問題引領 自主探究 自然建構
——“兩角和與差的余弦公式”教學設計和反思

孔幫新 (江蘇省丹陽市第五中學 212300)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級普通高中重點班，基礎較好，有一定的自學能力、推理能力及運算能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(必修4)》(蘇教版)，“兩角和與差的余弦公式”為第3章“三角恒等變換”第1節(jié)內(nèi)容，它揭示了單角正、余弦值與和、差角余弦值之間的內(nèi)在聯(lián)系，是在研究了同一個角的三角函數(shù)變換的基礎上進行學習的，是誘導公式的推廣，是后面推導兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的基礎和核心，也是本章的重點和難點．教學中要引導學生在公式生成過程中體驗式子中的角度變換、式子的結構形式變換以及不同三角函數(shù)之間的變換，領悟換元、化歸、特殊與一般等思想方法，理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為熟練運用公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值、恒等式證明打好基礎，發(fā)展推理能力和運算能力．

教學目標 (1)經(jīng)歷運用幾何法推導出兩角和與差的余弦公式的過程，體驗、感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂；(2)能用兩角和與差的余弦公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值．

教學重點 創(chuàng)設問題情境引導學生通過自主探究和合作討論，推導出兩角和與差的余弦公式．

教學難點 創(chuàng)設問題情境引導學生建構推導兩角和與差的余弦公式的思路．

2 教學過程

2.1 自然引入

對于兩角和與差的余弦公式的引入，我們以問題串形式形成如下設計方案：

問題1在銳角范圍內(nèi)我們常用的特殊角有哪些？

問題2這些特殊角的三角函數(shù)值大家都很熟悉了，如何求cos 15°,cos 75°？

問題3由于15°=45°-30°=60°-45°， 75°=30°+45°，那么cos 15°=cos(45°-30°)= cos 45°-cos 30°成立嗎？你能檢驗嗎？cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°+cos 45°成立嗎？你能檢驗嗎？

學生根據(jù)知識的負遷移得出錯誤結論，在教師的指導下學生合作交流，很自然地得到cos(45°-30°)≠cos 45°-cos 30°，cos(30°+ 45°)≠cos 30°+cos 45°．

問題4cos 15°,cos 75°與30°,45°,60°的三角函數(shù)值有什么關系？

問題5更一般地，cos(α+β)=？cos(α-β)=？cos(α+β),cos(α-β)與角α,β的三角函數(shù)有何關系？

通過創(chuàng)設問題情境自然地提出問題，引發(fā)學生積極地思考，從而很順暢地引入研究的課題，這樣有利于激發(fā)學生強烈的求知欲望，使學生目標明確、迅速進入角色．這種設計更符合學生的認知規(guī)律以及兩角和與差公式產(chǎn)生的過程．

2.2 自主探究

(1)探究點1：如何自主地在直角坐標系中作出α+β,α-β？

為了設計得更自然，我們以問題串的形式進行如下設計：

問題6我們研究任意角三角函數(shù)和誘導公式都是借助于直角坐標系和單位圓研究的，那么如何研究兩角和與差的三角函數(shù)呢？

問題7我們將角α,β分別放在兩個直角坐標系中(圖1、圖2)，將角β拿出來，在第一個坐標系中如何作出α+β？(讓學生上黑板用道具進行拼接)有幾種拼接方案？(圖3、圖4)

圖1 圖2

圖3 圖4

問題8第一種拼接方案中(圖3)，α+β的始邊與單位圓的交點P的坐標是什么？α+β的終邊與單位圓的交點C的坐標又是什么？

問題9第二種拼接方案中(圖4)，角α的終邊與單位圓的交點A的坐標是什么？角-β的終邊與單位圓的交點D的坐標是什么？

問題10我們將角α,β分別放在兩個坐標系中，將角β拿出來，在第一個坐標系中如何作出α-β？(讓學生上黑板用道具進行拼接)有幾種拼接方案？(圖5、圖6)

圖5 圖6

問題11第一種拼接方案中(圖5)，角α的終邊與單位圓的交點A的坐標是什么？角β的終邊與單位圓的交點B的坐標是什么？

問題12第二種拼接方案中(圖6)，α-β的始邊與單位圓的交點P的坐標是什么？α-β的終邊與單位圓的交點B′的坐標又是什么？

將兩個角分別作在兩個直角坐標系里，這個設計簡單自然，是本節(jié)課設計上的一個創(chuàng)新，它使得學生不受其他圖形的干擾，通過道具演示拼接好兩種情況，從而很輕松地作出α+β,α-β，再加屏幕展示清晰直觀，整個教學過程自然流暢．

(2)探究點2：如何自主地尋求到等量關系？

觀察圖形，我們先探究α+β的三角函數(shù)與角α及角β的三角函數(shù)的等量關系.為了使學生更自主地尋求到等量關系，我們設計如下問題串：

問題13觀察兩個圖形，你們能發(fā)現(xiàn)什么等量關系？

問題14觀察兩個圖形，兩個等圓中，由圓心角相等能得出什么等量關系？

問題15這幾種等量關系中，哪種等量關系能用坐標的形式表示出來？并且坐標中含有角α+β的三角函數(shù)與角α,β的三角函數(shù)．

尋求等量關系是這節(jié)課的難點，也是關鍵之所在，多次試講都發(fā)現(xiàn)學生不知如何找到等量關系，如何突破？首先我們設計將兩條線段分別放在兩個單位圓中，這種簡單自然的創(chuàng)意可使學生不受其他圖形干擾，使學生更易找到線段的等量關系；其次教師提出更具啟發(fā)性和目標性的問題也是促使學生更容易地找到等量關系的關鍵．通過以上設計，學生很快就能找到最有用的等量關系，即PC=AD，然后將其坐標化即可．

2.3 自主建構

為了再現(xiàn)公式發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造”過程，我們讓學生上黑板進行板演，共同發(fā)現(xiàn)公式的產(chǎn)生過程.為了讓學生自主生成公式，我們設計如下問題串．

問題16兩角和的余弦公式是什么？

問題17上面兩個圖形所畫的角都在[0,π)內(nèi)，而且α>β，那么對任意的角α,β，上述公式是否成立？

我們可以引導學生自主地討論四種情況：(1)α在[0,π)內(nèi)，β在[π,2π)內(nèi)；(2)β在[0,π)內(nèi)，α在[π,2π)內(nèi)；(3)α,β都在[π,2π)內(nèi)；(4)α,β都大于2π.經(jīng)過學生自主探究，運用誘導公式將角都轉(zhuǎn)化到[0,π)內(nèi)，從而證明在四種情況下兩角和的余弦公式都成立．

再引導學生對所涉及的角進行推廣，使公式的得出具備一般性．

問題18大家想一想，我們得到了兩角和的余弦公式，對于兩角差的余弦公式還需不需要再去進行這種重復的運算？

問題19兩角和的余弦公式與兩角差的余弦公式之間有什么轉(zhuǎn)化關系？

問題20兩個公式的特點是什么？

歸納公式結構特點，給出記憶口訣：CCSS，符號相反．

得到兩個公式后我們再引導學生發(fā)現(xiàn)兩個公式之間的轉(zhuǎn)化關系，即用-β代換β，這有利于學生在大腦中進行公式的自主建構．最后由公式特點歸納出記憶口訣，簡單自然，瑯瑯上口，易于學生記憶．學生在“自主生成、自主探究”的課堂中自主建構了兩角和與差的三角函數(shù)公式．

2.4 自主應用

問題21現(xiàn)在你能求出cos 15°,cos 75°了嗎？

前后呼應，運用公式解決問題，讓學生親身體會獲得成功的喜悅！問題的解決是公式的簡單正用．

例題設計：

1.計算：cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°．

變式 (1) cos 80°cos 20°+sin 80°cos 70°；(2) cos 80°sin 70°+sin 100°sin 20°．

3.計算：cos215°-sin215°,推廣至一般情況cos2α-sin2α=cos 2α．

例題的設計意圖：第1題的兩個變式和第2題，讓學生初步體會公式的逆用和變形；第3題推廣到一般情況為后續(xù)學習做好鋪墊；第4題中的正負取舍是學生的易錯點．

通過層層深入的例題與習題的配置，引導學生積極思考，自主解決問題，使學生從“懂”到“會”再到“悟”，并將所學知識納入到新的知識體系中．

2.5 自主總結

課堂小結是在教師的指導下，由學生自主歸納：(1)數(shù)形結合推導出兩角和與差的余弦，兩個公式之間可以相互轉(zhuǎn)化；(2)兩角和與差的余弦公式為cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ，記憶口訣為“CCSS，符號相反”；(3)公式的靈活運用；(4)通過本節(jié)課的學習，掌握了一些探究數(shù)學問題的基本方法．

自主總結可以使學生加深對公式和推導過程的理解，并明確學習本節(jié)課所要達到的教學目標．

3 回顧與反思

3.1 設計思路

(1)公式推導思路的設計

由于和、差、倍角的三角函數(shù)之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，可以選取一個基礎公式來推理得到其他公式，這不是唯一的.教材之所以選用兩角差的余弦公式作為基礎，是緣于向量工具的提前引入，但現(xiàn)在面對的學生沒有學習向量，所以選擇幾何法證明兩角和與差的余弦公式，而用幾何法推導兩角和的余弦公式和兩角差的余弦公式所用的方法是一樣的，基于此，我們選擇將兩角和的余弦公式的推導作為本節(jié)課的教學重點．

(2)本節(jié)課引入的設計

根據(jù)已學的知識引出新問題，然后拋給學生，讓學生探究，學生大膽猜想，后又自主探究推翻猜測，教師適時引導，兩角和與差的余弦公式究竟是什么？這就非常自然地引出本節(jié)課需要探究的問題．通過問題情境的設置，使學生思維迅速處于“憤”“悱”狀態(tài)，產(chǎn)生強烈的求知欲望，積極主動地投入學習．

(3)突破公式推導難點的設計

我們沒有讓學生對在直角坐標系里的單位圓中是作出α+β還是α-β作選擇，而是讓學生既作出α+β又作出α-β．但如何讓學生比較自然地作出α+β和α-β并且能非常容易地尋求到等量關系是本環(huán)節(jié)的一個難點．我們將角α和β分別放在兩個直角坐標系中，將角β拿出來，此處借助道具讓學生拼接，迅速找到作出α+β和α-β的兩種方法，并且用課件的形式分別呈現(xiàn)在兩個單位圓中，然后由教師提出具有啟發(fā)性和目標性的問題，以便學生更容易地找到等量關系，至此難點一步步得到化解．在推導過程中，重點引導學生推導兩角和的余弦公式，對于兩角差的余弦公式可以同理得到．得到兩個公式后引導學生發(fā)現(xiàn)兩個公式之間的轉(zhuǎn)化關系．至此難點逐一得以突破．

3.2 教學反思

(1)課堂教學要通過設計教學主線推進教學進程

基于整章教學要求的考慮，本節(jié)課將“兩角和的余弦公式的探究”作為課堂教學的明線，核心指導思想——轉(zhuǎn)化思想作為一條暗線來推進課堂教學．本節(jié)課一開始就讓學生求15°和75°的余弦值，學生就能想到轉(zhuǎn)化為特殊角去處理．在后面公式推導的過程中，通過設計問題串引導學生在參與公式推導的探究活動中，深刻體會未知角向已知角的轉(zhuǎn)化，體會未知值向已知值的轉(zhuǎn)化以及未知范圍向已知范圍的轉(zhuǎn)化等，切實理解公式產(chǎn)生的來龍去脈、結構特征與內(nèi)在聯(lián)系，從而有助于學生熟練、靈活地駕馭公式，切實提高課堂教學的有效性[1]．

(2)課堂教學要引導學生通過多種思路探究公式

本節(jié)課由于面對的學生沒有學習向量知識，所以只能選擇幾何法證明兩角和與差的余弦公式，并且選擇了兩角和的余弦公式證明作為本節(jié)課的重點，這是本節(jié)課在公式推導方面的一點遺憾．如果學習了向量，則可以通過代數(shù)法(向量法)和幾何法推導出兩角和與差的公式，兩種推導方法(代數(shù)與幾何)相得益彰，充分凸顯向量方法的工具作用，讓學生在公式的推導和探究過程中體驗、感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂，體會向量和三角函數(shù)間的聯(lián)系，從而有效地培育學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學核心素養(yǎng)．

(3)課堂教學要指導學生自主總結探究問題的方法

通過本節(jié)課的學習，我們也要為學生歸納總結出一個探究問題的思路和方法：①善于運用已學過的知識，將研究的新問題轉(zhuǎn)化為已學過的知識進行處理和解決；②知識體系建構要由淺入深、循序漸進、逐步推進，由學生自主探究、自主建構自己的知識體系．我們認為這種探究數(shù)學問題的方法符合學生的認知規(guī)律．后續(xù)新公式的探究就可以放手讓學生去自主探究，這對學生自主建構公式網(wǎng)絡體系、培養(yǎng)自學能力給予了很好的方法上的指導，這才是本節(jié)課教學中最應該讓學生掌握的東西．