狀態(tài)依賴脈沖Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性*

李曉月， 王 奇

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

由于系統(tǒng)的脈沖時(shí)刻與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)，因此具狀態(tài)依賴脈沖微分方程成為微分方程領(lǐng)域的難點(diǎn)問題，已有結(jié)果主要研究方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性，詳見文獻(xiàn)[1-7]。受已有文獻(xiàn)的啟發(fā)，利用不動(dòng)點(diǎn)方法研究狀態(tài)依賴脈沖Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程

(1)

1 預(yù)備知識

記C(J,R)表示從J到R的連續(xù)函數(shù)組成的空間，其范數(shù)為

其中xk=xk(t),t∈(tk,tk+1]。

定義2.1[8-9]對任意函數(shù)h∈L1([a,b],R+)，定義其分?jǐn)?shù)階積分

定義2.2[8-9]函數(shù)h在區(qū)間[a,b]上有定義，定義其Riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中n=[α]+1，[α]為取整函數(shù)。

定義2.3[8-9]對任意函數(shù)h在區(qū)間[a,b]上有定義，定義其Caputo分?jǐn)?shù)階積分為

其中n=[α]+1，[α]為取整函數(shù)。

引理2.1[10]若β>0，a(t)是區(qū)間[0,T),T≤+∞上的非負(fù)局部可積函數(shù)，b(t)是區(qū)間[0,T),T≤+∞上的非負(fù)、非減有界連續(xù)函數(shù)，y(t)是區(qū)間[0,T),T≤+∞上的非負(fù)局部可積函數(shù)。若

則

2 主要結(jié)論

(H1)f:J×R→R連續(xù)，存在函數(shù)M∈LP(J,R+),N使得

(H2)τk∈C1(R,R)，k=1,2,…,m，并且

0<τ1(x)<…<τm(x)

τk(Ik(x))≤τk(x)<τk+1(Ik(x)),x∈R。

定理2.1 若條件(H1)和的第二式及(H2)、(H4)及均滿足，則方程式(1)至少存在一解。

證明首先考慮以下問題：

(2)

定義F:C(J,R)→C(J,R)的算子為

(3)

① 在C(J,R)中取函數(shù)列xn→x，則由(H1)易得Fxn→Fx，n→∞，即算子F是全連續(xù)算子。

② 取C(J,R)中有界集

由條件(H1)及赫爾德不等式得

(4)

(5)

即算子F把有界集映成等度連續(xù)的。由Arezela-Ascoli定理知算子F是全連續(xù)的。

④ 考慮集合

K={x∈C(J,R):x=λFx,0<λ<1}

的有界性。

對任意x∈K，則由條件(H1)，類似于以上推導(dǎo)，有

(6)

|x(t)|≤a(t)Eβ(b(T)Γ(β)tβ)≤H

(7)

即集合K有界。

由Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理得算子F存在不動(dòng)點(diǎn)，即方程式(2)的解，記解為x1(t)。 考慮函數(shù)

rk,1(t)=τk(x1(t))-t,t≥0,k=1,2,…,m

(8)

由條件(H2)得rk,1(0)≠0。若rk,1(t)≠0，t∈J，則x1(t)是方程式(1)的解。

下面考慮存在t∈J使得r1,1(t)≠0，由r1,1(0)≠0及r1,1(t)的連續(xù)性，存在t1∈J使得r1,1(t1)=0及r1,1(t)≠0,t∈[0,t1)。由條件(H2)得rk,1(t)≠0,t∈[0,t1),k=1,2,…,m。

考慮以下問題

(9)

在C([t1,T],R)定義算子F1為

(10)

類似于步驟一可得，算子F1是全連續(xù)的，有不動(dòng)點(diǎn)x2?？紤]函數(shù)

rk,2(t)=τk(x2(t))-t,t≥t1,k=1,2,…,m

(11)

若rk,2(t)≠0,t∈(t1,T]，則

(12)

是式(1)的解。考慮在t∈(t1,T]使得

r2,2(t)=0

(13)

由條件(H3)得

(14)

由r2,2(t)的連續(xù)性，存在t2>t1使得r2,2(t2)=0及r2,2(t)≠0,t∈(t1,t2)。由條件(H2)得

rk,2(t)≠0,t∈(t1,t2),k=2,…,m

(15)

(16)

與條件(H4)產(chǎn)生矛盾。

步驟三、類似于步驟一、二，利用數(shù)學(xué)歸納法，可以得到

(17)

的解xm(t),t∈(tm,T]，從而得到方程式(1)的分段連續(xù)解

(18)

由條件(H2)的第二式及(H3)的第二式，利用壓縮映射原理得：

定理2.2 若條件(H1)和的第一式及(H2)、(H4)均滿足，并且

則方程式(1)存在唯一解。

4 結(jié)束語

和文獻(xiàn)[1]比較，條件(H1)比文獻(xiàn)[1]的條件(H2)更加寬松，已改進(jìn)文獻(xiàn)[1]的相關(guān)結(jié)果。