基于廣義位移的波形鋼腹板組合箱梁有限梁段分析方法

周茂定 藺鵬臻 張?jiān)?/p>

(1甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)土木工程系, 蘭州 730070)(2蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

波形鋼腹板-混凝土組合箱梁能通過(guò)鋼腹板的波折形式有效提升腹板的抗屈曲性能[1].腹板的手風(fēng)琴效應(yīng)使其幾乎不承擔(dān)軸向彎矩或軸力[2],從而提高了預(yù)應(yīng)力的施加效率.然而,手風(fēng)琴效應(yīng)與剪切變形耦合會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大撓曲變形,使得經(jīng)典的Euler梁與Timoshenko梁理論不再適用[3].近年來(lái),研究者們一直在尋求求解精度高且計(jì)算簡(jiǎn)便的梁?jiǎn)卧椒?吳文清等[4]提出了擬平截面假定的簡(jiǎn)化分析方法,因能充分利用經(jīng)典的Euler梁的分析理論而被廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)[5-8]通過(guò)引入剪切附加撓曲轉(zhuǎn)角來(lái)反映鋼腹板的剪切變形,進(jìn)而求解組合梁的撓度.學(xué)者們還提出了不同于擬平面假定的分析法,如Kato等[9]提出了一種類(lèi)似于夾心梁的撓曲分析方法;聶建國(guó)等[10]將組合箱梁的撓曲變形假設(shè)為桁架與彎曲的共同作用,提出了組合箱梁撓度求解的簡(jiǎn)化分析方法.與擬平面假定下的梁理論相比,這些方法分析過(guò)程較為復(fù)雜.因此,需要建立一種既能利用Euler梁理論又能充分考慮鋼腹板手風(fēng)琴效應(yīng)與剪切效應(yīng)的梁?jiǎn)卧Ｐ?翼板的剪力滯效應(yīng)使組合梁的撓曲求解變得更為復(fù)雜;若采用三維空間有限元方法,則會(huì)導(dǎo)致建模過(guò)程繁瑣.基于一維梁?jiǎn)卧挠邢蘖憾畏▌t能克服解析法的困難,提高建模效率,獲得較為精確的分析結(jié)果.

然而,現(xiàn)有的梁段求解方法[11-12]大多建立在擬平截面假定基礎(chǔ)上,并未反映腹板的手風(fēng)琴效應(yīng).文獻(xiàn)[3,13]考慮手風(fēng)琴與剪切變形的耦合效應(yīng),但未計(jì)入翼板剪力滯效應(yīng).鑒于此,本文通過(guò)引入廣義位移及內(nèi)力,將組合箱梁的復(fù)雜撓曲變形狀態(tài)解耦為經(jīng)典的Euler梁撓曲、廣義剪切變形引起的撓曲與剪力滯效應(yīng)引起的撓曲3種狀態(tài).利用Hermite多項(xiàng)式建立廣義位移對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃?從而獲得組合箱梁的梁段有限元分析方法.

1 組合箱梁的撓曲位移函數(shù)

受任意荷載作用的簡(jiǎn)支波形鋼腹板組合箱梁示意圖見(jiàn)圖1.采用正交笛卡爾坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于截面形心處,x、y為橫截面的形心主軸,z為梁縱軸.圖中,p(z)為荷載;b1、b2分別為頂板和底板的1/2寬度;b3為懸臂板的寬度;au、al分別為截面形心到上翼板底和下翼板頂?shù)木嚯x;hw為鋼腹板的高度;hu、hl分別為截面形心到上、下翼板形心的距離;h為上、下翼板形心之間的距離.

1.1 豎向分布

參考文獻(xiàn)[3,8],對(duì)組合箱梁撓曲分析進(jìn)行基本假設(shè).組合梁變形滿(mǎn)足彈性小變形假設(shè),材料均處于線(xiàn)彈性范圍,即忽略混凝土及鋼材開(kāi)裂對(duì)結(jié)構(gòu)的影響.

(a) 坐標(biāo)體系

令v為組合箱梁截面的豎向撓度,梁高相對(duì)于梁的撓曲曲率半徑可忽略,故認(rèn)為箱梁上、下翼板的撓曲轉(zhuǎn)角均為v′(z).組合箱梁翼板與腹板的轉(zhuǎn)角關(guān)系見(jiàn)圖2.圖中,θ(z)為上、下翼板形心連線(xiàn)繞x軸的轉(zhuǎn)角;α(z)為上翼板底與下翼板頂位移連線(xiàn)繞x軸的轉(zhuǎn)角.受鋼腹板手風(fēng)琴效應(yīng)與剪切變形的耦合影響,轉(zhuǎn)角α(z)與θ(z)不相等[3,13].文獻(xiàn)[5-8]僅考慮上述變形對(duì)撓度的影響,忽略手風(fēng)琴效應(yīng)對(duì)應(yīng)力的影響,可能導(dǎo)致?lián)锨鷳?yīng)力分析存在誤差.

圖2 翼板與腹板轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖

結(jié)合圖1和圖2可得,上、下翼板任一點(diǎn)的撓曲縱向位移分別為

uu(y,z)=huθ(z)-(y+hu)v′(z)

(1)

ul(y,z)=-hlθ(z)-(y-hl)v′(z)

(2)

由式(1)和(2)可求得上翼板底與下翼板頂連線(xiàn)繞x軸的轉(zhuǎn)角為

χθ(z)+(1-χ)v′(z)

(3)

式中,χ=h/hw.

由變形連續(xù)性條件可得波形鋼腹板等效縱向位移為

uw(y,z)=-yα(z)

(4)

1.2 橫向分布

作為特殊的薄壁結(jié)構(gòu),組合箱梁翼板必然存在剪力滯效應(yīng),因而撓曲縱向位移沿翼板寬度方向存在不均勻分布.由文獻(xiàn)[14-15]可知,翼板剪力滯效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致梁產(chǎn)生撓曲轉(zhuǎn)角φ(z).若用ξ(x)表示剪力滯翹曲沿翼板橫向的非均勻分布函數(shù),則翼板附加的縱向位移ug(x,z)可表示為

ug(x,z)=ξ(x)φ(z)

(5)

本文所采用的剪力滯翹曲位移分布函數(shù)為[14-15]

(6)

式中,d為滿(mǎn)足截面自平衡的修正系數(shù).

綜合式(1)、(2)和(5),可得上、下翼板的撓曲縱向位移分別為

uu(x,y,z)=huθ(z)-(y+hu)v′(z)+ξ(x)φ(z)

(7)

ul(x,y,z)=-hlθ(z)-(y-hl)v′(z)+ξ(x)φ(z)

(8)

2 基于廣義位移的撓曲分析

式(7)和(8)形式復(fù)雜,不便于工程運(yùn)用,且無(wú)法區(qū)分腹板手風(fēng)琴效應(yīng)與剪切變形的耦合效應(yīng)及翼板剪力滯效應(yīng)對(duì)組合箱梁撓曲變形的影響.因此,將組合箱梁撓度v(z)分解為如下3種撓度:① 基于擬平截面假定的Euler梁撓度w(z);② 波形鋼腹板手風(fēng)琴效應(yīng)與剪切變形耦合(廣義剪切變形)引起的撓度f(wàn)(z);③ 翼板剪力滯效應(yīng)引起的撓度g(z).綜合式(7)和(8),可得翼板的撓曲縱向位移為

u(x,y,z)=-y[w′(z)+f′(z)+g′(z)]+

λρ(y)f′(z)+ηξ(x)g′(z)=

-yw′(z)-β(y)f′(z)-ζ(x,y)g′(z)

(9)

式中,λ、η分別為腹板廣義剪切變形和翼板剪力滯效應(yīng)的翹曲自平衡修正系數(shù),且λf′(z)=v′(z)-θ(z),ηg′(z)=φ(z);ρ(y)為鋼腹板手風(fēng)琴與剪切耦合產(chǎn)生的縱向位移沿豎向的分布函數(shù),對(duì)于上翼板有ρ(y)=-hu,對(duì)于下翼板有ρ(y)=hl;β(y)、ζ(x,y)分別為鋼腹板的廣義剪切變形與翼板剪力滯效應(yīng)的翹曲函數(shù),且

β(y)=y-λρ(y)

(10)

ζ(x,y)=y-ηξ(x)

(11)

根據(jù)位移-應(yīng)變關(guān)系及胡克定律,由式(9)可得翼板的撓曲正應(yīng)力為

Ecζ(x,y)g″(z)

(12)

式中,Ec為混凝土的彈性模量.式(12)右端第1項(xiàng)表示Euler梁應(yīng)力σE;第2、3項(xiàng)分別表示廣義剪切和剪力滯效應(yīng)引起的翹曲應(yīng)力σβ、σζ,即

σβ=-Ecβ(y)f″(z)

(13)

σζ=-Ecζ(x,y)g″(z)

(14)

若組合箱梁的彎矩M僅由擬平截面假定的Euler梁應(yīng)力σE合成,則翹曲應(yīng)力σβ和σζ在截面上將不會(huì)產(chǎn)生彎矩和軸力,即

(15)

(16)

(17)

(18)

式中,A為組合箱梁截面面積.

將式(13)和(14)代入式(15)～(18)中可得

(19)

Ix=λIyρ=ηIyξ

(20)

將函數(shù)ρ(y)和ξ(x)代入式(19)和(20),可得相應(yīng)的截面參數(shù)表達(dá)式為

(21)

(22)

(23)

定義腹板廣義剪切變形產(chǎn)生的廣義力矩Mβ和翼板剪力滯引起的廣義力矩Mζ分別為

(24)

(25)

將式(13)和(14)分別代入式(24)和(25),化簡(jiǎn)后可得

Mβ=-EcIβf″(z)

(26)

Mζ=-EcIζg″(z)

(27)

式中,Iβ為廣義剪切慣性矩;Iζ為剪力滯慣性矩.

根據(jù)式(10)、(11)和(20)可得

(28)

(29)

由式(6)可得Iξ的表達(dá)式為

(30)

由式(13)、(14)、(26)和(27)可得

(31)

(32)

由此可知,波形鋼腹板組合箱梁總的撓曲正應(yīng)力σ可表示為

(33)

3 廣義位移的單元?jiǎng)偠染仃嚪治?/h2>

本文將組合箱梁的撓曲變形狀態(tài)解耦為滿(mǎn)足擬平面假定的Euler梁撓曲、廣義剪切變形與剪力滯效應(yīng)引起的撓曲3種狀態(tài),建立了一種2節(jié)點(diǎn)12自由度的梁段單元模型(見(jiàn)圖3).

圖3 梁段模型的節(jié)點(diǎn)移位

用δw、δf和δg分別表示圖3中擬平面的Euler梁撓曲、廣義剪切變形與剪力滯效應(yīng)引起的節(jié)點(diǎn)撓曲位移向量,則

(34)

(35)

(36)

式中,i、j為任意單元兩端節(jié)點(diǎn).與δw、δf和δg對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力向量Fw、Ff、Fg分別為

Fw={Qi，Mi，Qj，Mj}T

(37)

Ff={Qβi，Mβi，Qβj，Mβj}T

(38)

Fg={Qζi，Mζi，Qζj，Mζj}T

(39)

式中,Q、Qβ、Qζ分別表示Euler梁撓曲、廣義剪切變形及剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生撓曲所對(duì)應(yīng)的廣義剪力.

由式(3)、(4)、(9)和(11) 可求得組合箱梁翼板的軸向應(yīng)變?chǔ)?、剪切?yīng)變?chǔ)脁z分別為

ε(x,y,z)=-yw″(z)-β(y)f″(z)-ζ(x)g″(z)

(40)

(41)

波形鋼腹板的剪應(yīng)變?chǔ)脃z為

(42)

由式(40)～(42)可求得梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能為

η2GcAxg′2)dz

(43)

式中,Gc為混凝土翼板的剪切模量;Gw=[(a+b)/(a+c)]Gs為波形鋼腹板的等效剪切模量[2-3],其中Gs為鋼材的剪切模量,a、b、c為波形參數(shù)(見(jiàn)圖4);Aw為鋼腹板面積;Ax為翼板剪切翹曲面積,其表達(dá)式為[15]

圖4 波形參數(shù)示意圖

(44)

外荷載q作用下的單元?jiǎng)菽転?/p>

(45)

因此,單元的總勢(shì)能為

Π=U+V

(46)

單元任意點(diǎn)的撓度w、f和g由節(jié)點(diǎn)位移向量表示為

w=Nwδw

(47)

f=Nfδf

(48)

g=Ngδg

(49)

式中,Nw、Nf、Ng分別為w、f、g對(duì)應(yīng)的位移形函數(shù)向量.選擇Hermite多項(xiàng)式作為Nw、Nf、Ng的基本形式,既能保證求解精度,又不會(huì)出現(xiàn)剪切鎖死現(xiàn)象,故

Nw=Nf=Ng=N={N1，N2，N3，N4}

式中

實(shí)際工程中由于翼板剪力滯效應(yīng)與腹板廣義剪切變形耦合產(chǎn)生的應(yīng)變能相對(duì)較小,為簡(jiǎn)化分析,令式(39)中f″g″=0.將式(47)～(49)代入式(43),忽略耦合項(xiàng)后整理可得

(50)

由變分法及式(50)可得w、f和g的單元?jiǎng)偠染仃嘖w、Kf和Kg分別為

(51)

(52)

(53)

式中

同樣,可求得外荷載q作用下單元等效節(jié)點(diǎn)力向量為

(54)

基于上述單元?jiǎng)偠染仃嚰暗刃Ш奢d向量,編制出適合該型組合箱梁的梁段分程序FGBOX.

4 數(shù)值算例

4.1 簡(jiǎn)支組合箱梁

以文獻(xiàn)[3]中的簡(jiǎn)支組合箱梁為例進(jìn)行分析,計(jì)算跨徑l=18 m.其承受的2種荷載工況分別為:①跨中腹板頂承受集中荷載P=340 kN;②承受均布荷載作用q=54 kN/m.混凝土與鋼材的彈性模量分別為31 和200 GPa,泊松比分別為0.16和0.30,剪切模量分別為12.92和76.92 GPa.根據(jù)本文方法計(jì)算的截面參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 波形鋼腹板組合箱梁截面參數(shù)計(jì)算結(jié)果

運(yùn)用本文分析理論,分別以擬平面假定的Euler梁理論(EBT)[4]和本文程序FGBOX分析該組合梁.作為對(duì)比驗(yàn)證,采用有限元軟件ANSYS建立該簡(jiǎn)支組合梁的三維空間有限元模型(3D FEM).組合箱梁上、下翼板采用soild45實(shí)體單元模擬,波形鋼腹板采用shell63殼單元模擬,殼與實(shí)體采用MPC方式將2種單元耦合連接.該模型跨中附近截面的撓曲應(yīng)力豎向分布計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5.

(a) 集中荷載作用下z=8.7 m處截面

由圖可知,采用程序FGBOX計(jì)算得到的應(yīng)力與3D FEM結(jié)果吻合良好.在上、下翼板形心處,EBT計(jì)算得到的應(yīng)力與3D FEM結(jié)果吻合較好,但在翼板豎向其他部位存在一定差異.采用EBT計(jì)算的上翼板頂面及下翼板底面應(yīng)力偏小,尤其在集中荷載作用附近表現(xiàn)明顯.因此,采用擬平面假定的EBT計(jì)算該組合梁的撓曲應(yīng)力,結(jié)果將偏于不安全.

表2列出了組合箱梁跨中截面的3種撓度及3D FEM計(jì)算組合梁撓度v.由表可知,本文方法與3D FEM結(jié)果吻合較好.針對(duì)此算例,2種荷載工況下f/w>50%,而g/w<6%,說(shuō)明廣義剪切變形引起的撓度較大,而剪力滯效應(yīng)引起的撓度較小.

表2 簡(jiǎn)支組合箱梁跨中截面的撓度

4.2 三跨連續(xù)組合箱梁

采用4.1節(jié)中的簡(jiǎn)支組合梁截面,并將梁跨徑改為3×18 m的連續(xù)梁.連續(xù)梁所承受的2種荷載工況為:① 各跨跨中受集中荷載P;② 全梁受均布荷載q.該算例的荷載值及材料特性與4.1節(jié)保持一致.采用FGBOX程序,將全梁沿梁軸共劃分為60個(gè)梁段單元,梁段長(zhǎng)度為0.9 m.為便于比較,將廣義內(nèi)力矩Mβ和Mζ放大10倍,并與彎矩M分布曲線(xiàn)一同繪制于圖6中.將采用FGBOX程序與3DFEM兩種方法獲得的連續(xù)梁邊跨的最大豎向位移列于表3中.

(a) 集中荷載

表3 連續(xù)組合箱梁邊跨的最大豎向位移

由表3可知,采用FGBOX程序計(jì)算得到的連續(xù)梁撓度與3D FEM分析結(jié)果吻合較好,從而證明了梁段程序的有效性.對(duì)于連續(xù)組合箱梁,腹板的廣義剪切變形使撓度出現(xiàn)較大增幅,而剪力滯效應(yīng)引起的撓度增幅也超過(guò)10%.由圖6可知,在集中荷載下,廣義內(nèi)力矩在中支點(diǎn)和集中荷載作用位置出現(xiàn)尖峰;而在均布荷載作用下,廣義內(nèi)力矩僅在中支點(diǎn)處出現(xiàn)尖峰,且在尖峰附近增大或衰減速率更快.在圖6(b)中區(qū)段Ⅰ范圍內(nèi),廣義內(nèi)力矩與彎矩的符號(hào)相反;由式(31)～(33)可推知,該范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)負(fù)剪力滯效應(yīng)與負(fù)廣義剪切變形.

為反映廣義剪切變形和剪力滯效應(yīng)對(duì)組合箱梁撓曲應(yīng)力的影響,令Sβ和Sζ分別表示廣義剪切變形和剪力滯效應(yīng)相對(duì)于擬平面Euler梁撓曲的應(yīng)力放大系數(shù),即Sβ=(σβ+σE)/σE,Sζ=(σζ+σE)/σE.連續(xù)組合梁最大截面應(yīng)力放大系數(shù)Sβ,max與Sζ,max沿梁軸的分布曲線(xiàn)見(jiàn)圖7.

(a) 集中荷載

由應(yīng)力放大系數(shù)的定義可知,在梁軸的反彎點(diǎn)M=0處,因分母為0而存在漸近線(xiàn).集中荷載附近應(yīng)力放大系數(shù)已超過(guò)2.0,而在中支點(diǎn)附近其值則更大.廣義剪切變形對(duì)組合箱梁應(yīng)力的影響較大,在實(shí)際工程中應(yīng)引起重視.在圖7(b)中區(qū)段Ⅱ內(nèi)出現(xiàn)小于1的應(yīng)力放大系數(shù),即出現(xiàn)負(fù)廣義剪切變形與負(fù)剪力滯效應(yīng)的現(xiàn)象.由于本文中使用的混凝土翼板為等厚平直的幾何形狀,未考慮箱梁橫隔板的影響,這與實(shí)際工程中的變厚度翼板及橫隔板設(shè)置存在明顯差異.為獲得符合實(shí)際的分析結(jié)果,采用本文方法計(jì)算截面參數(shù)時(shí),上、下混凝土翼板的中心軸應(yīng)取該翼板的形心軸.設(shè)置橫隔板部位計(jì)算截面參數(shù)時(shí),廣義位移對(duì)應(yīng)的截面參數(shù)應(yīng)取較大值,以便于采用梁段程序求解.

5 結(jié)論

1) 通過(guò)引入廣義剪切變形和剪力滯效應(yīng)的廣義撓度,將組合箱梁撓曲變形分解為便于理解的擬平面Euler梁撓曲、廣義剪切變形引起的撓曲以及剪力滯效應(yīng)引起的撓曲3種狀態(tài).

2) 采用Hermite形函數(shù)建立適合本文撓曲理論的單元?jiǎng)偠染仃?并編制出相應(yīng)程序,從而獲得精度較高的撓曲變形和應(yīng)力結(jié)果.

3) 忽略橫隔板等其他影響因素時(shí),廣義力矩在集中荷載和中支點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)較大尖峰.當(dāng)廣義力矩與彎矩的符號(hào)相反時(shí),會(huì)出現(xiàn)負(fù)廣義剪切變形與負(fù)剪力滯效應(yīng)的現(xiàn)象.

4) 數(shù)值算例結(jié)果表明,在集中荷載及中支點(diǎn)截面附近,廣義剪切變形與剪力滯效應(yīng)引起的應(yīng)力放大系數(shù)甚至超過(guò)2.0,需引起工程師們的重視.