基于Miura構(gòu)形的折紙管抗屈曲能力研究

柳楊青 李 旭 蔡建國 馮 健

(1東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 211189)(2重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400074)(3重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 重慶 400074)(4東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 211189)

折紙是一門古老的藝術(shù),其將平面材料沿預(yù)設(shè)折痕折疊形成空間結(jié)構(gòu).由于折痕形式的多樣性,通過折紙形成的空間結(jié)構(gòu)多種多樣.經(jīng)過特別設(shè)計(jì)的折紙結(jié)構(gòu)可以獲得不同于常規(guī)材料的性能,從而在各領(lǐng)域得到了工程應(yīng)用,如柔性機(jī)器人[1-2]、自折疊結(jié)構(gòu)[3-4]等.由于力學(xué)性能表現(xiàn)良好、制造工藝簡單且價(jià)格適宜,薄壁管狀構(gòu)件被廣泛地用作吸能構(gòu)件.圓管和方管是最常用的吸能薄壁管,其在軸向壓潰作用下的力學(xué)行為得到了廣泛的研究.研究人員通過數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究,揭示了圓管和方管的變形模式和吸能特征,并提出了相應(yīng)的分析理論和計(jì)算方法[5-7].研究還發(fā)現(xiàn)，圓管和方管在軸向壓力作用下的變形模式對其初始幾何缺陷十分敏感,使其吸能能力不易控制,而根據(jù)折紙構(gòu)形的特點(diǎn)將其作為人為的初始幾何缺陷施加于構(gòu)件上可以激發(fā)特定的變形模式,由此控制荷載作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng).這啟發(fā)了研究人員將折紙構(gòu)形引入到薄壁管上,形成了折紙型吸能構(gòu)件的概念.

Guest等[8-10]將一種三角形化螺旋狀圓柱折紙構(gòu)形施加于圓管上,試驗(yàn)研究表明該構(gòu)件在軸向荷載作用下可以實(shí)現(xiàn)完全折疊.Song等[11]首次提出了一種由等腰梯形構(gòu)成的折紙管,數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究表明該折紙構(gòu)形成功誘導(dǎo)了構(gòu)件在壓潰荷載作用下的變形模式,從而改善了構(gòu)件的耐撞性(crashworthiness).此后,研究人員設(shè)計(jì)了包括Miura構(gòu)形[12-13]、crash box構(gòu)形[14-15]、kite-shape構(gòu)形[16-17]、waterbomb構(gòu)形[18-19]等多種折紙構(gòu)形,并將其應(yīng)用于薄壁管上,這些構(gòu)形均對荷載作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)起到了良好的控制作用,并有效提高了構(gòu)件的吸能能力.但當(dāng)前研究的對象局限于長細(xì)比較小的折紙管,且研究集中于構(gòu)件在沖擊荷載作用下的力學(xué)性能,構(gòu)件不會(huì)發(fā)生整體屈曲,而對于稍長的折紙管,構(gòu)件存在發(fā)生整體屈曲從而失穩(wěn)的趨勢,并伴隨構(gòu)件跨中應(yīng)力集中、突然的應(yīng)力重分布和材料斷裂等問題[20].因此,探索抑制稍長折紙管整體屈曲的方法具有重要意義.

本文將變角度Miura折紙構(gòu)形引入到薄壁管上,并構(gòu)建了一種折痕方案，以抑制該構(gòu)件在軸心壓力作用下的整體彎曲屈曲.首先介紹了一種由變角度Miura折紙構(gòu)形合圍而成的管狀單元.將該單元堆疊形成基于變角度Miura構(gòu)形的折紙管,并通過有限元分析比較了分別采用4種折痕方案的折紙管在軸心壓力作用下的力學(xué)性能.將斜向谷線折痕設(shè)置為完美鉸折痕,同時(shí)將其余折痕設(shè)置為連續(xù)折痕,能明顯增強(qiáng)折紙管的抗屈曲能力,從而有助于提高其吸能能力.

1 基于變角度Miura構(gòu)形的管狀折紙單元

變角度Miura折紙構(gòu)形,即二次折疊Miura折紙構(gòu)形,是經(jīng)典Miura折紙構(gòu)形的衍生形式.兩者之間的區(qū)別在于,經(jīng)典Miura折紙構(gòu)形中角度φ1=φ2,而變角度Miura折紙構(gòu)形中角度φ1≠φ2,如圖1所示,其中實(shí)線表示峰線折痕,虛線表示谷線折痕,l1和l2為構(gòu)形的2條邊長,2H為構(gòu)形高度.當(dāng)滿足如下閉合條件[21-22]時(shí),4個(gè)變角度Miura折紙構(gòu)形可以合圍組合而成基于變角度Miura構(gòu)形的管狀折紙單元:

(1)

式中,α為折疊角.形成的管狀折紙單元見圖2.

(a) 經(jīng)典構(gòu)形

圖2 基于變角度Miura構(gòu)形的管狀折紙單元

2 基于變角度Miura構(gòu)形的折紙管

2.1 折痕方案

剛性折紙是折紙構(gòu)形的一個(gè)重要概念,即假定折紙面板的剛度無窮大,折紙構(gòu)形可以隨著面板繞完美鉸折痕的轉(zhuǎn)動(dòng)而折疊和展開[23].完美鉸折痕無法傳遞彎距,但可以傳遞剪力和軸力,本文將其稱為A類折痕.然而在某些情況下,折紙構(gòu)件可以通過模具沖壓[15]、氣壓折疊[24]、3D打印[25]等冷成型技術(shù)進(jìn)行制造.由此制成的折紙構(gòu)件的折痕處材料是面板的延伸,材料截面并未削弱.此時(shí),除剪力和軸力外,折痕還可以傳遞彎距,這類折痕為連續(xù)折痕,本文將其稱為B類折痕.通過將不同位置的單元折痕設(shè)置為A類折痕或B類折痕,可以得到如表1所示的4種折痕方案,其中的水平折痕、斜向峰線折痕和斜向谷線折痕如圖2所示.

表1 單元折痕方案

2.2 有限元方法驗(yàn)證

采用Zhou等[26]的擬靜力試驗(yàn)數(shù)據(jù)對運(yùn)用有限元軟件ANSYS 18.0進(jìn)行數(shù)值模擬的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.Zhou等[26]對如圖3所示的基于crash box構(gòu)形的折紙管進(jìn)行了擬靜力軸向壓潰試驗(yàn),圖中,b=60 mm,c=30 mm,h=58.7 mm.加載方向豎直向下,示意圖如圖4所示.模型采用板厚為1 mm的Q235鋼材,鋼材經(jīng)過800 ℃退火處理以減少制作過程中沖壓和焊接造成的殘余應(yīng)力.

圖3 Crash box折紙管

圖4 試驗(yàn)加載示意圖

采用有限元軟件ANSYS/Implicit 18.0對試件的壓潰試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬,材料本構(gòu)采用文獻(xiàn)[26]中的實(shí)測數(shù)據(jù),有限元模型及其建模方法如圖5所示.采用標(biāo)準(zhǔn)4節(jié)點(diǎn)殼元SHELL181來模擬折紙面板、剛性加載端頭和剛性承壓端.采用CONTA175單元和TARGE170單元分別對剛性加載端頭表面和折紙管上端截面進(jìn)行劃分形成接觸對,目標(biāo)面的Pilot node設(shè)置在剛性加載端頭的幾何中心位置,通過該P(yáng)ilot node施加荷載和邊界約束.剛性承壓端和折紙管下端截面采用相同的設(shè)置方法.剛性加載端只能沿管軸向平動(dòng)(即XU=ZU=XROT=YROT=ZROT=0),剛性承壓端則完全固定(即XU=YU=ZU=XROT=YROT=ZROT=0).

圖5 有限元模型和建模方法

圖6給出了軸向壓力-加載位移(F0-Δ0)曲線的比較結(jié)果,可以看出試驗(yàn)值和模擬值的趨勢大體一致；但兩者的初始剛度有較為明顯的差異.其原因在于試件的端部截面并不平整,試驗(yàn)初期加載端頭和試件端部截面之間是逐步達(dá)到充分接觸狀態(tài)的；而數(shù)值模擬時(shí),加載端頭剛開始就和試件端部截面充分接觸,一經(jīng)加載即獲得較大剛度.圖7比較了試驗(yàn)和數(shù)值模擬得到的變形和應(yīng)變分布,最大應(yīng)力均發(fā)生在試件的尖點(diǎn)處(見圖中紅色虛線框),由于有4條峰線折痕在該點(diǎn)處相交,該點(diǎn)處出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中,其余部位的變形和應(yīng)變都吻合得較好.從以上比較可知,采用ANSYS/Implicit對折紙管進(jìn)行模擬能夠提供有效且可信的計(jì)算結(jié)果.

圖6 軸向壓力-加載位移(F0-Δ0)曲線

2.3 有限元建模

基于變角度Miura構(gòu)形的折紙管是由3個(gè)如圖2所示的管狀折紙單元沿豎向堆疊而成.依照表1中的4種折痕方案形成4根折紙管，折紙管C-ORI-1、C-ORI-2、C-ORI-3和C-ORI-4分別采用折痕方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ.在閉合條件式(1)的約束下，為保證各折紙管只是折痕方案不同而其幾何拓?fù)湎嗤?，各折紙管采用完全相同的幾何參?shù)設(shè)置，即H=200 mm，l=l1+l2=200 mm，φ1=85°,α=135°.

(a) 變形和最大主應(yīng)變分布試驗(yàn)結(jié)果[26]

運(yùn)用ANSYS/Implicit 18.0對基于變角度Miura構(gòu)形的折紙管進(jìn)行非線性分析,以考察各折紙管在軸心壓力作用下的抗屈曲能力.折紙管的幾何模型和有限元模型如圖8所示.采用標(biāo)準(zhǔn)4節(jié)點(diǎn)殼元SHELL181來模擬8 mm厚的折紙面板和20 mm厚的管端封板.采用點(diǎn)元MASS21通過剛性梁元MPC184連接封板節(jié)點(diǎn)的方法來實(shí)現(xiàn)管端部繞MASS21單元的整體剛性轉(zhuǎn)動(dòng),以模擬管兩端與邊界的鉸接連接.外荷載和支座反力均通過MASS21單元施加和傳遞,加載端MASS21單元只能沿管軸向平動(dòng)和繞X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)(即XU=YU=ZROT=0),支座端MASS21單元只能繞X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)(即XU=YU=ZU=ZROT=0).通過耦合節(jié)點(diǎn)平動(dòng)自由度的方法來簡化模擬A類折痕.模型材料采用鋼材Q235B,其本構(gòu)關(guān)系采用考慮強(qiáng)化段的基于鋼材連續(xù)屈服理論的四折線模型[27],如圖9所示,相關(guān)力學(xué)參數(shù)見表2,其中fy、fu分別為材料屈服強(qiáng)度和極限強(qiáng)度,E和Est分別為材料彈性模量和強(qiáng)化模量,εy、εst、εu和εel分別為材料屈服應(yīng)變、強(qiáng)化應(yīng)變、極限強(qiáng)度對應(yīng)應(yīng)變和極限應(yīng)變.為保證軸心壓力作用下折紙管達(dá)到其極限承載能力,有限元模擬時(shí)采用位移加載,加載位移取60 mm(約為構(gòu)件計(jì)算長度的5.4%).

(a) 幾何模型

圖9 材料本構(gòu)關(guān)系

表2 材料本構(gòu)關(guān)系的參數(shù)設(shè)置

2.4 計(jì)算結(jié)果和討論

圖10 折紙管的荷載F-加載位移Δ曲線

(2)

(3)

式中,l0為折紙管的計(jì)算長度,l0=1 119 mm;t為折紙面板厚度,t=8 mm.各曲線的荷載峰值點(diǎn)用十字形進(jìn)行標(biāo)記，各荷載峰值點(diǎn)對應(yīng)的達(dá)到荷載峰值時(shí)的加載位移Δpeak和其對應(yīng)的平均軸向應(yīng)變?chǔ)舙eak分別列入表3中.各折紙管在荷載達(dá)到峰值時(shí)和加載結(jié)束(Δ=60 mm)時(shí)的Von Mises應(yīng)力狀態(tài)分別如圖11和圖12所示.由圖可見,各折紙管的應(yīng)力和變形狀態(tài)在數(shù)值、分布和形態(tài)上很相似,最大應(yīng)力均出現(xiàn)在構(gòu)件中部的頂點(diǎn)和B類折痕附近.達(dá)到荷載峰值時(shí)折紙管的側(cè)向彎曲程度并不明顯.相比較而言,加載結(jié)束(Δ=60 mm)時(shí)折紙管的整體屈曲程度則要顯著得多.由上述分析可以發(fā)現(xiàn),受壓過程中各折紙管的變形模式遵循相同的變化規(guī)律:在達(dá)到荷載峰值點(diǎn)之前,各折紙管的變形由軸向壓縮控制,僅產(chǎn)生略微的整體彎曲屈曲;達(dá)到荷載峰值點(diǎn)后,各折紙管整體屈曲顯著增大,變形模式由軸向壓縮控制轉(zhuǎn)變?yōu)檎w彎曲屈曲控制,并伴隨承載能力的明顯下降,構(gòu)件發(fā)生失穩(wěn).從表3中也可以發(fā)現(xiàn),折紙管C-ORI-4達(dá)到荷載峰值時(shí)的加載位移Δpeak和其對應(yīng)的平均軸向應(yīng)變?chǔ)舙eak明顯大于其他折紙管,大約是其余折紙管的1.3～1.4倍,這表明該構(gòu)件具有更加優(yōu)越的軸向變形能力.

(a) C-ORI-1

(a) C-ORI-1

通過模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),與典型的兩端簡支軸心受壓構(gòu)件一致,折紙管的整體彎曲屈曲呈半波狀.因此,折紙管端部繞支座的轉(zhuǎn)角與其側(cè)向撓度幅值呈正相關(guān)(見圖13),此處用該轉(zhuǎn)角來表征折紙管發(fā)生整體彎曲的程度.圖14給出了加載過程中各折紙管端部轉(zhuǎn)角θ隨加載位移Δ的變化曲線,其中加載端轉(zhuǎn)角為θtop,支座端轉(zhuǎn)角為θbot,轉(zhuǎn)角方向以順時(shí)針為正,故θ=0以上部分表示θtop的變化趨勢，θ=0以下部分表示θbot的變化趨勢.折紙管C-ORI-4達(dá)到荷載峰值的時(shí)刻在圖中用虛線表示，其余構(gòu)件達(dá)到荷載峰值的時(shí)刻范圍在圖中用粉紅色區(qū)域表示.從圖中可看到,相同加載位移Δ下,轉(zhuǎn)角θtop和θbot的大小基本相同,說明折紙管上下部分的整體彎曲較為均勻.在變形由整體屈曲變形控制(即達(dá)到荷載峰值)前轉(zhuǎn)角θ均較小且?guī)缀蹼S加載位移Δ線性增長,而在變形由整體屈曲變形控制后轉(zhuǎn)角θ的增長明顯加快,表現(xiàn)出明顯的非線性.對比各折紙管,折紙管C-ORI-4在整個(gè)加載過程中轉(zhuǎn)角最小.對應(yīng)于相同的加載位移Δ,折紙管C-ORI-4的轉(zhuǎn)角分別為折紙管C-ORI-1、C-ORI-2和C-ORI-3轉(zhuǎn)角的40.1%、42.7%和47.7%,使折紙管的側(cè)向彎曲至少降低了52.3%,同時(shí)最大轉(zhuǎn)角僅為6.5°,該現(xiàn)象表明折紙管C-ORI-4發(fā)生整體彎曲屈曲的程度最小.

圖13 轉(zhuǎn)角θ的示意圖

圖14 折紙管端部轉(zhuǎn)角θ隨加載位移Δ的變化曲線

通過以上計(jì)算結(jié)果和分析發(fā)現(xiàn)，在本文研究的折紙管中，與其余構(gòu)件相比，折紙管C-ORI-4的側(cè)向彎曲減小了52.3%，同時(shí)發(fā)生整體屈曲的時(shí)刻延遲了38.5%，折紙管C-ORI-4具有最優(yōu)越的抗屈曲能力.由于各折紙管具有相同的幾何拓?fù)?，折紙管C-ORI-4所代表的折痕方案Ⅳ(將斜向谷線折痕設(shè)置為完美鉸折痕、其余折痕設(shè)置為連續(xù)折痕)是增強(qiáng)基于變角度Miura構(gòu)形折紙管抗屈曲能力的最有效折痕方案.

3 結(jié)論

1) 通用有限元軟件ANSYS/Implicit 18.0可以有效地模擬折紙管的變形和應(yīng)力應(yīng)變分布.

2) 通過將Miura折紙的折痕區(qū)分為A類折痕和B類折痕,可以形成多種折痕方案.采用不同的折痕方案可以調(diào)節(jié)和控制基于變角度Miura構(gòu)形折紙管在軸壓下的變形模式和應(yīng)力應(yīng)變分布.

3) 當(dāng)將斜向谷線折痕設(shè)置為完美鉸折痕、其余折痕設(shè)置為連續(xù)折痕時(shí),折紙管的整體屈曲程度減小了52.3%,整體屈曲時(shí)刻延遲了38.5%,該折痕方案是一種抑制折紙管整體屈曲的有效方法.在后續(xù)研究中,該折痕方案將會(huì)被進(jìn)一步運(yùn)用于細(xì)長折紙管上,以考察其對細(xì)長折紙管抗屈曲能力的影響.