課中進(jìn)行，這樣和常規(guī)的教學(xué)不沖突．當(dāng)然，如果換成選修課或者校本課程的形式，則可以進(jìn)行得更為完善．

第一階段，由教師指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展任務(wù)導(dǎo)向型的合作探究．教師根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容，安排1～2節(jié)課，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，給出必要的提示，學(xué)生根據(jù)問(wèn)題先進(jìn)行獨(dú)立思考，然后以小組合作的形式開(kāi)展探究、提交作品．

第二階段，展示學(xué)習(xí)成果和互動(dòng)交流，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)知識(shí)的同化和應(yīng)用遷移．通過(guò)交流的過(guò)程，不斷進(jìn)行反思和借鑒，從而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化和應(yīng)用．全班展示小組成果，小組之間互相評(píng)價(jià)借鑒，教師總結(jié)評(píng)價(jià)，擴(kuò)展應(yīng)用，解決疑問(wèn)，綜合應(yīng)用知識(shí)．教師針對(duì)活動(dòng)過(guò)程中暴露出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行個(gè)別或者全班指導(dǎo)，幫助學(xué)生完善思維，改進(jìn)解題方法．

案例4[6]殷譽(yù)峰《基本不等式學(xué)習(xí)的“思與變”》(節(jié)選)．

基本不等式的應(yīng)用中，我們往往機(jī)械強(qiáng)調(diào)“一正二定三相等”，特別是在定值(定和或者定積)的配湊上下足了工夫，也就是“有的放矢”，以為這樣就可以搞定所有問(wèn)題了，這其實(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.沒(méi)有目標(biāo)時(shí)，不妨主動(dòng)出擊，“尋”的放矢，這可是解決問(wèn)題的另一種境界！

例題若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍．

變式1 若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，求a+b的取值范圍．

變式2 若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是．

變式3 已知a,b∈(0,+∞)，且a2+b2+ab=a+b，求a+b的最大值．

此文的例題及前面兩個(gè)變式相當(dāng)于第一階段，而后續(xù)問(wèn)題則有很大的變化，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的個(gè)性化．

該案例中，該生對(duì)基本不等式的使用進(jìn)行了深入思考，變式3中那個(gè)方向不一致的不等式應(yīng)用，戳到了學(xué)生們的痛點(diǎn)．最后一個(gè)變式，辯證地告訴我們，任何一種好的解題方法都可能有其不足之處，因此，有“備胎”意識(shí)很重要．這種經(jīng)驗(yàn)分享對(duì)其他學(xué)生亦有很好的啟發(fā)價(jià)值．學(xué)生寫(xiě)自己解題的心路歷程，特別是對(duì)同一類問(wèn)題的積累和拓展等，在解決問(wèn)題的同時(shí)，能夠有效培養(yǎng)、訓(xùn)練、提升其歸納、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．在數(shù)學(xué)寫(xiě)作實(shí)踐過(guò)程中，教師們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生將原有的思考過(guò)程用文字來(lái)呈現(xiàn)時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)許多原本以為理所當(dāng)然的問(wèn)題，要有效解決這些問(wèn)題，必須再次進(jìn)行多方面的深入思考，這對(duì)學(xué)生的綜合能力提出了新的挑戰(zhàn)，也與課程改革培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基本要求是完全一致的．

深度學(xué)習(xí)發(fā)生于課堂，更發(fā)生于課堂之外，數(shù)學(xué)寫(xiě)作打破了傳統(tǒng)課堂的時(shí)空限制，使學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，有效提升學(xué)科核心素養(yǎng)．