智慧教育云平臺(tái)下《古典概型》導(dǎo)學(xué)案教學(xué)設(shè)計(jì)課例

摘要：本文以《名師在線》登載的《導(dǎo)、學(xué)、議、評、練、悟——學(xué)案導(dǎo)學(xué)六步教學(xué)模式芻議》為指導(dǎo)理念，探討了智慧教育云平臺(tái)下《古典概型》導(dǎo)學(xué)案教學(xué)的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：古典概型;導(dǎo)學(xué)案;教學(xué)設(shè)計(jì)

智慧教育是指把學(xué)科教學(xué)與信息技術(shù)深度融合，展現(xiàn)教育智慧的教育。下面以《名師在線》登載的《導(dǎo)、學(xué)、議、評、練、悟》為指導(dǎo)理念，探討智慧教育云平臺(tái)下《古典概型》導(dǎo)學(xué)案的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、導(dǎo)

（一）目標(biāo)定向

1.知識(shí)目標(biāo)：

（1）理解基本事件的概念和特點(diǎn);

（2）理解古典概型的基本特征和古典概型概率計(jì)算公式，會(huì)解決簡單古典概率問題。

2.方法目標(biāo)：

（1）在探究古典概型中體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;

（2）在解決古典概型問題中，領(lǐng)悟樹狀圖、棋盤格法等數(shù)學(xué)方法。

3.素養(yǎng)目標(biāo)：

在歸納、探究、展示活動(dòng)中，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、抽象抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）重難定位

1.重點(diǎn)：理解古典概型的概念;利用古典概型求隨機(jī)事件的概率。

2.難點(diǎn)：判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型;算基本事件數(shù)。

【設(shè)計(jì)說明】用云平臺(tái)下多媒體逐條投影目標(biāo)和重難點(diǎn)，學(xué)生集體朗誦，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點(diǎn)，做到有的放矢。

（三）新課導(dǎo)入

【情境導(dǎo)入】

1.導(dǎo)疑：甲、乙進(jìn)行乒乓球比賽，決定誰先發(fā)球。方法1：擲硬幣一次：正面向上甲先發(fā)，反面向上乙先發(fā)。方法2：擲骰子一次：三點(diǎn)以下甲先發(fā)，三點(diǎn)以上乙先發(fā)。這兩種方法是否公平？

2.導(dǎo)思：判斷公平性的依據(jù)是什么？

3.導(dǎo)探：除了通過大量重復(fù)試驗(yàn)獲得概率外，還有沒有更簡單易行的方式求出概率？

【學(xué)生活動(dòng)】思考：1.判斷公平性的依據(jù)是_________。

2.不做實(shí)驗(yàn)，如何通過分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性獲得概率？

【設(shè)計(jì)意圖】用“抖音”視頻播放“導(dǎo)疑”題目，激趣導(dǎo)思，引發(fā)矛盾沖突，導(dǎo)入新課。

二、學(xué)

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)1：歸納基本事件概念

試驗(yàn)1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，會(huì)出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？

試驗(yàn)2：擲一顆均勻的骰子一次，點(diǎn)數(shù)向上的有哪幾種結(jié)果？

【學(xué)生活動(dòng)】1.分析：實(shí)驗(yàn)所有可能結(jié)果;

2.抽象：基本事件：________ _____________。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在獨(dú)學(xué)中抽象出基本事件概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)2：歸納基本事件特征

擲一顆均勻的骰子：

【問1】在一次試驗(yàn)中，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)“1點(diǎn)”與“2點(diǎn)”這兩個(gè)基本事件嗎？

【問2】事件“3點(diǎn)以下”包含哪幾個(gè)基本事件？

【追問】事件“3點(diǎn)以上”包含哪幾個(gè)基本事件？

【學(xué)生活動(dòng)】1.分析：各問題情況;

2.歸納：基本事件特點(diǎn)：①_______________________;②___________________________.

【設(shè)計(jì)意圖】1.“3點(diǎn)以下”與“3點(diǎn)以上”既與課堂引入相呼應(yīng)，也為后面求隨機(jī)事件的概率埋設(shè)伏筆; 2.學(xué)生在獨(dú)學(xué)中能透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納基本事件特征;3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)3：探究寫基本事件方法

【例1 】從字母a、b、c、d任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？

【學(xué)生活動(dòng)】1.作答：不重不漏寫出所有基本事件;

2.領(lǐng)悟：寫基本事件方法有____________________________________。

【設(shè)計(jì)意圖】通過寫基本事件的體驗(yàn)，讓學(xué)生在對學(xué)中領(lǐng)悟?qū)懟臼录椒ㄓ袠錉顖D與列舉法，為后面算基本事件數(shù)求事件的概率做好鋪墊。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)4：構(gòu)建古典概型概念

【問3】試驗(yàn)1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣實(shí)驗(yàn)，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率是多少？

【問4】試驗(yàn)2：擲一顆均勻的骰子實(shí)驗(yàn)，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率是多少？

【問5】試驗(yàn)1和試驗(yàn)2有何共同特點(diǎn)？

【學(xué)生活動(dòng)】1.分析：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率是否相等？

2.計(jì)算：根據(jù)等可能性及互斥事件概率加法公式計(jì)算基本事件概率。

3.歸納：共同特點(diǎn)：①____________________________，②___________________________。

4.抽象：古典概型：__________________________________________________________。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在群學(xué)中能避開個(gè)性，發(fā)現(xiàn)共性，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，從具體到抽象、從特殊到一般抽象出古典概型概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)5：理解古典概型概念

【思考1】向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，若該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，這是古典概型嗎？

【思考2】某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，命中結(jié)果有 “9環(huán)”、 “6環(huán)”和“不中環(huán)”，這是古典概型嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】1.舉例：學(xué)生再舉些類似的生活實(shí)例。 2.判斷：是否是古典概型。

【設(shè)計(jì)意圖】理解古典概型概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生在群學(xué)中突破教學(xué)第一個(gè)難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)6：探究古典概型概率計(jì)算公式

【問6】擲一顆均勻的骰子，“點(diǎn)數(shù)小于3”的概率是多少？

【追問】“點(diǎn)數(shù)大于3” 的概率是多少？

【問7】能否 “不做試驗(yàn)，直接利用古典概型的特征” 求古典概型隨機(jī)事件的概率？

【追問】決定誰先發(fā)球的兩個(gè)方法公平嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再各小組討論、展示，達(dá)成共識(shí).

1.探究：（1）用互斥事件加法公式算：P（點(diǎn)數(shù)小于3）= P（1點(diǎn)）+ P（2點(diǎn)）=_____。

（2）能否用基本事件數(shù)算？總基本事件數(shù)為_____，“點(diǎn)數(shù)小于3”包含的基本事件數(shù)為____ 。

P（點(diǎn)數(shù)小于3）=________。

2.發(fā)現(xiàn)：用互斥事件加法公式與用基本事件數(shù)兩個(gè)方法算出的概率是否相等？

3.歸納： 古典概型概率計(jì)算公式：_____________________。

【設(shè)計(jì)意圖】1.讓學(xué)生在群學(xué)中通過特例，由特殊到一般，發(fā)現(xiàn)、歸納出古典概型概率計(jì)算公式，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng);2. 首尾呼應(yīng)，解決新課導(dǎo)入的“公平性”問題。

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)7：應(yīng)用公式

【例2】標(biāo)準(zhǔn)化考試的選擇題有單選和不定項(xiàng)選擇兩種類型。假設(shè)考生不會(huì)做，隨機(jī)從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選擇正確的答案，請問哪種類型的選擇題更容易答對？

【例3】一天，媽媽拿了一張球票，有兩兄弟都想去看，可票只有一張，怎么辦呢？這時(shí)哥哥走到正在玩飛行棋的弟弟旁邊說：“我們來玩一場游戲，拿一個(gè)骰子，每人各擲一次，若點(diǎn)數(shù)之和為6，票就歸你，若點(diǎn)數(shù)之和是7，票就歸我，如果都不是則繼續(xù)擲，怎樣？如果你是弟弟，你覺得公平嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】1.分析：判斷是否是古典概型，為什么？

2.探究：基本事件數(shù)（如【列2】單選題及不定項(xiàng)選擇題基本事件總數(shù)，【列3】兩骰子拋出點(diǎn)數(shù)對（i，j）的基本事件總數(shù)及欲求的事件包含的基本事件數(shù)）是多少？

3.計(jì)算：用古典概型概率計(jì)算公式求概率。

4.領(lǐng)悟：領(lǐng)悟兩個(gè)例子求基本事件數(shù)的方法。

【設(shè)計(jì)意圖】1.用公式解決簡單的古典概型問題，深刻理解古典概型概念的內(nèi)涵與外延;

2.領(lǐng)悟計(jì)算基本事件數(shù)的思想方法（樹狀圖法、棋盤格法），突破教學(xué)第二個(gè)難點(diǎn)：不重不漏算基本事件數(shù);3.創(chuàng)造性處理教材，【例2】是將教材例2及探究題科學(xué)整合，點(diǎn)燃學(xué)生探索的熱情，適合對學(xué);【例3】是將教材例3放置生活背景，題目用“抖音”視頻，激發(fā)學(xué)生興趣和探究欲望，本例求解讓學(xué)生對古典概型的“等可能”性特征會(huì)有更深刻的理解，宜用群學(xué);4.發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

三、議

1.分組交流;各小組圍繞學(xué)案中的問題，交流自學(xué)成果，以 “兵教兵”方式解決疑惑;

2.代表展示：由各小組代表匯報(bào)本組自學(xué)成果及未解決的問題;

3.深化討論：教師“課中備課”，擇機(jī)確定討論的主題，如：

（1）學(xué)案中各小組未解決的重點(diǎn)問題;

（2）各小組學(xué)習(xí)中共同的疑惑：如【例3】骰子若不標(biāo)上記號(hào)，則結(jié)果如何？如何理解“等可能”性？

（3）解題的思想方法：如計(jì)算基本事件數(shù)有哪些方法？

四、評

1. 啟發(fā)點(diǎn)撥：點(diǎn)評學(xué)生自學(xué)中普遍存在的疑難、典型問題。

如【例3】學(xué)生不知基本事件究竟是什么？對“等可能”性理解也存有困惑，可點(diǎn)撥：將兩個(gè)骰子標(biāo)記為1，2號(hào)，用（i，j）（其中i，j=1，2，3，4，5，6）表示1號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)是i，2號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)是j，則每個(gè)基本事件（i，j）都是等可能出現(xiàn)的，這是一個(gè)古典概型，用樹狀圖法或“棋盤格”法知基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)數(shù)和是6包含的基本事件數(shù)為5，點(diǎn)數(shù)和是7包含的基本事件數(shù)為6。

若兩個(gè)骰子不標(biāo)上記號(hào)，則類似（1，2）和（2，1）的結(jié)果將沒有區(qū)別。這時(shí)，所有可能的結(jié)果是（i，j）（其中i，j=1，2，3，4，5，6， i小于等于j），共有21個(gè)，和是6的結(jié)果有3個(gè)。但這21個(gè)基本事件不是等可能出現(xiàn)的，比如（1，1）只包含1號(hào)骰是1，2號(hào)骰也是1的情形;而（1，2）包含了1號(hào)骰是1，2號(hào)骰是2以及1號(hào)骰是2，2號(hào)骰是1的兩種情形，因此（1，1）與（1，2）不是等可能出現(xiàn)的，故不是古典概型，不能用古典概型概率公式來算。

2. 精講精評： 點(diǎn)透解決問題的方法規(guī)律，舉一反三。

如可以點(diǎn)透解決概率問題基本步驟：

（1）用古典概型定義判定是否是古典概型;

（2）用樹狀圖或棋盤格法等列舉法算基本事件數(shù);

（3）用古典概型概率計(jì)算公式求解概率。

五、練

1.達(dá)標(biāo)測試

課堂內(nèi)完成達(dá)標(biāo)測試，檢測學(xué)生導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式的學(xué)習(xí)效果。

【效果檢測】儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)六位數(shù)字號(hào)碼，每位上的數(shù)字可以從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取。

①如果某人拾到儲(chǔ)蓄卡一張，隨意按下六位號(hào)碼正好按對密碼的概率是多少？

②若某人未記準(zhǔn)儲(chǔ)蓄卡密碼的后兩位數(shù)字，隨機(jī)按下兩位數(shù)字正好按對密碼的概率是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】1.將教材的例4改編成本題，有效檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果;2.利用信息技術(shù)監(jiān)測學(xué)生答題規(guī)范情況，適時(shí)提醒與點(diǎn)撥;3.用信息技術(shù)統(tǒng)計(jì)答題正確率，顯示做對與做錯(cuò)的學(xué)生人數(shù)及學(xué)生名單，教師據(jù)反饋結(jié)果進(jìn)行針對性講評。

【效果檢測】請您用除顏色以外都相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，為某公司設(shè)計(jì)一種抽獎(jiǎng)方案，使得中大獎(jiǎng)概率約為10%，中小獎(jiǎng)概率約為90%。

【設(shè)計(jì)意圖】1.開放數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)設(shè)“探究的場”，放開學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，激發(fā)教學(xué)高潮;2.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;3.老師用信息技術(shù)“監(jiān)控”學(xué)生解答情況，展示學(xué)生一題多解。

2.拓展提升

布置非常有趣、好玩的拓展題讓學(xué)生課后探索，留下懸念，挖掘?qū)W生后繼學(xué)習(xí)的潛能和激發(fā)學(xué)生樂于探索的欲望。

【拓展1】知【例3】游戲不公平，因而弟弟不同意，這時(shí)，爸爸回來了，問清原委后，爸爸也想?yún)⒂?爸爸說，他在意大利著名詩人但丁的《神曲》的煉獄篇第6節(jié)中看到，在14世紀(jì)意大利佛羅倫薩的貴族們玩一種游戲：三個(gè)人每人擲一次骰子，猜點(diǎn)數(shù)和是多少？當(dāng)時(shí)他們都認(rèn)為出現(xiàn)9，10，11，12這4個(gè)數(shù)的可能性一樣，都是最大的。我們?nèi)司蛷倪@4個(gè)數(shù)中各選一個(gè)吧。你認(rèn)為游戲公平嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】將【例3】拓展，并用“微課”介紹下面內(nèi)容向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化：本題是意大利佛羅倫薩貴族玩的游戲，其公平性整整過了三個(gè)世紀(jì)，才被意大利著名的天文學(xué)家伽利略解決。

【拓展2】一根長3米的繩子，

（1）被其上A1、A2、A3、A4、A5五個(gè)點(diǎn)均分成六段，從A1、A2、A3、A4、A5中任選一點(diǎn)將繩子剪斷，那么剪得的兩段均不小于1米的概率是多少？

（2）拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段長都不小于1米的概率有多大？

【設(shè)計(jì)意圖】授人以欲，激發(fā)學(xué)生課后探索的欲望，其中（1）是古典概型，鞏固學(xué)生所學(xué)，（2）是幾何概型，點(diǎn)燃學(xué)生后繼學(xué)習(xí)幾何概型的火花。

六、悟

師生互動(dòng)中總結(jié)本節(jié)課核心知識(shí)與方法，或用“微課”小結(jié)本課核心內(nèi)容：

1.古典概型特征：①____________性;②____________性。

2.古典概型概率計(jì)算公式：____________________________________________。

3.計(jì)算基本事件數(shù)的方法有：_____________________________________________。

4.本節(jié)內(nèi)容與以前所學(xué)知識(shí)有哪些聯(lián)系？

參考文獻(xiàn)：

[1]易斌.導(dǎo)、學(xué)、議、評、練、悟——學(xué)案導(dǎo)學(xué)六步教學(xué)模式芻議[J].名師在線，2021（03）.