隱含的兩角和與差的正切公式

嚴(yán)佳佳

(江蘇省南通大學(xué)數(shù)學(xué)師范182班 226019)

一、引言

二、兩角和與差的正切(余切)公式轉(zhuǎn)化策略

策略一映射法轉(zhuǎn)化

點(diǎn)評(píng)本例打著數(shù)論的幌子，其核心是兩角和與差的余切公式，反映了知識(shí)的深度融合.

策略二乘積式轉(zhuǎn)化

標(biāo)準(zhǔn)的兩角和與差的正切公式等號(hào)一邊是個(gè)除式，而有些題目有意掩蓋之，以乘積式的形式出現(xiàn)，我們?nèi)绻煜に鼈兊南嗷マD(zhuǎn)換，不難讓其現(xiàn)原形.

①

由函數(shù)的凸性知上式成立.

策略三化一法轉(zhuǎn)化

標(biāo)準(zhǔn)的兩角和與差的正切公式等號(hào)一邊的除式的分母中有常數(shù)1，而有些題目有意掩蓋之，我們只要利用分式的基本性質(zhì)，讓1現(xiàn)原形即可.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)利用分式性質(zhì)使得分母中出現(xiàn)1，顯現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)形式的兩角和與差的正切公式.本例數(shù)列非等差數(shù)列，但對(duì)應(yīng)的“角數(shù)列”是個(gè)等差數(shù)列.

策略四綜合代數(shù)變形轉(zhuǎn)化

更多的問(wèn)題中，需要解題者具備靈活的代數(shù)變形技能，敏銳地發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的兩角和與差的正切公式，并將之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式.

例7 證明：tan3°是無(wú)理數(shù).

點(diǎn)評(píng)本題要將3°與特殊角30°聯(lián)系起來(lái)，題目中出現(xiàn)正切，我們要?jiǎng)佑谜杏嘘P(guān)知識(shí)解決，于是，隱藏幕后的兩角和與差的正切公式走向前臺(tái).

我們只有對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的數(shù)學(xué)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)了然于胸，熟知公式的各種變形，才有可能抓住微妙的差別，在錯(cuò)綜復(fù)雜的題目中識(shí)別出非標(biāo)準(zhǔn)形式的數(shù)學(xué)公式.這需要解題者對(duì)數(shù)學(xué)公式具有較強(qiáng)的敏感度和洞察力.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)和數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)采用變式教學(xué)，通過(guò)豐富的例子，對(duì)概念、公式、命題等進(jìn)行辨析，讓學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，做到靈活變通，舉一反三.